正规矩阵的方程构造_方静雯.pdf

收稿日期2 0 2 1-1 1-0 2;修改日期2 0 2 2-0 7-0 7 基金项目国家自然科学基金(1 9 4 1 2 6 7 7 2 1);2 0 2 1年扬州大学大学生科创基金项目(X 2 0 2 1 0 2 3 9);江苏高校品牌专业建设工程资助项目(数学与应用数学P P Z Y 2 0 1 5 B 1 0 9)作者简介方静雯(2 0 0 1-),女,本科在读,数学与应用数学专业.E-m a i l:1 6 5 3 4 8 5 8 5 3q q.c o m 通讯作者魏俊潮(1 9 6 8-),男,博士,教授,从事代数环论及环上广义逆研究.E-m a i l:j c w e i y z 1 2 6.c o m第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2正规矩阵的方程构造方静雯,徐陈炜,曾 立,魏俊潮(扬州大学 数学科学学院,江苏 扬州2 2 5 0 0 2)摘 要通过对复数域上的群逆矩阵、M o o r e-P e n r o s e(简称MP)可逆矩阵和共轭转置矩阵的研究,给出矩阵r a n g e-H e r m i t i a n(简称E P)性的一些新刻画,借助于这些性质刻画,构造出相关的矩阵方程,研究所得方程在给定集合中解的存在性对矩阵E P性的影响,从而给出正规矩阵的刻画.利用这些刻画再反过来构造矩阵方程,研究其一般解形式,通过变化其特解形式给出矩阵E P性的若干新性质.关键词群可逆矩阵;E P矩阵;正规矩阵;矩阵方程的一般解 中图分类号O 1 5 3 文献标识码A 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-1 1 6-0 41 引 言本文中,nn表示复数域上全体n阶复方阵的集合.设Ann,则总存在唯一的矩阵Bnn,使得A=A B A,B=B A B,A B=(A B)H,B A=(B A)H,称B是A的M o o r eP e n r o s e逆矩阵,简称MP逆矩阵1.通常用A+表示A的M o o r eP e n r o s e逆矩阵.(A B)H表示A B共轭转置矩阵.矩阵A的群逆矩阵是指存在矩阵A#nn2,满足:A=A A#A,A#=A#A A#,A A#=A#A.由文献2 知当i n d(A)1,即r a n k(A)=r a n k(A2)时,A#是存在且唯一的.设Ann,若A是群可逆矩阵且A#=A+,则称A是r a n g e-H e r m i t i a n(简称E P)矩阵3.关于E P矩阵的研究,可参见文献3-7.设Ann,若AHA=A AH,则称A是正规矩阵4.由文献8 知,当A是群可逆矩阵时,A是正规矩阵当且仅当AHA#=A#AH.有关正规矩阵的研究,可参见文献9-1 2,这些工作主要是给出正规矩阵的性质刻画.受此启发,本文通过构造相应的矩阵方程,研究在给定集合中这些矩阵方程有解及一般解的形式表示形式,借此刻画正规矩阵.2 主要结果当A为正规矩阵时,A+AHA#(A#)H=A+A#AH(A#)H=A#A+(A A#)H=A#A+.证 事实上注意到正规矩阵是E P矩阵,因此 A+AHA#(A#)H=A+A#AH(A#)H=A#A+(A#A)H=A#A+(A A#)H=A#A+(A A+)H=A#A+A A+=A#A+.受此启发,给出下面的引理.引理1 设Ann是群可逆矩阵,则A是正规矩阵当且仅当AHA#(A+)H=A+.证 必要性.假设A为正规矩阵,则A为E P矩阵,且AHA#=A#AH.于是AHA#(A+)H=A#AH(A+)H=A#A+A=A+.充分性.若AHA#(A+)H=A+,右乘A A#,注意到(A+)HA A#=(A+)HA+A A A#=(A+)HA+A=(A+)H,故得A+=A+A A#,从而A为E P矩阵.因此A#AH=A+AH=AHA#(A+)HAH=AHA#A A+=AHA#,故A为正规矩阵.由引理1可诱导出下面的推论.推论1 设Ann是群可逆矩阵,则下列条件等价:(i)A是正规矩阵;(i i)AHA#(A+)#=A#;(i i i)AHA+(A+)H=A+;(i v)(A+)HA+AH=A+.注意到A+=A+(A+)HAH,于是A是正规矩阵时,AHA+(A+)H=A+(A+)HAH.引理2 设Ann是群可逆矩阵,则(i)(A+)#=(A A#)HA(A A#)H;(i i)(A#)+=A+A3A+.可构造如下矩阵方程:x A+(A+)H=A+(A+)Hx.(1)定理1 设Ann是群可逆矩阵,则A是正规矩阵当且仅当方程(1)在PA=A,A#,A+,AH,(A+)H,(A#)H,(A#)+,(A+)#,中至少有一个解.证 必要性.若A是正规矩阵,则由推论1可知x=AH为一个解.充分性.若x=A为解,则A A+(A+)H=A+(A+)HA,即(A+)H=A+(A+)HA,取共轭转置得AHA+(A+)H=A+,由推论1知A为正规矩阵;若x=A#为解,则A#A+(A+)H=A+(A+)HA#,左乘A+A得A#A+(A+)H=A+A#(A+)H,右乘AHA3得A=A+A2,于是A为E P矩阵,故(A+)H=A A+(A+)H=A2A#A+(A+)H=A2A+(A+)HA#=A(A+)HA#=A(A+)HA+,从而A+=(A+)HA+AH,由推论1知A为正规矩阵;若x=A+为解,则A+A+(A+)H=A+(A+)HA+,右乘A A+得A+A+(A+)H=A+A+(A+)HA A+,由5,L e mm a2.1 1 知A+(A+)H=A+(A+)HA A+.