用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程.doc

用分离变量法解三维坐标中的拉普拉斯方程
郝晨阳
（晋中学院信息技术与工程学院）
由于在解决静电场问题时常常会用到拉普拉斯方程，同时有很多物理问题也用到它，因此对它的求解非常重要。
直角坐标系中
直角坐标系中拉普拉斯方程:

变量分离：
设
拉普拉斯方程变为：

上式成立的唯一条件是三项中每一项都为常数，故可分解为下列三个方程

其中且、和 为常数，但不能全为实数或全为虚数。
以常微分方程 为例，其解的形式为:
若为零，则
若为实数，则
若为虚数，，则或
同理可解出和
因此拉普拉斯方程在直角坐标系中的解为：

球坐标系中
球坐标系中拉普拉斯方程:

令方程具有分离变量的解：
则得到两个微分方程： (1)
(2)
1.求解方程(1)
进行变量代换，令，则

带入方程得到一个简单的二阶常微分方程:

解这个常微分方程得到其通解为：，
进而得到方程(1)的通解为：

1.求解方程(2)
继续进行变量分离:,将形式解带入方程(2)整理，分离并令其中常数为得到:
及
对该式中关于的方程，由的几何意义，其有自然边界条件，所以求解的方程:
求解该方程得到:。
将代入式中的第二个式子，得到关于的微分方程，作变量代换得到阶连带勒让德方程:，其的特例叫勒让德方程。
下面对阶勒让德方程考虑:
求解关于的二阶常微分方程:
在的邻域上求解上述方程，采用常点邻域上级数法求解。
令该方程在的邻域上的级数解为:
将其代入到方程式中，得到的递推关系:从而得到阶勒让德方程的解:其中为:

上述中在是某个奇数时止到，从而退化为多项式，在是某个偶数时止到，从而退化为多项式。
对以上两种退化多项式的可能性，取适当使每种情况下的最高次幂的系数为:
从而得到阶勒让德方程的特解 阶勒让德多项式:

下面对阶连带勒让德方程考虑:
为方便求解先作函数变换:

阶连带勒让德方程化为的微分方程:

把勒让德方程求次导整理得到:

从而看出，勒让德方程的的次导数是上述方程的解，从而可得出连带勒让德方程的解:

故拉普拉斯方程的一般解为:

根据和的不同而不同，但它们都是拉普拉斯方程的解，则它们的线性叠加也是。
所以拉普拉斯方程在球坐标系中的通解为:

式中:

其中
柱坐标系中
柱坐标系中拉普拉斯方程为:

由于柱坐标系中较为难解，故只讨论为常数的情况，即。
分离变量:
令，则得到下列常微分方程:

解上述方程得:

有两个线性无关的解。
由于单值性要求，只能取整数，。
所以
【参考文献】
[1]梁昆淼.数学物理方法.高等教育出版社.
[2]同济大学数学系.高等数学.高等教育出版社.
[3]华南理工大数学系.线性代数与解析几何.高等教育出版社.