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不等式的证明
一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种：
1．作差比较法
（1）应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法。
（2）方法：欲证A>B,只需要证A-B>0
（3）步骤：“作差----变形----判断符号”。
（4）使用此法作差后主要变形形式的处理：
○将差变形为常数或一常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差符号。
○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。
2．作商比较法
（1）应用范围：当要证的式子两端是乘积的形式或幂、指数时常用此法。
（2）方法：要证A>B,常分以下三种情况：
若B>0，只需证明；若B=0，只需证明A>0；若B<0，只需证明。
（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小”
例1 已知a，b∈R，且a+b=1. 求证：.
解析：用作差比较法

即（当且仅当时，取等号）
例2：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：
解析：用作差比较法
∵
∵a,b,m都是正数，并且a<b，∴b + m > 0 , b - a > 0
∴ 即：
例3：已知a>b>0,求证：
解析：用作商比较法
∵
又∵a>b>0,
练习：已知a，b∈R+，求证aabb≥abba．
例4：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小。
解析：法1：用作差比较法

∵0 < 1 - x2 < 1, ∴
∴
法2：用作商比较法

∵0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, ∴
∴ ∴
练习：证明下列不等式
　1.　
2.
3.
4.已知a，b，c∈R+，求证：a3+b3+c3≥3abc．

二、综合法：用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“可知”，逐步推出“结论”综合法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据。常用的不等式有：
（1）
（2）
（3） （4）
例5：若a、b、c是不全相等的正数，
求证：
解析：根据本题的条件及要证明的结论，可用综合法证明。

又a,b,c,为不全相等的正数，故有

解析：左式含有分母，右式为整式，故应设法化去左式的分母，考虑用综合法。
：
三、分析法：分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。分析法一般用于综合法难以证明的不等式。不等式形式复杂，不宜直接由一端过渡到另一端，可作等价变形用分析法证明。
例7：若0<a<c,,b<c,求证：

解析：要证
只要证

也即a2-2ac<-ab
∵a>0,∴只要证a+b<2c
由题设条件，显然有a+b<2c成立。所以，原不等式成立。

解析：直接不好入手，用分析法证明。要证原不等式成立，只需证明

w.m∵，即有

例9 :设，求证：
证明：要证原不等式成立，只需证：
∵只需证
只需证，只需证
∵上式成立 ∴原不等式在时成立.

四、反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。
例10：已知a>0,b>0,且a+b>2
解析：由于题目结论是：至少有一个小于2，情况较复杂，讨论起来比较繁，宜采用反证法。

∵ a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b,
两式相加可得1+b+1+a≥2（a+b）
即a+b≤2,这与已知a+b>2矛盾。故假设不成立

例11：设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于
解析：假设(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,
则三式相乘： (1 - a)b•(1 - b)c•(1 - c)a > ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：,
以上三式相乘： (1 - a)a•(1 - b)b•(1 - c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例12：已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
解析：假设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = -a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
五：换元法：在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。
它主要有两种换元形式：
(1)三角换元法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，
(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。例如若要证明含有三个量a,b,c的不等式，a,b,c之间的大小关系有三种情况：互不相等；或有两个相等；或三个相等，故可在假定

例13：若，求证：
解析：由x2+y2≤1，联想到三角函数的性质，考虑用三角换元法。
设，
则

练习：已知，求证：.
例14：已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求证 (a+)(b+)≥
解析：证法一 (三角换元法）
∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)
2
证法二 (增量换元法)
设a=+t1，b=+t2
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立
说明：形如a+b=1结构式的条件，一般都可以采用换元法。换元时，新的变量的变化范围必须保证原来的变量的变化范围不发生变化。

例15：证明：若a > 0，则
解析：根据题目的特点，有时可采用代数换元简化证明。
设
则
（ 当a = 1时取“=” ）
∴
即 ∴原式成立
6.已知，求证；

六：放缩法：要证明不等式Ａ<Ｂ成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。
放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。
常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。
例16：求证：

