初二春季下学期数学期末复习-----解析版.doc

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小马成群
深圳初二期末复习
Part1、 因式分解
1、 概念
3、 公式法
4、 平方差
5、 十字相乘
6、 分组
2、 提公因式
1、 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式, 并说明理由.
+ x - x = x(x + x)
- y2 ; 3 2 2
⑴ (x + y)(x - y) = x
2
⑵ x
⑷ xy + x + y +1= (x +1)(y +1)
⑶ x + 3x - 2 = x(x + 3)- 2;
2
解 :
⑴不是, 此变形是整式乘法运算; ⑵不是, 此等式不成立;
⑶不是, 等式右边不是整式乘积的形式; ⑷是.
2、 分解因式: 6(m-n)
原式 = 6(m - n)
3、 化简下列多项式:
3
+12(n-m)
4
解 :
3
+12(m - n)
= 6(m - n) [1+ 2(m - n)] = 6(m - n) (1+ 2m - 2n)
4 3 3
1+ x + x(1+ x)+ x(1+ x)2 + x(1+ x)3
+
+ x(1+ x)

解: 原式= ( + )é + + x(1+ x) + + x(1+ x)

ù
û
1 x 1 x
ë
= ( + )( + )é + + x(1+ x) + + x(1+ x)

ù
û
1 x 1 x 1 x
ë
…
= (1+ x) ëé1+ x + x(1+ x)ùû =(1+ x)
4、 分解因式: 4x(a
+ x )-a - x
4x(a + x )-a - x = (4x -1)(a
+ x) -14(x + x)+ 24

2
2
2
2
解 :
2
2
2
2
2
+ x
2
)
5、 分解因式: (x
2
2
2
解 :
(x + 2)(x -1)(x -3)(x + 4)
-10ab b a 2n( n为正整数)
6、 分解因式: 15a(a -b)2n+1
( - )
( - )2n éë3(a -b )- 2b ùû= 5a (a -b )2n (3a - 5b )
解: 原式 =15a(a -b)2n+1 -10ab(a -b)2n = 5a a b
注意整体思想的运用!
7、 已知三个连续奇数的平方和为251, 求这三个奇数．
解:
设三个连续奇数分别为 2n-1,2n+1,2n+3,
则 (2n 1 2 2n 1 2 2n 3 2 = 251
整理, 得 n2 + n - 20 = 0, (n+ 5)(n- 4) = 0
∴ n1 = -5, n2 = 4
- ) +( + ) +( + )
∴个连续奇数分别为-11, -9, -7或7, 9, 11．
Part2、 分式
1、 分式有意义
2、 分式值为0
3、 分式基本性质
4、 最简公分母
5、 通分
6、 最简分式
7、 约分
1
1+ 1+1 x
8、 x为何值时, 分式
有意义?
1
1+ x
解:
1+
¹ 0且1+ x ¹ 0, 则 x ¹ -2且 x ¹ -1
a
2
- 4
1+ 1+ 3a没有意义, 求 a的值.
2a
根据题意可得1+ 1+ 3a
2a
9、 要使分式
= 0或 2a = 0, 因此a = - 1或 a = 0
解:
5
分式值为 0
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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x
2
- 9
1
10、 x为何值时, 分式
分式值为零?
1+ 3+ x
x
2
- 9
1
解:
若分式
值为零, x = 3.
1+ 3+ x
x
2
+ x
1
11、 若 x
+ 3x + 2 = 0, 求 (x -1)
2的值.
2
ì
2 + x = 0
ì
x(x +1) = 0
ìx = 0或x = -1
ïx
由已知可得: í
ïx
解:
+ 3x + 2 ¹ 0, 即 íî(x +1)(x + 2) ¹
, 因此 îíx ¹ -1且x ¹ -2,
0
2
î
1
(x -1)
故 x = 0, 代入可得
2 =1 .
