影响萨克逊碗下沉时间各因素的研究_雷玉林.pdf

2023 年 2 月 25 日第 7 卷第 4 期现代信息科技Modern Information Technology Feb.2023 Vol.7 No.41391392023.022023.02收稿日期：2022-10-07基金项目：安徽省教育厅质量工程项目（2021kcszsfkc360）；大学生创新创业训练计划项目（202111059019，202111059071，S202011059035，S202011059059，S202011059235）影响萨克逊碗下沉时间各因素的研究雷玉林1，杨成晓1，张震1，周汪玥2，刘慧1（1.合肥学院 先进制造工程学院，安徽 合肥 230601；2.合肥学院 生物食品与环境学院，安徽 合肥 230601）摘 要：为了探究利用底部有孔的碗来进行计时这种方式的效果，文章以 2020 年全国大学生物理学术竞赛（CUPT）“撒克逊的碗”这一题目为基础，基于萨克逊碗的运动学模型和流体模型得出该碗下落轨迹方程，再利用 MATLAB 软件进行了方程的求解预测理论轨迹，使用 Tracker 软件对全过程实际运动趋势进行了采集并与理论趋势对比。并且还研究了碗底部孔的直径、碗的直径、液体的密度、碗的质量以及碗进入水中的高度对碗的下沉时间的影响。最终理论和实际符合较好。关键词：计时；孔；液体；下沉时间；MATLAB中图分类号：TP39；O351.2 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2023）04-0139-04Research on the Factors Affecting the Sinking Time of Saxon BowlLEI Yulin1,YANG Chengxiao1,ZHANG Zhen1,ZHOU Wangyue2,LIU Hui1(1.School of Advanced Manufacturing Engineering,Hefei University,Hefei 230601,China;2.School of biology,food and environment,Hefei University,Hefei 230601,China)Abstract:In order to explore the effect of timing with a bowl with a hole at the bottom,based on the topic“Saxon Bowl”of the 2020 National University Physics Academic Competition(CUPT),the paper obtains a formula of the bowls falling trajectory based on the kinematics model and fluid model of the Saxon bowl.MATLAB software is used to solve the formula and predict the theoretical trajectory.The Tracker software is used to collect the actual movement trend of the whole process and compare it with the theoretical trend.The effect of the diameter of the bowl with a hole at the bottom,the diameter of the bowl,the density of the liquid,the mass of the bowl and the height of bowl into water on the sinking time of the bowl is also studied.Keywords:timing;hole;liquid;sinking time;MATLAB0 引 言我们每天都离不开计时，如今我们可以通过手机来随时随地掌握时间，合理安排我们每一天的生活与学习。在一些比赛项目中，也有各种计时方法来确定每个人的成绩。相对于现在，古时人们会利用物理规律来计时的装置不在少数，例如我们所熟知的沙漏、香、刻漏等。碗的来源可以追溯新石器时代，聪明的撒克逊人会在一个碗的底部打开洞孔，水流会通过该洞进入到碗中，此时碗和碗中的水构成了一个新的整体，直到水完全淹没碗体，碗会沉入水中。撒克逊人通过观察该碗完全沉入水中来记录时间1。