全等三角形.doc

全等三角形
◆课前热身
1.已知图中的两个三角形全等，则∠度数是（ ）

A.72° B.60° C.58° D.50°
2.一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．9或12A
B
C
D

3.如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A．　　　　　　　 B．
C． D．
4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【参考答案】
1. D
2. C 分析：等腰三角形有两种情况：（1）2、2、5；（2）5、5、2；（1）不满足三角形三边关系，所以只有5、5、2；周长=12
3. C 4. B
◆考点聚焦
知识点
全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定
大纲要求
1.了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念；
2.理解全等三角形的概念和性质。掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明和计算。
3.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析，综合，转化等数学思想。
考查重点与常见题型
论证三角形全等，线段的倍分，常见的多为解答题
◆备考兵法
1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明．在选用ASA或SAS时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．
2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，而是在运动变化中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．
◆考点链接
1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.
2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.
3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.
4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.
◆典例精析
C
A
B

例1（山西太原）如图，，=30°，则的度数为A．20° B．30° C．35° D．40°
【解析】本题考查全等三角形的性质，，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴==30°，故选B．
【答案】B
例2（河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.
【分析】首先进行判断：OE⊥AB，由已知条件不难证明△BAC≌△ABD，得∠OBA＝∠OAB再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论。解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识。
答案：OE⊥AB．　　　　　　　　　
证明：在△BAC和△ABD中，

∴△BAC≌△ABD．　　
∴∠OBA＝∠OAB,
∴OA＝OB．　　　
又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．
(注：若开始未给出判断“OE⊥AB”，但证明过程正确，不扣分)
例3（山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3

【分析】构造全等三角形解题
解：（1）正确．
证明：在上取一点，使，连接．
．，．
是外角平分线，
，
．
．
，，
．
（ASA）．
．
（2）正确．
A
D
F
C
G
E
B
N

证明：在的延长线上取一点．
使，连接．
．
．
四边形是正方形，
．
．
．
（ASA）．
．
◆迎考精炼
一、选择题
1.（江苏省）如图，给出下列四组条件：
①；
②；
③；
④．
其中，能使的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

O
D
P
C
A
B
2.（黑龙江牡丹江）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS　　 D．SSS
3.（广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
4. (甘肃定西)如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
1.（广东清远）如图，若，且，则= ．
A

B
C
D
E
A
B
C
C1
A1
B1

2.（湖南邵阳）如图，点是菱形的对角线上的任意一点，连结 ．请找出图中一对全等三角形为___________．
3.（湖南怀化）如图，已知，，要使≌，可补充的条件是 （写出一个即可）．
A
C
E
B
D

4.（福建龙岩）如图，点B、E、F、C在同一直线上． 已知∠A =∠D，∠B =∠C，要使△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是 （写出一个即可）．
A
B
E
F
C

D

5.（四川遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.
三、解答题
1.（四川宜宾）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD.
求证：∠C=∠A.

D
C
B
A
E
F
G
2. (四川南充)如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．
求证：．

3.（浙江丽水）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.

4. (上海市)已知线段与相交于点，联结，为的中点，为的中点，联结（如图所示）．

O
D
C
A
B
E
F

（1）添加条件∠A=∠D，，求证：AB=DC．
（2）分别将“”记为①，“”记为②，“”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）．

5.（吉林省）如图，
，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．
（第5题）
B
D
C
F
A　郜
E

6.（湖南省娄底市）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.
（1）求证：△ABE≌△ACE
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是
菱形？并说明理由.

【参考答案】
一、选择题
1. C 2. D 3. A 4. C
二、填空题
1.300 2.（或 或）
3.（或填或）
4.AB = DC（填AF=DE或BF=CE或BE=CF也对）
5.7
三、解答题
1.连接BD.在△ABD和△CBD中，
∵AB=CB,AD=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD.∴∠C=∠A.
2.证明：是正方形，
．
，
．
．
又，
．
，
．
在与中，，
．
．
，
．
3.解：是假命题.
以下任一方法均可：
①添加条件：AC=DF.
证明：∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE.
在△ABC和△DEF中,
AB=DE，
∠A=∠FDE，
AC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
②添加条件：∠CBA=∠E.
证明：∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠FDE，
AB=DE，
∠CBA=∠E ，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
③添加条件：∠C=∠F.
证明：∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.
在△ABC和△DEF中，

∠A=∠FDE，
∠C=∠F ，
AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)
4.（1）∵
∴OE=OF
∵为的中点，为的中点，
∴OB=OC
又∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，
△AOB≌△DOC
∴AB=DC
（2）真，假
5.解：（1）、、、、（写出其中的三对即可）
（2）以为例证明．
证明：
在Rt和Rt中，

Rt≌Rt.
6.（1）证明：∵AB=AC
点D为BC的中点
∴∠BAE=∠CAE
AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE
又点D为BC中点，∴BD=CD
∴四边形ABEC为平行四形边
∵AB=AC
∴四边形ABEC为菱形

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