初中函数知识点总复习.pdf

初中函数知识点总复习初中函数知识点总复习（一）平面直角坐标系知识点归纳（一）平面直角坐标系知识点归纳1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；2、坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对有序实数对（）ba,一一对应；其中，为横坐标，为纵坐标坐标；ab3、轴上的点，纵坐标等于 0；轴上的点，横坐标等于 0；xy 坐标轴上的点不属于不属于任何象限；4、四个象限的点的坐标具有如下特征：四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（小结：（1）点）点 P（）所在的象限）所在的象限 横、纵坐标横、纵坐标、的取值的正负性；的取值的正负性；yx,xy（2）点）点 P（）所在的数轴）所在的数轴 横、纵坐标横、纵坐标、中必有一数为零；中必有一数为零；yx,xy5、在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点 P，则，则),(ba（1）点 P 到轴的距离为；（2）点 P 到轴的距离为；xbya（3）点 P 到原点 O 的距离为 PO 22ba 6、平行直线上的点的坐标特征：平行直线上的点的坐标特征：a)在与轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；x 点 A、B 的纵坐标都等于；mb)在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；y 点 C、D 的横坐标都等于；n象限横坐标x纵坐标y第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负P（ba,）abxyO-3 -2 -1 0 1 ab1-1-2-3P(a,b)YxXYABmBXYCDnab7、对称点的坐标特征：对称点的坐标特征：a)点 P关于轴的对称点为，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；),(nmx),(1nmPb)点 P关于轴的对称点为，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；),(nmy),(2nmP c)点 P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；),(nm),(3nmP 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点对称8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a)若点 P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；nm,nm b)若点 P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；nm,nm 在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上（二）一次函数知识点归纳（二）一次函数知识点归纳【基本要点基本要点】1、变量：、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。注：这是课本对于函数注：这是课本对于函数 的定义，在理解与实际运用中我们要注意以下几点：的定义，在理解与实际运用中我们要注意以下几点：1、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的；如：、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的；如：y=xz 中有三个变量，就不是函数；中有三个变量，就不是函数；y=0 中只中只有一个变量，也不是函数；而有一个变量，也不是函数；而 y=0（x0）却是函数，因为括号中标明了自变量的取值范围；）却是函数，因为括号中标明了自变量的取值范围；2、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应，反之，当因变量取每一个确定的值时自变量可以去若、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应，反之，当因变量取每一个确定的值时自变量可以去若干个值相对应；因为这两个变量有先变与后变的问题，让后变的先取一个值，先变的就不一定只取一个值；干个值相对应；因为这两个变量有先变与后变的问题，让后变的先取一个值，先变的就不一定只取一个值；3、我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：、我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：a 是是 b 的函数就说明的函数就说明 a 是函数值，是函数值，b 是自变量；用是自变量；用y 表示表示 x 就说明就说明 y 是自变量，是自变量，x 是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数，不能随便说一个解析式是不是函数，如：是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数，不能随便说一个解析式是不是函数，如：Y=x，只能说，只能说 y 是是 x 的函数，就不能说的函数，就不能说 x 是是 y 的函数；的函数；24、函数解析式的表示：只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在等号右边；注意不能写成、函数解析式的表示：只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在等号右边；注意不能写成 2y=3x-3 或或 y=3x-32的形式；的形式；5、任何函数都包含自变量的取值范围，如果没指明说明自变量的取值范围是任意实数。自变量的取值范围从以下几个方面、任何函数都包含自变量的取值范围，如果没指明说明自变量的取值范围是任意实数。自变量的取值范围从以下几个方面把握：把握：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。3、函数的图像、函数的图像XyP1PnnmOXyP2PmmnOXyP3PmmnOnXyPmnOyPmnOX一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象4、函数解析式：、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。5、描点法画函数图形的一般步骤、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。6、函数的表示方法、函数的表示方法列表法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。