并且可以制作不同种的碗，来达到记录不同时间的效果。这种计时方式具有操作简便、制造方便、可重复使用的优势，在当地普遍使用。其实这个现象在我们日常并不少见，小到孩童将物体扔入水中来观察物体沉入水底，大到船只的沉落过程。均与该装置有一定关系。近年来，人们对该现象也做了一些探索。王幸等人将其视为简谐振动并考虑液体的黏滞阻力修正来探究碗下沉时的情况2。王澳等人使用了牛DOI:10.19850/ki.2096-4706.2023.04.035顿运动定律和伯努利方程，通过对撒克逊碗进行了建模分析，得出了碗的下沉时间与各种因素之间的关系3。钟书河山和李辰然等人也做了类似的研究4，5。目前尽管对撒克逊的碗的研究已经取得一定的结果，但是对于其确切的下沉过程的问题仍值得进一步研究。本文将基于撒克逊人所用的计时碗为模型，以 2020 年全国大学生物理学术竞赛（CUPT）中的一道探究撒克逊碗方面的试题为依据，并考虑影响碗下沉的相关因素，通过该系统的运动学模型和流体模型相结合来进一步研究下沉的碗的大致轨迹以及一些重要变量对沉没时间的关系的问题。同时利用多款软件进行辅助：并且利用 MATLAB 软件进行了方程的求解预测理论轨迹，使用 Tracker 软件对全过程实际运动趋势进行了采集并与理论趋势对比使用 Origin 进行作图分析变量之间的数学关系。1 理论模型一个底部有洞的碗放在水中会下沉，撒克逊人用这个装置来计时。由于原本系统包含变量较多，为了便于研究碗下落的时间，我们可以忽略一些影响不大的变量，将碗简化为下部中心有一个半径不同的圆形小孔的圆柱形来展开研究。本次实验所采用的实验器材如图 1 所示，我们采用了不同规格的碗来进行实验。忽略碗本身厚度，我们可以建立如图 2所示的物理模型。其中碗的质量为 M、碗内的水的质量为 m、1401402023.022023.02第 4 期现代信息科技碗的直径为 d、孔的直径为 b、碗所受的重力为 G、碗陷入水槽的深度为 H、碗内水的深度为 h、碗和碗内的水所受的浮力为 F浮、液体的密度为。图 1 萨克逊碗图片我们通过一些基本的运动定律，可以建立通过建立起我们的第一个运动学模型，如图 2 所示。hdGF浮H图 2 撒克逊碗的动力学模型动力学模型可以用牛顿运动学定律来分析。根据物理学教材中的定律6中的浮力公式，我们把碗和已经进入碗中的水可以看成一个整体，易得该整体所受浮力 F 为：（1）重力加速度设为 g，此时系统所受的重力 G 为：（2）根据牛顿第二定律 F=ma，a 又等于位移的二阶导数，根据受力关系我们可得碗第一个动力学关系方程：（3）我们借助流体学的相关知识，可以建立该系统的第二个流体模型，如图 3 所示。hdGF浮Hb碗底部的小孔直径v1图 3 撒克逊碗的流体模型设进水前的流速为 v0，虽然孔底的水会因为碗的上下波动而产生一定的初速度，但由于水流进入孔之后会有较大的加速度，故该速度和进入孔之后的速度相差较大。假定水进入孔时的速度为 0，进水后的流速为 v1；我们根据流体力学教材所提供的流体力学的方程7，再利用连续性方程得到式（4）:（4）忽略碗的厚度，由于（盐）水的粘度较低，将其简化为理想液体，我们可以通过流体学中由简化的伯努利方程8得到式（5）:（5）其中为 p1小孔处的压强，p0为碗底处的压强，代入方程式（5）可得到我们想要的第二个方程式，即流体学关系方程：（6）最终我们可以通过运动学模型和流体模型得到（3）和（6）两个式子，其中只有 h 和 H 两个未知数，因此我们可以联立这两个方程并通过 MATLAB 可对该方程进行求解。为了能够得出碗的下沉轨迹，我们预设碗的质量 M 为 500 g、碗的半径为 30 mm、孔的半径为 5 mm，并使用 MATLAB 软件对该方程求解，可以得到如图 4 所示的图像。由图 4 中我们可以看出，h 和 H 均和时间成正相关；并且碗的加速度震荡减小。因此根据该结论，我们可以通过研究碗陷入水槽的深度 H 或者碗内水的深度 h 为来计时。05101520253035404550-1.0-0.500.51.01.52.02.53.03.54.0Hh高度（cm）下沉时间（s）H的二阶导数图 4 碗在液面下的高度、碗在液面下的高度的二次微分、碗内水的深度随时间变化图像2 实验分析2.1 下沉轨迹研究我们将实际该规格的碗放入水中进行实验。由于光线等外界因素，碗内水和碗的边缘界限难以界定，故碗内水的深度 h 检测起来误差会比较大，与是我们利用 Tracker 软件的来持续追踪了该碗的下落过程中碗陷入水槽的深度 H 的变化，得到了图 5 数据。前期碗的振荡幅度较大，这个现象和前期加速度较大相吻合，然后由于加速度震荡减小，振幅越来越少自至稳定。