二次函数专题训练(菱形的存在性)含答案.doc

二次函数综合题（菱形的存在性）专项训练
1．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y正半轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

3．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．

4．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求S△ACP的面积；
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？

5．如图，已知已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线的解析式
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标．
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．
（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

7．已知抛物线y=x2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（　　，　　），对称轴是　　；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

8.(2016 山东省威海市)．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

9. (2012 山东省烟台市) 如图， 在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点，，，以为顶点的抛物线过点，动点从点出发，沿线段向点运动．同时动点从点出发，沿线段向点运动，点的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为秒，过点作交于点．
（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点作于，交抛物线于点，当为何值时，的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点运动的过程中，当何值时，在矩形内（包括边界）存在点，使以为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值．

10.(2012 青海省) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点，点P是直线BC下方抛物线上的动点.
（1）求这个二次函数表达式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

二次函数之菱形的存在性 参考答案
1．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y正半轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）过点B作BF⊥x轴于F，在Rt△BCF中
∵∠BCO=45°，BC=12 ∴CF=BF=12
∵C 的坐标为（﹣18，0）∴AB=OF=6
∴点B的坐标为（﹣6，12）．
（2）过点D作DG⊥y轴于点G，∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA，
∵===，AB=6，OA=12，
∴DG=4，OG=8，∴D（﹣4，8），E（0，4）
设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）
∴∴；∴直线DE解析式为y=﹣x+4．
（3）结论：存在．
设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4．
如答图2所示，有四个菱形满足题意．
①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边．
则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF﹣P1E=4﹣4．
易知△P1NF为等腰直角三角形，∴P1N=NF=P1F=4﹣2；
设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2，
又ON=OF﹣NF=2，∴Q1（2，﹣2）；
②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边．
此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（﹣2，2）；
③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边．
此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）；
④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线．
由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，
由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=﹣x+4得横坐标为2，则P4（2，2），
由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或y轴对称，∴Q4（﹣2，2）．
综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；
点Q的坐标为：Q1（2，﹣2），Q2（﹣2，2），Q3（4，4），Q4（﹣2，2）．
2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：，抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；
（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x﹣2，设D（m，0），∵DP∥y轴，
∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），∵OD=4PE，
∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），∴m=5，m=0（舍去），
∴D（5，0），P（5，），E（5，），∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣1×=；
（3）存在，设M（n，n﹣2），
①以BD为对角线，如图1，∵四边形BNDM是菱形，
∴MN垂直平分BD，∴n=4+，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；
②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，
∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，
∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，
∴n1=4（不合题意），n2=5.6，∴N（4.6，），
同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，
∴N（5﹣，﹣），
③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），
∴N（5+，），
综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，﹣）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．