12、 若 x, y的值扩大为原来的 3倍, 下列分式的值如何变化?
x
x
2
2
+ y
- y
2
2
2x
3y
3
3
x
2
- y
2
⑴
⑵
⑶
3xy
(3x)
(3x)
2
+ (3y)
- (3y)
2
2 =
9(x
9(x
2
2
+ y
- y
2
) =
)
x
x
2
2
+ y
2
解:
⑴
- y2, 不发生变化
2
2
2×(3x)
3×(3y)
3
3 = 2x3, 不发生变化
3y
3
⑵
⑶
( 3x )- (y3
3× 3x× 3y
2
2
)
x9
2
-( y
2
)x-
2
=
, 不发生变化
=
2 7 x y
3x y
13、 不改变分式的值, 把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数．
3
2
3
x -
y
1 . 0x3+ 0 y. 0
3 . 2x - 0y . 5
4
1
⑴
⑵
3 x + 5 y
2
(1.03x + 0.02y)´
(3.2x - 0.5y)´100
1.03x + 0.02y =
3.2x - 0.5y
100 =
103x + 2y
320x - 50y
解:
⑴
æ 3
ç x - y÷´12
9x - 8y
è 4 3 ø
=
æ 1 x + 5 ö
4x + 30y
y ´12
2 ö
3
2
3
x -
y
y
4
1
⑵
=
3 x + 5
ç
÷
2 ø
2
è 3
14、 不改变分式的值, 使分子和分母中的最高次项系数都为正数:
6 + 4x
-3x + 7
+ 5x
2
⑴
⑵
-x
3
2
- x
-2x
2
+ x -1
4x
2
+ 6- x = - x 4x
2
+ 6
-3x + 7
3x - 7
．
- x +1
解:
⑴
+ x; ⑵
=
-2x + x -1 2x
2 2
-x
3
+ 5x
2
3
- 5x
2
15、 求下列各组分式的最简公分母
2
3a
1
-1
⑴ 7 - 7a 1- 2a + a
a
,
2,
2
1
- 4x - 5
x
+ 3x + 2
x
2
- 3x -10
⑵ x
⑶ a
a
x
,
,
2
2
2
2
x
2
+ ab, ab
2
a
2
- ab
b
2
- ab, a2 -b
2
3
-18x + 81 81- x
2
1
+18x + 81
⑷ x
x
,
2,
2
2
解:
⑴ 7(1-a) (1+ a); ⑵ (x - 5)(x +1)(x + 2); ⑶ab(a + b)(a -b); ⑷(x -9)
(x + 9)
2 2 2
16、 求下列各组分式的最简公分母
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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2
7 - 7a 1- 2a + a
3a
1
2
a -1
⑴
⑵
⑶
⑷
,
2,
1
x
+ 3x + 2
x
2
- 3x -10
,
,
x
2
x
a
a
2
2
2
- 4x - 5
+ a b
- a b b
x
2
ab
2
a
2
,
- ab, a2 -b
2
2
3
2
1
+18x + 81
,
2,
x
2
-1 8x + 8 81- x
x
2
解:
⑴ 7(1-a) (1+ a); ⑵ (x - 5)(x +1)(x + 2); ⑶ab(a + b)(a -b); ⑷(x -9)2(x + 9)2
2
17、 通分: ⑴- 8x3
,
5
,
-3
x +1
x
-1, x
2
- 2x +1
⑵ x(x -1),
x
2
y
12x
3
yz
20xy
3
z
2
2
n
- mn
m
1
- n
1
1
1
⑶ m
n
- mn
= - 45xy
120x
⑷ (a -b)(a - c), (b - c)(b - a), (c - a)(c -b)
,
,
m
2
2
2
2
2
3
z
5
50y
yz 120x
2
-3
18x
= -
120x
2
⑴-
;
=
;
解:
8x
2
y
3
y
3
z
12x
3
3
y
3
z
20xy
3
z
3
y
3
z
⑵先分解因式, 而后找公分母为 x(x +1)(x -1)2
x +1
(x +1)
2
(x -1)
x
x
2
(x -1)
2
2x(x +1)
x(x -1) = x(x +1)(x -1)
x
-1 = x(x +1)(x -1)
- 2x +1 = x(x +1)(x -1)
2,
2
2,
x
2
2