由于前期释放时难以保持碗的完全平衡，故有一定偏差。后期受的外界因素影响较小，可见其轨迹和预测的趋势基本相同，我们可以得出该经验公式具有一定的适用性。2.2 影响下沉时间相关因素的研究我们在完成对碗下沉的轨迹的研究之后，由于各变量之间关系复杂，对碗运动轨迹的影响我们难以探索。所以我们接下来，我们将使用控制变量法来研究一些主要变量对碗下1411412023.022023.02第 4 期落的时间的影响。由于我们的模型只研究了碗没入水面的过程，对于碗完全没入水中直到碗底接触到盛水容器的底部这一过程并未研究，并且实际上这一过程相对于在液面上方而言，耗时也极短，所以为了确保实验的合理性，我们把碗底的边缘完成没入水下做为碗完成下落的标志。下文中的下沉时间也默认指代该时间。6050403020100H（mm）0 5 10 15 20 25t（s）图 5 碗在液面下的高度2.2.1 下沉时间与孔径的关系孔径是本实验较为重要的变量，我们取半径为 9 cm、孔径分别为 2 mm、6 mm、8 mm、14 mm 的碗来进行实验，多次实验求平均值所得数据如表 1 所示。我们利用 Origin 软件绘制其图像，如图 6 所示，可以得出 t b-2，碗下落的时间与孔径的平方呈反相关的关系。孔径越大，所用下沉时间越少。表 1 下沉时间与孔径 b 的关系孔径 b2 mm6 mm8 mm14 mm时间4 min 22 s32 s19 s7 sexperimentfittingt(s)b(mm)ModelNewFunction21(User)EquationA*x(-2)ReducedChi-Sqr5.901 4Adj.R-Square0.999 6ValueStandard ErrorBA1050.041129.637 13t=1050b-22 4 6 8 10 12 14300250200150100500图 6 下沉时间与孔径的关系2.2.2 下沉时间与碗的碗径的关系由于我们在改变碗的碗径 d 时，碗的质量 M 也会随着改变。但我们公式并没有考虑碗径改变对质量的影响，因此为了避免质量 M 改变对该变量的干扰，因此我们在碗的中间放上密度较大的配重铁块（忽略铁块所受的浮力），以此来用来确保每一个碗的质量均为 158 g。多次实验求平均所得数据如表 2 所示。我们选取孔径为 6 mm，碗径分别为 4 cm、9 cm、11 cm 的数据，利用 Origin 软件可以绘制出 t-d 图像，如图 7 所示，可以得到 t d2，碗下落时间是与碗径的平方呈正相关。碗径越大，所用下沉时间越多。表 2 下沉时间与碗的碗径 d 之间的关系孔径不同碗径下沉时间2 mm6 mm8 mm11 cm7 min 40 s49 s32 s9 cm4 min 22 s32 s19 s4 cm31 s9 s4 sexperimentfitting34567891011122040t(s)d(cm)Equationy=Intercept+B1*x1+B2*x2WeightNo WeightingResidual Sumof Squares0Adj.R-Square-ValueStandard ErrorBIntercept10.657 14-B1-2.642 86-B20.557 14-t=0.56d2-2.64d图 7 下沉时间与碗径的关系2.2.3 下沉时间与液体密度的关系考虑到液体会含有杂质，为了验证水的密度对碗下沉时间的影响，我们在水中加入了不同量的食盐来达到改变液体密度的目的。由于在实验中，密度对下落时间的影响不明显，故我们改用了孔径更小的碗通过增加下落时间，来扩大这一影响。最终我们采用了 9 cm 碗径，2 mm 孔径的碗来进行数据的记录。利用食用盐将调节水的密度，再利用密度计测量所得液体密度。液体被分别调为 1 g/cm3、31.034 g/cm3、1.071 g/cm3、1.109 g/cm3、1.148 g/cm3多次实验求平均所得数值如表 3 所示。利用 Origin 软件绘制其图像，如图 8 所示，根据图像可以得到 t 1.009 7，碗下落时间是与液体的密度呈正相关。密度越大，碗受到的浮力越大，所用下沉时间越多。2.2.4 下沉时间与碗的质量的关系我们选取质量 M 为 158 g、碗的半径为 9 mm、孔的半径为 2 mm 的碗来做为实验对象，为了减少实验误差，因此我们同样采用密度较大的铁块来改变整体质量（忽略铁块所受浮力），借此来完成实验.将整体质量分别调整为 158 g、174 g、190 g、206 g、222 g。多次实验求平均所得数值如表4 所示。利用 Origin 软件绘制其图像，如图 9 所示，根据图像可以得到 t M-1.06，碗下落时间是与碗的质量呈正相关。