数学系第三学期数学分析期末考试题及答案.doc

第三学期《数学分析》期末试题
一、 选择题：（15分,每小题3分）
1、累次极限存在是重极限存在的（ ）
A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件
2、（ ）
A ； B ；
C ； D。
3、函数f(x,y）在（x0，，y0)可偏导，则( D )
A f(x，y）在（x0，,y0)可微 ; B f（x,y)在（x0,,y0)连续;
C f（x,y）在（x0,，y0）在任何方向的方向导数均存在 ； D 以上全不对。
4、的二重极限和二次极限各为（ B ）
A、0，0，0； B、不存在,0，0，； C、0，不存在，0； D、0，0，不存在。
5、设，则( A ）
A、0； B、1； C、—1； D、2.
二、计算题（50分，每小题10分）
1、 证明函数 在(0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；
2、 设；
3、 设有隐函数,其中的偏导数连续，求、；
4、 计算，其中是任一条以为起点、为终点的光滑曲线;
5、 计算，其中为在的部分；
三、验证或解答（满分24分，每小题8分)
1、验证曲线积分与路线无关，并求被积表达式的原函数;
2、说明对任意均一致收敛；
3、验证函数
在原点（0，0)分别对每个自变数（另一个看作常数）都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续。
四、（11分）求由方程组确定的隐函数处的一阶导数。
部分题目参考答案：
二、1、证明:（4分)=0所以函数在(0，0）点连续，(3分）又，存在切等于0，（4分)但不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）
二、2、解
由于，所以 .
二、3、   ［解法 1］  由隐函数、复合函数求导法
   [解法 2]  利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得
                       ， 
，故       。
由此可见，用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.
二、4、 解  令=，=，则 ==，故被积表达式一定有原函数，注意到=，知 
  = 是的一个原函数，故由定理21。13，有
=  =.
二、5、解  曲面在平面上的投影区域，而，于是曲面的面积微元

所以  
（在极坐标系下计算)  
   .
三、1、解 由于所以曲线积分与路线无关. 现在求 取为沿平行于轴的直线到，再沿平行于轴的直线到，最后沿平行于轴的直线到.于是
其中是一个常数，若取为原点，则得
三、2、解 当收敛，所以关于一致收敛。而积分是定积分，所以一致收敛.
三、3、证明 ，与,即在原点（0，0）分别对都连续
当时，却有，即在原点（0，0)不连续（其实在原点（0,0）并不存在极限，当然不连续）。
四、解 方程两边对x求导有
，代入（1)有:，所以，.