解析：舍掉(或加进)一些项进行放缩。
∵
∴
【变式】
∵
∴

例17：若a，b，c，d是正数．
求证：
解析：运用放大、缩小分母或分子的办法来进行放缩
∵

又
或

（利用）
∴
说明：分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩．
例18：若，求证：
解析：根据题目的特点考虑应用均值不等式进行放缩。

∵
∴
例19：当时，求证：
解析：∵， ∴，且，
∴，
∴时, .
例20：设、、是三角形的边长，求证≥3
证明：由不等式的对称性，不妨设≥≥，则≤≤
且≤0， ≥0
∴
≥
∴≥3
[注释]：本题中为什么要将与都放缩为呢？这是因为≤0，
≥0，而无法判断符号，因此无法放缩。所以在运用放缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。
例21：设、、是三角形的边长，求证≥

证明：由不等式的对称性，不防设≥≥，则≥

左式－右式
≥
≥≥0
例22：设、、且求证≤1
证明：设.且 x、y、. 由题意得：。
∴
∴≥0
∴≥
∴≥
∴≤
同理：由对称性可得≤，≤ ∴命题得证.
例23 设n∈N，求证：

解  (1)采取逐项放缩的方法。由于

令1，2，…，n，则有

……………………

依项相加，即得

(2)设

并引进辅助式

比较两式的对应因式可知

七：构造法：在不等式的证明中，可根据不等式的结构特点，恰当的构造一个与不等式相关的数学模型，如构造函数、方程、数列、向量等，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。
1,构造函数利用判别式证明不等式
①构造函数正用判别式证明不等式
在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。
例24：设：a、b、c∈R，证明：成立，并指出等号何时成立。
解析：令
⊿＝
∵b、c∈R，∴⊿≤0
即：，∴恒成立。
当⊿＝0时，，此时，，
∴时，不等式取等号。
例25：已知：且，求证： 。
解析： 消去c得：，此方程恒成立，
∴⊿＝，即：。
同理可求得
例26： 已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，
求证 x，y，z∈［0，］
解析：根据题目的特点考虑构造方程求解。
由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+y2+(1－x－y)2=，
整理成关于y的一元二次方程得
2y2－2(1－x)y+2x2－2x+=0，
∵y∈R，故Δ≥0
∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+)≥0，得0≤x≤，∴x∈［0，］
同理可得y，z∈［0，］
（此法也称判别式法）

② 构造函数逆用判别式证明不等式
对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：
由，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。

例27：设且，
求证：﹤6。
解析：构造函数：

＝
由，得⊿≤0，即⊿＝.
∴﹤6.
例28：设且，求的最小值。
解析：构造函数
＝
由（当且仅当时取等号），
得⊿≤0,即⊿＝144-4（）≤0
∴当时，
例29：已知a1、a2、…an，b1、b2、…bn为任意实数，求

证明：构造一个二次函数

它一定非负，因它可化为(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(anx-bn)2．
∴Δ≤0，(当a1，a2，…an都为0时，所构造式子非二次函数，但此时原不等式显然成立．)

2,构造函数利用函数有界性证明不等式
例30： 设﹤1，﹤1，﹤1，求证：﹥-1.
解析：令为一次函数。
由于﹥0，且﹥0，
∴在时恒有﹥0.
又∵，∴﹥0，即：﹥0
3,构造函数利用单调性证明不等式
例3·：设，求证：﹥
解析：设，当﹥0时，是增函数，
又＝﹥＝，
而，∴﹥，∴﹥
故有： ﹥
例32：求证：当﹥0时， ﹥。
解析：令，∵﹥0，∴ ﹥0.
又∵在处连续，∴在上是增函数，
从而，当﹥0时，﹥＝0，
即：﹥成立。
例33：已知x > 0，求证：
解析：构造函数 则， 设2≤a<b