碗的质量越大，碗受到的重力，所用下沉时间就会越短。符合日常规律和实验预期。表 3 下沉时间与液体密度 的关系盐水密度（g/cm3）1.0001.0341.0711.1091.148时间（s）260278290297301雷玉林，等：影响萨克逊碗下沉时间各因素的研究1421422023.022023.02第 4 期现代信息科技experimentfitting0.981.001.021.041.061.081.101.121.141.16260280300t(s)(g/cm3)ModelNewFunction23(User)EquationA*xBReducedChi-Sqr31.298 7Adj.R-Square0.886 06ValueStandard ErrorBA265.772 384.209 97B1.009 370.179 43t=265.771.009 4图 8 下沉时间与液体密度的关系表 4 下沉时间与碗的质量 M 的关系碗质量（g）158174190206222时间（s）3129252422experimentfitting16018020022024020222426283032t(s)ModelNewFunction23(User)EquationA*xBReducedChi-Sqr0.358 81Adj.R-Square0.979 34ValueStandard ErrorBA6733.462 82 404.015 86B-1.060960.067 21t=6733M-1.06碗质量M（g）图 9 下沉时间与碗的质量的关系2.2.5 时间 t 与碗进入水的高度 H 之间的关系前文我们已经粗略探索了碗内水的高度与时间t的关系，在这里我们将进行定量的计算两者之间的关系。为了便于观察，我们在碗的外面标上不同高度。但在实际取值中，由于碗在不断上下波动，会在一个高度来回横穿，故我们采用了碗上下的摆幅的中心位置在标线时进行计时，为了减小该摆幅的影响，我们改用了碗径 9 cm，孔径更大的 6 mm 的碗进行实验。可以得到tH，大致呈正相关，如表5和图10所示。表 5 时间 t 与碗进入水的高度 H 之间的关系下沉高度（cm）34567时间 t（s）714222834experimentfitting345675101520253035t(s)H(cm)Equationy=a+b*xWeightNo WeightingResidual Sumof Squares1.6Pearsons r0.998 27Adj.R-Square0.995 4ValueStandard ErrorBIntercept-131.2Slope6.80.230 94t=-13+6.8H图 10 下沉时间与碗进入水中的高度之间的关系3 结 论虽然本实验未考虑碗的厚度、液体粘度、水流水的表面张力等可能的影响因素，但我们从下落的过程出发，利用了伯努利方程、连续性方程以及运动学公式推导出碗下落路径的经验公式，并通过实际实验对理论进行了验证。本实验还得出了四个主要变量对碗下沉所用时间的影响。结果表明：碗底小孔的直径越大，下沉时间越短；碗的直径越大，下沉时间越久；液体密度越大，下沉时间越久；碗的质量越大，下沉时间越短；碗进入水的高度越大，下沉时间越久。实验结果和理论均基本一致。参考文献：1 GREER A，KINCANON E.An experiment with Saxon bowls J.The Physics Teacher，2000，38（2）：112.2 王幸，黎秋航，侯吉旋，等.探究撒克逊碗的下沉：对简谐振动的修正 J.大学物理，2021，40（11）：80-85.3 王澳，史晨曦，王建达基于牛顿运动定律和伯努利方程的撒克逊碗下沉研究 J科技创新导报，2021，18（3）：78-80+114.5 李辰然，冯翠娣，朱泉水.撒克逊碗计时分析与研究 J.安徽电子信息职业技术学院学报，2021，20（3）：19-23.6 王秀娥.大学物理（上册）M.山东：中国石油大学出版社，2011.7 闻建龙.工程流体力学 M.北京：机械工程出版社，2018.8 邵友元.伯努利方程的准确理解及应用 J.东莞理工学院报，2010（1）：99-102.作者简介：雷玉林（2000），男，汉族，河南驻马店人，本科在读，研究方向：自动化；杨成晓（2000），女，汉族，河北张家口人，本科在读，研究方向：电子信息；张震（2001），男，汉族，安徽合肥人，本科在读，研究方向：智能制造；周汪玥（2000），女，汉族，安徽合肥人，本科在读，研究方向：食品科学；通讯作者：刘慧（1983），女，汉族，安徽宿州人，教师，博士，研究方向：凝聚态物理。