左乘A AHA得A=A2A+,于是A为E P矩阵,于是x=A+=A#,由知,A为正规矩阵;若x=AH为解,则AHA+(A+)H=A+(A+)HAH=A+,由推论2知A为正规矩阵;若x=(A#)H为解,则(A#)HA+(A+)H=A+(A+)H(A#)H,取共轭转置得A#A+(A+)H=A+(A+)HA#,由知A为正规矩阵;若x=(A+)H为解,则(A+)HA+(A+)H=A+(A+)H(A+)H,取共轭转置得A+A+(A+)H=A+(A+)HA+,由知A为正规矩阵;若x=(A+)#为解,则由引理2得711第6期 方静雯,等:正规矩阵的方程构造(A A#)HA(A A#)HA+(A+)H=A+(A+)H(A A#)HA(A A#)H,即(A A#)H(A+)H=A+(A+)H(A A#)HA(A A#)H,右乘A A+得(A A#)H(A+)H=(A A#)H(A+)HA A+,左乘A AH得A=A2A+,于是A为E P矩阵,从而x=(A+)#=(A#)#=A,由知A为正规矩阵;若x=(A#)+为解,则由引理2知A+A3A+A+(A+)H=A+(A+)HA+A3A+=A+(A+)HA2A+,左乘A得A3A+A+(A+)H=(A+)HA2A+,右乘A A#得(A+)HA2A+=(A+)HA,左乘A#AH得A A+=A#A,于是A为E P矩阵,从而x=(A#)+=(A+)+=A,由知A为正规矩阵;现把方程(1)推广如下x A+(A+)H=A+(A+)Hy.(2)定理2 设Ann是群可逆矩阵,则方程(2)的一般解由下式给出x=A+(A+)HP+U-U A+A,y=P A+(A+)H+V-A+A V.(3)其中P,U,Vnn.证 首先(A+(A+)HP+U-U A+A)A+(A+)H=A+(A+)HP A+(A+)H=A+(A+)H(P A+(A+)H+V-A+A V),故公式(3)为方程(2)的解.其次设x=x0,y=y0 为方程(2)的任一个解,则x0A+(A+)H=A+(A+)Hy0,注意到x0A+A=x0A+(A+)HAHA=A+(A+)Hy0AHA,取P=y0AHA,U=x0,则x0=A+(A+)HP+U-U A+A.由于A+A y0=AH(A+)Hy0=AHA A+(A+)Hy0=AHA x0A+(A+)H=AHA x0A+(A+)HA+A=A+A y0A+A.取V=y0-P A+(A+)H,则A+A V=A+A y0-A+A P A+(A+)H=A+A y0A+A-A+A y0AHA A+(A+)H=A+A y0A+A-A+A y0A+A=O.于是y0=P A+(A+)H+V-A+A V,故方程(2)的每一个解具有公式(3)的形式,从而方程(2)的一般解由公式(3)给出.定理3 设Ann是群可逆矩阵,则A为正规矩阵当且仅当方程(2)的一般解由下列给出x=(A+)HA+P+U-U A+A,y=P A+(A+)H+V-A+A V.(4)其中P,U,Vnn.证 充分性.由于A为正规矩阵,故A#=A+,A#AH=AHA#,于是A(A#)H=(A#)HA,从而A#(A#)H=(A#)HA#,故A+(A+)H=(A+)HA+,因此公式(3)与(4)一致,由定理2知,方程(2)的一般解由公式(4)给出.必要性.由题设可知(A+)HA+P+U-U A+A)A+(A+)H=A+(A+)H(P A+(A+)H+V-A+A V),即(A+)HA+P A+(A+)H=A+(A+)HP A+(A+)H,取P=A,则(A+)HA+(A+)H=A+(A+)H(A+)H,于是A+(A+)HA+=A+A+(A+)H,右乘A A+得A+A+(A+)H=A+A+(A+)HA A+,由文献5,L e mm a2.1 1811大 学 数 学 第3 8卷得A+(A+)H=A+(A+)HA A+,左乘A#AHA得A#=A#A A+,从而A为E P矩阵.于是(A+)HA+=A A+(A+)HA+=A A+A+(A+)H=A+(A+)H,即(A#)HA#=A#(A#)H,故(A#)HA=A(A#)H,从而A为正规矩阵.3 结 论本文通过对矩阵广义逆的分析,建立了几种形式简洁矩阵广义逆方程,并利用所得方程在给定集合中解的存在性,探究解与矩阵E P逆的相关性;研究所得方程的一般解形式和当特殊解发生变化时相关矩阵的广义逆性质.为矩阵广义逆提供了诸多新的研究导向.致谢 作者非常感谢审稿专家提出的宝贵意见.参 考 文 献1 P E N R O S ER.Ag e n e r a l i z e di n v e r s ef o rm a t r i c e sJ.M a t h e m a t i c a lP r o c e e d i n g so ft h eC a m b r i d g eP h i l o s o p h i c a lS o c i e t y,1 9 5 5,5 1:4 0 6-4 1 3.2 C AMP B E L LSL,ME Y E RJ rCD.E Po p e r a t o r sa n dg e n e r a l i z e di n v e r s e sJ.C a n a d i a n M a t h e m a t i c a lB u l l e t i n,1 9 7 5,1 8:3 2 7-3 3 3.3 王一涵,陶睿,魏俊潮.E P矩阵的若干研究J.高等数学研究,2 0 2 1,2 4(1):4 2-4 5.4 张贺,袁博.正规矩阵的几个等价条件J.河北北方学院学报(自然科学版),2 0 0 9,2 5(1):9-1 3.5 Z HA ODD,WE I JC.S t r o n g l yE Pe l e m e n t s i nr i n g sw i t h i n v o l u t i o nJ.J o u r n a l o fA l g e b r aa n d i t sA p p l i c a t i o n s,2 0 2 2,8 8:1 1 7-1 2 6.6 K O L I HA JJ,P a t r i c i oP.E l e m e n t so fr i n g s w i t he q u a ls p e c t r a li d e m p o t e n t sJ.J o u r n a lo ft h e A u s t r a l i a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,2 0 0 2,7 2:1 3 7-1 5 2.7 张丽,唐瑞君,魏俊潮.E P矩阵与矩阵方程的解J.