由
显然 ∵2≤a<b ∴a - b > 0, ab - 1 > 0, ab > 0 ∴上式 > 0
∴f (x)在上单调递增，∴左边
例34：证明：对任意的正整数n，不等式 都成立.
解析：从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明。
令，
则在上恒正，
所以函数在上单调递增，∴时，恒有
即，∴
对任意正整数n，取
例35：（2004年，全国卷）已知函数
设，证明：
证明：，设

当时 ，当时 ，
即在上为减函数，在上为增函数
∴，又 ∴，
即
设

当时，，因此在区间上为减函数；
因为，又 ∴，
即
故
综上可知，当 时，

4,构造函数利用奇偶性证明不等式
例36：求证：﹤。
解析：设-，＝＝＝＝.
所以是偶函数，其图象关于轴对称。
当﹥0时，﹤0，故﹤0；当﹤0时，依图象关于轴对称知﹤0。
故当时，恒有﹤0，即﹤
构造数列
例37．已知n∈N，n＞1．求证

则

构造向量证明不等式
例38：：证明： 并指出等号成立的条件。
解析：不等式左边可看成向量a=与向量b=的数量积，又

,所以≤9
当且仅当b=λa(λ>0)时等号成立。
故由
例39：已知，求证：
证明 设，则有
，
∵，∴，由性质，得

八,解析法
⑴构造点到直线的距离模型证明不等式
例40：设+,且+=1,求证:≥ .
分析:可以看作是点O
x
y
B
A
图1

与点之间的距离,
而+=1可看作是点在直
线:上,且点到
直线的距离为.如图1,因为点B到点A的距离不小于它到直线的距离,
∴≥=≥=.
∴≥.(由+且+=1得0﹤≤).
⑵构造两点间的距离模型证明不等式
例41：已知，求证:≥
分析:观察不等式的结构知原不等式即是≥,左边是点与点之间的距离,右边是点到直线:的距离.由于点在直线上,类似例1, 原不等式成立.
例42：已知0 < a < 1，0 < b < 1，
求证：
A
B
C
D
O
1-b
b
a
1-a
解析：根据题目的结构特点钩造几何图形证明。
构造单位正方形，O是正方形内一点
O到AD, AB的距离为a, b，
则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD|
其中，

又：
∴

⑶构造直线的斜率模型证明不等式
例43：已知 ,求证:≤.
分析:设,,则,且,即,它表示经过两直线与的交点(2,2)的一族直线.因||=,故||表示单位圆上的点到直线x
y
A(2,2)
O
图2
(x,y)
的距离与到直线的距离的比值.结合图2可知,该比值等于点与点的连线与直线夹角的余切,且当过点的直线与单位圆相切时,所对应的值即是的最大值与最小值,因此易得≤1,即||≤,
故≤.
⑷构造折线段长之和不小于直线段长模型证明不等式
例44：设,则…≥,当且仅当时等号成立.
分析: 设
O
x
y
A1
A2
An
图3
　　　则
||＝，||＝，
||＝ ,‥‥ ,
||=,
||=,
如图3，∵||+||+||+…+||≥||,
∴++…+
≥.
显然, 当且仅当点共线时,即当且仅当时等号成立.
⑸构建线段的定比分点公式证明不等式
例45：证明:≤≤3.
分析:当时，不等式左边取等号；
　 当时，可设数轴上的三点的坐标分别为3、、，
由于定比≥0.
　　　故点是线段的内分点或者点与点重合，因此，
≤≤3.
综上所述，≤≤3.
例46： 已知,求证:.
证明：设分别为数轴上三点,它们分别为：-1,1,,
与所在的比为则：
即 是的内分点,则.
例47： 证明：对任意的实数x,都有.
证明：设分别为数轴上三点,它们分别为：-1,1,、所成的为则：

则①.当不存在P与P2重合
②.当时其中＝0时P与P1重点,时P在P1和P2之间.综合①,②知对任意的实数x,点P总在线段P1P2上,所以有.