⑶先分解因式, 而后找公分母为 mn(m + n)(m - n)
n
n
2
(m + n)
- mn mn(m + n)(m - n)
m
- mn
m
2
(m + n)
1
mn
mn(m + n)(m - n)
=
= -
2 =
,
,
m - n
a - c
m
2
n
2
mn(m + n)(m - n)
2
1
c -b
1
⑷
(a -b)(a - c) = (a -b)(b - c)(c - a),
=
(a -b)(b - c)(c - a),
(b - c)(b - a)
1
b - a
(c - a)(c -b) = (a -b)(b - c)(c - a)
18、 下列分式中, 哪些是最简分式? 若不是最简分式, 请化为最简分式。
3a(a -b)
4(b - a)
6
( 1) x2 x- 4x + 4
x2 - y2
( 4) x + 2x +1
2
( 2)
( 3)
;
2
- 4
3
y
2
2
2x + 8x + 8
解:
分式的分子和分母中没有公因式的分式是最简分式。因此最简分式是( 3) 和( 4) 。( 1) 和( 2) 分别化简
3a(a -b)
3
得 x - 2和-
x + 2
4
19、 以下分式化简: ① 46xx+-12
= 2x + 2; ② x + a =
a; ③ x2
+ y2 = x + y; x2 - y
2
= x + y。其中错误的有
x + y
3x -1
x + b
b
x + y
(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解:
约分是约去分子和分母中的公因式, 而不是分子与分母中的部分因式或多项式式中的某些项, 故①、
②、 ③错误。而④式中约分应得 x - y, 因此选 D。
mn
⑵ -7x
2
z
⑶ 2aa
2
- 3
20、 约分: ⑴ 3m
3 = ______
= ______
z
- 6a = ______
⑷
28xy
2
3
m - 2mn + n
2 2
= ______
m - n
2 2
n 2; ⑵原式 = - x 2; ⑶原式 =
a
2
- 3
1; ⑷原式=
(m - n)
2
m - n
⑴原式 = 3m
4y
- 3) = 2a
=
解:
2a×(a
2
(m - n)(m + n) m + n
a
b
c
21、 若 abc =1, 求证: 1+ a + ab + 1+ b + bc +
1+ c + ca =1.
解法 1: 因为abc =1, 故 a ¹ 0, b ¹ 0, c ¹ 0.
解:
a
1+ a + ab 1+ b + bc 1+ c + ca
b
c
则
+
+
a
1+ a + a b
+ a
b
a b ×
a
a b
+
a b c + aabbc+,
=
a1× + b+ b c 1 a +b
+
=
1+ a + a b+ a+ a +b
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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a
ab
1+ a + ab 1+ a + ab 1+ a + ab
1
=
1+ a + ab =1.
注意到abc =1, 故上式 = 1+ a + ab +
+
解法 2: 因为abc =1, 故 a ¹ 0, b ¹ 0, c ¹ 0.
1+ a + ab 1+ b + bc 1+ c + ca = abc + a + ab
+
1+ b + bc + b ×
a
b
c
a
b
c
b 1+ c + ca
则
+
+
1
1+ b + bc
b
bc
1
1+ b + bc
b
bc
1+ b + bc
11++ bb ++ bcbc =1.
=
+
1+ b + bc + b + bc + abc
=
+
1+ b + bc +
=
解法 3: 由abc =1可得a = 1
,
bc
1
a
b
c
b
c
bc
1+ a + ab + 1+ b + bc 1+ c + ca = 1+ 1 + 1 ×b 1+ b + bc + 1+ c + c× 1
+
+
则
bc
bc
bc
1
b
bc
=
11++ bb ++ bcbc =1.
1+ b + bc 1+ b + bc 1+ b + bc
=
+
+
点评: 使用各种各样的代入方法进行化简, 题目赋予的信息要充分利用.三种解法的思想是一样的, 可是细微之处
需要大家用心揣摩, 特别是”1”在其中的使用, 更是值得细细品味.
