清华大学2016自主招生暨领军计划试题解析版.doc

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
1.已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.取决于的值
答案：注意，答案C.
2. 已知的三个内角所对的边为.下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：对于选项A，由于，于是有唯一取值2，符合题意；
对于选项B，由正弦定理，有，可得，无解；
对于选项C，条件即，于是，不符合题意；
对于选项，由正弦定理，有，又，于是，符合题意.
答案：AD.
3.已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A.在点处有公切线
B.存在的某条切线与的某条切线平行
C. 有且只有一个交点
D. 有且只有两个交点
答案：注意到为函数在处的切线，
如图，因此答案BD.
4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点.下列说法中正确的有（ ）
A.以线段为直径的圆与直线一定相离
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D.以线段为直径的圆与轴一定相切
答案：对于选项A，点到准线的距离为
，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离；
对于选项B,C，设，则，于是，最小值为4.也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值；
对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.
答案：AB.
5. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点.下列说法中正确的有（ ）
A.时，满足的点有两个
B. 时，满足的点有四个
C.的周长小于
D. 的面积小于等于
答案：对于选项A,B，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点；
对于选项C，的周长为；
对于选项D，的面积为.
答案：ABCD.
6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：
甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；
乙：我没有获奖，丙获奖了；
丙：甲、丁中有且只有一个获奖；
丁：乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD.
7. 已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点.以下说法正确的有（ ）A.四点共圆 B. 四点共圆
C. 四点共圆 D.以上三个说法均不对
答案：7.对于选项A，即得；
对于选项B，若命题成立，则为直径，必然有为直角，不符合题意；
对于选项C，即得.
答案：AC.

8.是为锐角三角形的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：必要性：由于,
类似地，有，
于是.
不充分性：当时，不等式成立，但不是锐角三角形.
答案：B.
9.已知为正整数，且，那么方程的解的组数为（ ）
A. B. C. D.
答案：由于，故.
若，则，可得；
若，则，可得；
若，则，进而解得；
若，则，可得.
答案：B.
10.集合，任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：不妨假设，若集合中的正数的个数大于等于4，由于和均大于，于是有，从而，矛盾！所以集合中至多有3个正数.同理可知集合中最多有3个负数.
取，满足题意，所以的最大值为7.答案B.
11.已知，则下列各式中成立的有（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：令，则，
所以，
以上三式相加，即有.
类似地，有，
以上三式相加，即有.
答案BD.
12.已知实数满足，则的最大值也最小值乘积属于区间（ ）
A. B. C. D.
答案：设函数，则其导函数，作出的图象，函数的图象在处的切线，以及函数的图象过点和的割线，如图，
于是可得，
左侧等号当或时取得； 右侧等号当时取得.因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为.答案B.
13.已知，则下列结论正确的有（ ）
A.的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
答案：由可得.设，则是关于的方程的三个根.令，则利用导数可得，所以，等号显然可以取到.故选项A,B都对.
因为，所以，等号显然可以取到，故选项C错误.
答案ABD.
14.数列满足，对任意正整数，以下说法中正确的有（ ）
A.为定值 B.或
C.为完全平方数 D.为完全平方数
答案：因为
.
所以A选项正确；
由于，故，
又对任意正整数恒成立，所以，
故选项C,D正确.
计算前几个数可判断选项错误.
答案：ACD.
说明：若数列满足，则为定值.
15. 若复数满足，则可以取到的值有（ ）
A. B. C. D.
答案：因为，故，等号分别当和时取得.答案CD.
16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）
A. B. C. D.
答案：从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出个构成正多边形，这样的正多边形有个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008.
考虑到，因此所求正多边形的个数为
.答案C.
17.已知椭圆与直线，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点.若为定值，则（ ）
A. B. C. D.
答案：设点，可得，
故意为定值，所以，答案：C.
说明：（1）若将两条直线的方程改为，则；
（2）两条相交直线上各取一点，使得为定值，则线段中点的轨迹为圆或椭圆.
18. 关于的不定方程的正整数解的组数为（ ）
A. B. C. D.
答案：方程两边同时模3，可得，因不能被3整除，故不能被3整除，所以，故，所以为偶数，可设，则有
，解得即答案：B.
19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数相乘的时候，可以有等等不同的次序.记个实数相乘时不同的次序有种，则（ ）
A. B. C. D.
答案：根据卡特兰数的定义，可得.答案：AB.
关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.
20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：

表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 .
答案：根据概率的乘法公式 ，所示概率为.
21.在正三棱锥中，的边长为1.设点到平面的距离为，异面直线的距离为.则 .
答案：当时，趋于与平面垂直，所求极限为中边上的高，为.
22.如图，正方体的棱长为1，中心为，则四面体的体积为 .

答案：如图，

.
23. .
答案：根据题意，有.
24.实数满足，则的最大值为 .
答案：根据题意，有，于是，等号当时取得，因此所求最大值为1.
25.均为非负实数，满足，则的最大值与最小值分别为 .
答案：由柯西不等式可知，当且仅当时，取到最大值.
根据题意，有，
于是解得.
于是的最小值当时取得，为.
26.若为内一点，满足，设，则 .
答案：根据奔驰定理，有.
27.已知复数，则 .
答案：根据题意，有.
28.已知为非零复数，的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，所对应的向量的端点运动所形成的图形的面积为 .
答案：设，由于，于是
如图，弓形面积为，
四边形的面积为
.
于是所示求面积为.
29.若，则 .
答案：根据题意，有
.
30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法.
答案：首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有种选择.
下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填空一个偶数，设为.
情形一：若位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定；
情形二：若位于不同的行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.
所以偶数的不是位置数为.
因此，总的填法数为.
31.设是集合的子集，从中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则中元素个数的最大值为 .
答案：一方面，设，其中.不妨假设.
若，由题意，，且，故.同理.又因为，所以，矛盾！故.
另一方面，取，满足题意.
综上所述，中元素个数的最大值为8.

1.

2.
3.
4.
5.
6.
8.
9.
10.
11. 11.
12.
10