⑹构造两曲线的位置关系证明不等式
例48：已知实数、满足,求证:|| ≤.
分析:因表示椭圆，设＝，则方程＝表示一族互相平行的直线, 当直线与椭圆相切时,可以得到相应的最大值与最小值.按照解析几何中判断两曲线位置关系的方法,将代入,得,由△=解得±,
∴≤≤,即
|| ≤.

九：数学归纳法法：当不等式是一个与自然数n有关的命题， 可以利用数学归纳法进行证明。
例49 ： 比较2n与n2的大小（n∈N *）
解析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明
解：当n=1时，21＞12，
当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，
当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，
猜想：当n≥5时，2n＞n2
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=5时，25＞52成立
（2）假设n=k（k∈N *，k≥5）时2k＞k2，
那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k
＞k2+C+C+C=k2+2k+1=（k+1） 2
∴当n=k+1时，2n＞n2
由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立
综上，得当n=1或n≥5时，2n＞n2；
当n=2，4时，2n=n2；当n=3时，2n＜n2
例50：证明不等式(n∈N*)
解析：本题是一个与自然数n有关的命题，可以考虑应用数学归纳法证明。
(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立
(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2，

∴当n=k+1时，不等式成立
综合(1)、(2)得 当n∈N*时，都有1+＜2
另从k到k+1时的证明还有下列证法

九,利用导数证明不等式
⑴直接利用题中所给定的函数、再根据函数的单调性证明不等式
例51：（2007年安徽高考试题）、设，．
（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当时，恒有．
【解】：（I）略
（Ⅱ）对求导得：，
故，
于是，所以，当时，
因为，所以的极小值．
不难求得，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
⑵通过作差（作比）构造新函数、再根据函数的最值证明不等式
例52：（2007年湖北高考试题20题）、已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：（）．
【解】：（I）略
（II）构造函数，
则．所以，当时，
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．
例53：（2007年湖北高考试题21题）、已知为正整数，
（I） 用数学归纳法证明：当时，；
【解】：（I）构造函数，
所以
当时F,x=0
当x<0时F,x<0 此时为减函数
当x>0时 此时 为增函数
所以函数在处有极小值即为最小值
故当时，总有 即
⑶“变更主元”构造新函数、再根据函数的最值证明不等式
例54：(2007年辽宁高考试题)、已知函数，．
（I）证明：当时，在上是增函数；
（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；
（III）证明：．
【分析】：此题如果直接通过函数的最值来证明不等式，虽然“切入”较为简单，但证明过程非常繁琐。此时，如果我们“反客为主”以为自变量构造一个我们熟悉的二次函数=。再利用二次函数的最值，就可以使问题得到更完美的解决。
【解】：(Ⅲ) 设=，
则 ，所以，当时，
当t＞时, ＞0， 函数在为增函数，
当 t＜时, ＜0，函数在为减函数。
故当t=时, 即 ≥
令则易知
当x＞0时, ＞0;当x＜0, ＜0　
故当x=0时，取最小值所以≥，
所以， 对任意x、t，有≥，即≥
⑷观察“结构”构造新函数、再根据函数的单调性证明不等式
例55：(2007年山东高考试题)、设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
【分析】：我们仔细观察不等式和函数在结构上的特征，不难发现，当时，函数和不等式有相似之处，所以我们可以构造一个新的函数，这样就会使问题变的简单并易于操作。
【解】：（Ⅲ）当时，函数，
构造函数，
则．
当时，，所以函数在上单调递增，
又．
时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
对任意正整数取，所以，．
⑸观察“结构”构造新函数、再根据函数的凹凸性证明不等式
例56．(2007年四川高考试题)、设函数
（Ⅰ）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数，证明（是的导函数）；
【解】：（Ⅱ）因，
构造新函数
所以
由 ，得，所以函数在定义域上为凹函数。
由凹函数的性质可得：
所以：
要证： 即证：

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