7、正比例函数及性质、正比例函数及性质一般地，形如 y=kx(k 是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式注：正比例函数一般形式 y=kx(k 不为零不为零)k 不为零不为零 x 指数为指数为 1 b 取零取零当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b0 时，向上平移；当 b0 或 ax+b0a0图像 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=，顶点坐标是ab2（，）；ab2abac442（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（4）抛物线有最低点，当 x=时，y 有最ab2（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=，顶点坐标是ab2（，）；ab2abac442（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而减小，简ab2记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最ab2小值，abacy442最小值大值，abacy442最大值2、二次函数中，的含义：表示开口方向：)0,(2acbacbxaxy是常数，cb、aa0 时，抛物线开口向上，0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0)(h0)(k0)(h0)(h0)(k0)(k0)|k|y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律平移规律 在原有函数的基础上在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正右移，负左移；值正上移，负下移值正上移，负下移”hk概括成八个字概括成八个字“同左上加，异右下减同左上加，异右下减”三、二次函数三、二次函数与与的比较的比较2ya xhk2yaxbxc请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。2245yxx2yaxbxc2ya xhk总结：总结：从解析式上看，从解析式上看，与与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前2ya xhk2yaxbxc者，即者，即，其中，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa，四、二次函数四、二次函数图象的画法图象的画法2yaxbxc五点绘图法：利用配方法将二次函数五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式化为顶点式，确定其开口方向、确定其开口方向、2yaxbxc2()ya xhk对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点轴的交点、以及、以及关于对称轴对称的点关于对称轴对称的点、与、与轴的交点轴的交点，（若（若y0c，0c，2hc，x10 x，20 x，与与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.x画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点，与轴的交点轴的交点.xy五、二次函数五、二次函数的性质的性质2yaxbxc 1.当当时，抛物线开口向上，对称轴为时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，顶点坐标为0a 2bxa 2424bacbaa，当当时，时，随随的增大而减小；当的增大而减小；当时，时，随随的增大而增大；当的增大而增大；当时，时，有有2bxa yx2bxa yx2bxa y最小值最小值244acba 2.当当时，抛物线开口向下，对称轴为时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，顶点坐标为当当时，时，0a 2bxa 2424bacbaa，2bxa 随随的增大而增大；当的增大而增大；当时，时，随随的增大而减小；当的增大而减小；当时，时，有最大值有最大值yx2bxa yx2bxa y244acba六、二次函数解析式的表示方法六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：一般式：（，为常数为常数，）；2yaxbxcabc0a 2.顶点式：顶点式：（，为常数为常数，）；2()ya xhkahk0a 3.两根式：两根式：（，是抛物线与是抛物线与轴两交点的横坐标轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a 1x2xx注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与只有抛物线与轴有交点，即轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解x240bac析式的这三种形式可以互化析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数二次项系数a二次函数二次函数中，中，作为二次项系数，显然作为二次项系数，显然2yaxbxca0a 当当时，抛物线开口向上，时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；的值越小，开口越大；0a aa 当当时，抛物线开口向下，时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大的值越大，开口越大0a aa总结起来，总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大的大小决定开口的大aaa小小2.一次项系数一次项系数b 在二次项系数在二次项系数确定的前提下，确定的前提下，决定了抛物线的对称轴决定了抛物线的对称轴ab 在在的前提下，的前提下，0a 当当时，时，即抛物线的对称轴在，即抛物线的对称轴在轴左侧；轴左侧；ab 同号同号同左同左上加上加0b 02bay当当时，时，即抛物线的对称轴就是，即抛物线的对称轴就是轴；轴；0b 02bay当当时，时，即抛物线对称轴在，即抛物线对称轴在轴的右侧轴的右侧a,b 异号异号异右异右下减下减0b 02bay 在在的前提下，结论刚好与上述相反，即的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 当当时，时，即抛物线的对称轴在，即抛物线的对称轴在轴右侧；轴右侧；a,b 异号异号异右异右下减下减0b 02bay当当时，时，即抛物线的对称轴就是，即抛物线的对称轴就是轴；轴；0b 02bay当当时，时，即抛物线对称轴在，即抛物线对称轴在轴的左侧轴的左侧ab 同号同号同左同左上加上加0b 02bay总结起来，在总结起来，在确定的前提下，确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置决定了抛物线对称轴的位置ab总结：总结：同左上加同左上加 异右下减异右下减 3.常数项常数项c 当当时，抛物线与时，抛物线与轴的交点在轴的交点在轴上方，即抛物线与轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当当时，抛物线与时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为轴交点的纵坐标为；0c yy0 当当时，抛物线与时，抛物线与轴的交点在轴的交点在轴下方，即抛物线与轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负轴交点的纵坐标为负0c yxy 总结起来，总结起来，决定了抛物线与决定了抛物线与轴交点的位置轴交点的位置cy 总之，只要总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc，二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式