当然, 我们也能够通分后再代入计算, 可是存在一个问题——过于烦琐, 有兴趣的学生能够尝试一下这种思路．
Part3、 一元二次方程
1、 概念
2、 直接开平方
3、 配方法
4、 公式法
5、 含字母系数的一元二次方程
6、 因式分解
7、 根的判别式
8、 根系关系
22、 若 x2a+b - 3xa-b
+1= 0是关于 x的一元二次方程, 求 a、 b的值．
解:
分以下几种情况考虑:
⑴ 2a + b = 2, a -b = 2, 此时 a = 4, b = - 2
;
3
⑵ 2a + b = 2, a - b =1, 此时 a =1, b = 0;
3
⑶ 2a + b =1, a -b = 2, 此时 a =1, b = -1;
此题容易犯的错误主要是考虑不全, 或者误以为 2a + b = 0, a -b = 0的情况能够成立．
实际上, x
0
有一个隐含的限制条件, 即 x ¹ 0, x
0
是一个分式, 表示的意义是 xxn, 如果本题中 2a + b = 0或者是
n
a -b = 0成立, 原方程就不是一个整式方程, 而是一个分式方程, 既然不是整式方程, 就更谈不上是一元二次方程
了．
23、 解关于 x的方程: 5x -125 = 0
2
解: x1 = 5, x2 = -5
(
+ ) =(3x + 2)
2 2
24、 解关于 x的方程: 2x 3
2x + 3 = 3x + 2或 2x + 3= -(3x + 2), 解得 x1 =1, x2 = -1．
解:
25、 解关于 x的方程: 4 2x 5
(
- )
2
= 9(3x -1)2
3 3x 1, 解得 x1 = - 7, x2 = 1．
(
(
- ) = - ( - )
解:
- ) = ( - )
2 2x 5 3 3x 1或 2 2x 5
5
26、 用配方法解方程: x
解:
- 6x - 4 = 0, (x -3)
27、 用配方法解方程: 2x + 3x +1= 0
解:
2x + 3x +1= 0, x
2
- 6x - 4 = 0
x
2
2
=13, x1, 2 = 3± 13
2
+ 3 x + 1 = 0, (x + 3)
= 1, x1 = -1, x2 = - 1
16 2
2
2
2
2
2
4
28、 配方法解方程: x
2
+ mx + n = 0
m
+ n- m
2
= 0; (x + m
= m2
- 4n
解:
(x +
)
2
)
2
2
4
2
4
- 4n ³ 0时, x + m = ±
m - 4n
2
∴当m
2
2
2
即 x1 = -m + m - 4n, x2 =
2
-m - m
2 - 4n;
2
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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当 m
29、 解方程 x
2
- 4n < 0时, 原方程无实数根
- x -1= 0
2
1± 5
解:
x
2
- x -1= 0, D = (- 1)
+ 5(2x +1) = 0
+ 5(2x +1) = 0Þ 3x
故 x = -10 ± D = -10 ± 2 10 = -5± 10
2
- 4´1´(-1) = 5, 故 x1,2 =
2
30、 解方程3x
解: 3x
2
2
2
+10x + 5= 0, D =10
2
- 4´3´5 = 40
1,2
2´3
6
3
2 2
31、 解方程: mx - (3m + 2)x + 6m = 0
解:
分两种情况讨论:
若 m = 0, 则 -2x = 0, x = 0;
若 m ¹ 0, 则mx
- 6x - 7 = 0
- 6x - 7 = 0Þ (x +1)(x - 7) = 0Þ x1 = -1,x2 = 7．
33、 用因式分解法解方程: 8x +10x - 3 = 0
解:
x1 = 1, x2 = - 3
2
- (3m
2
+ 2)x + 6m = 0, (mx - 2)(x - 3m) = 0, 故 x1 = 2, x2 = 3m
m
32、 解方程 x
解:
2
x
2
2
4
2
34、 解方程 3x(x - 5) =14(x - 5)
14
3x(x - 5) =14(x - 5) Þ (3x -14)(x - 5) = 0 Þ x = 3 ,x2 = 5
- 3 3x = 2 2x -
解:
1
35、 因式分解法解方程: 6x
2
6
解:
x1 = 23, x2 = 2 ．
3
36、 解方程 - 23 x
+ 5x - 6 = 0．
2
- 23 x
2
2
+ 5x - 6 = 0可化为: 2x -15x +18= 0Þ (2x -3)(x - 6) = 0,
解:
3
故 x1 =, x2 = 6．
2
37、 不解方程, 判别一元二次方程 2x
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