大学数学,2 0 2 0,3 6(1):1 1 5-1 2 0.8 MO S I CD,D J O R D J E V CDS.P a r t i a l i s o m e t r i e s a n dE Pe l e m e n t s i nr i n g sw i t h i n v o l u t i o nJ.E l e c t r o n i c J o u r n a l o fL i n e a rA l g e b r a,2 0 0 9,1 8:7 6 1-7 7 2.9 S H ILY,WE I JC.S o m en e wc h a r a c t e r i z a t i o n so fn o r m a l e l e m e n t sJ.F i l o m a t,2 0 1 9,3 3(1 3):4 1 1 5-4 1 2 0.1 0 MO S I CD,D J O R D J E V I C DS.M o o r e-P e n r o s ei n v e r t i b l en o r m a la n d H e r m i t i a ne l e m e n t si nr i n g sJ.L i n e a rA l g e b r aa n d i t sA p p l i c a t i o n s,2 0 0 9,4 3 1:7 3 2-7 4 5.1 1 QU Y,WE IJ,YA O H.C h a r a c t e r i z a t i o n so fn o r m a le l e m e n t si nr i n g sw i t hi n v o l u t i o nJ.A c t a M a t h e m a t i c aH u n g a r i c a,2 0 1 8,1 5 6(2):4 5 9-4 6 4.1 2 张雨婷,朱子建,赵瑞,等.2-正规矩阵J.大学数学,2 0 2 1,3 7(4):1 0 9-1 1 5.E q u a t i o nC o n s t r u c t i o no fN o r m a lM a t r i xF ANGJ i n g w e n,XUC h e n w e i,Z E NGL i,WE I J u n c h a o(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sS c i e n c e,Y a n g z h o uU n i v e r s i t y,Y a n g z h o uJ i a n g s u2 2 5 0 0 2,C h i n a)A b s t r a c t:B ys t u d y i n gt h eg r o u p i n v e r t i b l em a t r i x,MPm a t r i xa n dc o n j u g a t e t r a n s p o s em a t r i x i nc o m p l e xf i e l d,t h i sp a p e rg i v e ss o m en e wc h a r a c t e r i z a t i o n so fe p-p r o p e r t yo fm a t r i x,w i t ht h eh e l po ft h e s ec h a r a c t e r i z a t i o n s,t h er e l a t e dm a t r i xe q u a t i o n sa r ec o n s t r u c t e d,a n dt h ei n f l u e n c eo ft h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o no ne p-p r o p e r t yo fm a t r i x i nag i v e ns e t i ss t u d i e d,a n dt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fE P-m a t r i x i sg i v e n.U s i n gt h e s ec h a r a c t e r i z a t i o n s,t h em a t r i xe q u a t i o n i sc o n s t r u c t e d i nt u r n,t h eg e n e r a l s o l u t i o nf o r mi ss t u d i e d,a n ds o m en e wp r o p e r t i e so fE Pp r o p e r t yo fm a t r i xa r eg i v e nb yc h a n g i n gt h es p e c i a l s o l u t i o nf o r m.K e yw o r d s:g r o u p i n v e r t i b l em a t r i x;E Pm a t r i x;n o r m a lm a t r i x;g e n e r a l s o l u t i o no fm a t r i xe q u a t i o n911第6期 方静雯,等:正规矩阵的方程构造