2
- 6x =1的根的情况是(
)
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
解: 由方程可得D = 36 + 8 > 0, 因此方程有两个不相等的实数根．
38、 不解方程, 判断下列方程的根的情况: ⑴ 2x + 3x - 4 = 0; ⑵ ax
+ bx = 0( a ¹ 0)
解: ⑴ 2x + 3x - 4 = 0
∵D = 3 - 4´2´(-4) = 41> 0
∴方程有两个不相等的实数根．
⑵∵a ¹ 0
2
2
2
2
∴方程是一元二次方程, 此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,
将常数项视为零,
∵D = (-b)
2
- 4×a×0 =b
2
,
∵无论b取任何数, b
2
均为非负数,
∴D ³ 0, 故方程有两个实数根．
39、 已知 a, b, c是不全为 0的 3个实数, 那么关于 x的一元二次方程 x
2
+ (a +b+c)x + (a
2
+b
2
+c
2
) = 0的根的
情况(
) ．
A．有 2个负根
C．有 2个异号的实根
B．有 2个正根
D．无实根
解:
方程
x
2
+ (a +b+c)x + (a
2
+b
2
+c
2
) = 0的判别式为:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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D = (a +b+c)
= -3a - 3b
= (-a + 2ab-b
= -[(a -b) + (b-c)
∵ a, b, c不全为 0, ∴D < 0．∴原方程无实数根．故选 D．
40、 已知: 方程 mx - 2(m + 2)x + m + 5 = 0没有实数根, 且 m ¹ 5,
求证: m 5 x2 2 m 2 x m = 0有两个实数根．
2
- 4(a
2
+b
+ 2ab + 2bc + 2ca
)+ (-b + 2bc -c )+ (-c
+ (c -a) + a +b +c
+c )
2 2
2
2
- 3c
2
2
2
2
2
2
+ 2bc -a
2
)-a
2
-b
2
-c
2
2
2
2
2
2
2
]
2
( - ) - ( + ) +
当m = 0时, mx
- 2(m + 2)x + m + 5 = 0可化为-4x + 5 = 0,
此时方程有根, 故 m ¹ 0
故D1 = 4(m+ 2) - 4m(m+ 5) < 0Þ 4-m < 0Þ m > 4．
方程 m 5 x2
解:
2
2
( - ) - 2(m + 2)x + m
D2 = 4(m+ 2)
故方程 m 5 x2
= 0(m ¹ 5)的判别式为:
- 4(m-5)m = 4(9m+ 4) > 0
= 0(m ¹ 5)有两个实数根．
+ x2
2
( - ) - 2(m + 2)x + m
41、 已知 x1, x2为方程 x + px + q = 0的两根, 且 x1 + x2 = 6, x1
解:
p = -6, q = 8．
2
2
2
= 20, 求 p,q的值．
42、 实数 k为何值时, 关于 x的一元二次方程 x
2
- (2k - 3)x + (2k - 4) = 0．
⑴有两个正根?
⑵两根异号, 且正根的绝对值较大?
⑶一根大于 3, 一根小于 3?
解:
x
2
- (2k - 3)x + (2k - 4) = 0 Þ (x -1)[x - (2k - 4)] = 0, 故 x =1或 x = 2k - 4
⑴若两根均为正, 则 2k - 4 > 0, 故k > 2;
⑵若两根异号, 且正根的绝对值较大, 则 0 < 4 - 2k <1, 故 3 < k < 2;
2
⑶由1< 3可知, 2k - 4 > 3Þ k > 7
．
2
43、 已知二次方程kx
2
- (2k - 3)x + k -10 = 0的两根都是负数, 则 k的取值范围是____________．
解:
此方程丙实根为 x1, x2, 由已知得
ìk ¹ 0
ìk ¹ 0
ï
ï
D ³ 0
k ³ - 9
ï
ï
í
ï
í
x + x2 < 0
28
ï
得: ∴
1
ï
3
x1x2 > 0
ï
ï
ï
î
k >或k < 0
2
即:
ìk ¹ 0
îk >10或k < 0,
ï
9 £ k < 0或k >10．
(2k - 3)
3
- 4k(k -10) ³ 0
即 -
ï
28
ï
2k - 3 > 0
í
ï
ï
k
k -10 > 0
ï
î
k
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
初二数学
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