3．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．
∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，
∴B（4，0）．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，
∴E（1，0）．∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，
∴EP为∠BEF的角平分线．∴∠BEP=45°．
设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．
将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．
∵点P在第四象限，∴x=．∴y=．∴P（，）．
（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．
设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2．
∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．
将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6）．
设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．
当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．
∴点M的坐标为（﹣，）．
当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．
∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
4．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求S△ACP的面积；
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴，解得：．∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．
（2）令x=0，则y=4，即点C的坐标为（0，4），
∴BC==4．设直线BC的解析式为y=kx+4，∵点B的坐标为（4，0），∴0=4k+4，解得k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．当t=1时，CP=，
点A（﹣1，0）到直线BC的距离h===，
S△ACP=CP•h=××=．
（3）①∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，
∴CP=t，OE=t，设P（t，﹣t+4），F（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）
PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．
当t=﹣=2时，PF取最大值，最大值为4．
②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，∴PC=P′C，PF=P′F，
当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF．∴t=﹣t2+4t，
解得：t1=0（舍去），t2=4﹣．故当t=4﹣时，四边形PFP′C是菱形．
5．如图，已知已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线的解析式
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标．
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，所以，点B（﹣2，3），又∵抛物线经过原点O，∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上，∴，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x；（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴P（x，x2﹣x），若S△ADP=S△ADC，
∵S△ADC=AD•OC，S△ADP=AD•|y|，又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，
∴C（0，﹣1），∴OC=1，∴|x2﹣x|=1，即x2﹣x=1，或x2﹣x=﹣1，
解得：x1=2+2，x2=2﹣2，x3=x4=2，
∴点P的坐标为 P1（2+2，1）P2=（2﹣2，1），P3）2，1）；
（3）结论：存在．∵抛物线的解析式为y=x2﹣x，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；
点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．
又∵A（4，0），∴AE=．如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1．∵此时EM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣；
②菱形AEOM2．∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；
③菱形AEM3Q3．∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，∴t3=4+；
④菱形AM4EQ4．此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
∵易知△AED∽△M4EH，∴=，即=，得M4E=，
∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．
（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．
∴a﹣3=﹣，解得：a=，∴y=（x+1）2﹣3
当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，∴x1=2，x2=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0）．
（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）
∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10．
从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：
①当直线l边AD相交与点M1时，则S=×10=3，
∴×3×（﹣y）=3
∴y=﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．
②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣．
综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．
（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，
∴﹣k+b=0，∴b=k，
∴y=kx+k．由，∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，
∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，
∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）．
假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3
由，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）
∵四边形DMPN是菱形，
∴DN=DM，
∴（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，
整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，
解得k=±，∵k＜0，
∴k=﹣，
∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）
∴PM=DN=2，
∵PM∥DN，
∴四边形DMPN是平行四边形，
∵DM=DN，
∴四边形DMPN为菱形，
∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．

7．已知抛物线y=x2+1（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（　0　，　1　），对称轴是　x=0（或y轴）　；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）．
（2）∵△PAB是等边三角形，∴∠ABO=90°﹣60°=30°．
∴AB=20A=4．∴PB=4．
解法一：把y=4代入y=x2+1，得 x=±2．
∴P1（2，4），P2（﹣2，4）．
解法二：∴OB==2 ∴P1（2，4）． 根据抛物线的对称性，得P2（﹣2，4）．
（3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2，4）
∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b ∴
解得：∴解析式为：y=x+2
设存在点N使得OAMN是菱形，
∵点M在直线AP上，∴设点M的坐标为：（m，m+2）
如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，
AQ=OQ﹣OA=m+2﹣2=m
∵四边形OAMN为菱形，∴AM=AO=2，
∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，
即：m2+（m）2=22 解得：m=±
代入直线AP的解析式求得y=3或1，
当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：
当N在右图1位置时，
∵OA=MN，
∴MN=2，
又∵M点坐标为（，3），
∴N点坐标为（，1），即N1坐标为（，1）．
当N在右图2位置时，
∵MN=OA=2，M点坐标为（﹣，1），
∴N点坐标为（﹣，﹣1），即N2坐标为（﹣，﹣1）．
当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：
第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（﹣，1）；
第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（，﹣1）
∴存在N1（，1），N2（﹣，﹣1）N3（﹣，1），N4（，﹣1）使得四边形OAMN是菱形．
8.(2016 山东省威海市)．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

分析（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可．
（2）分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；
（3）分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），
∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
∴﹣8a=4，∴a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；

（2）如图1，
①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，
连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，
由（1）知，OC=4，
∵∠ACO=∠E′CF′，
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，
∴=，
设线段E′F′=h，则CF′=2h，
∴点E′（2h，h+4）
∵点E′在抛物线上，
∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，
∴h=0（舍）h=
∴E′（1，），
②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，
同①的方法得，E（3，），
点E的坐标为（1，），（3，）
（3）①CM为菱形的边，如图2，
在第一象限内取点P′，过点
P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，
交y轴于M′，
∴四边形CM′P′N′是平行四边形，
∵四边形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′=P′N′，
过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠P′M′C=45°，
设点P′（m，﹣ m2+m+4），
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，
∵P′N′∥y轴，
∴N′（m，﹣m+4），
∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，
∴m=﹣m2+2m，
∴m=0（舍）或m=4﹣2，
菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4﹣4．
②CM为菱形的对角线，如图3，
在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，
∵∠OCB=45°，
∴∠NCQ=45°，
∴∠PCQ=45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=CQ，
设点P（n，﹣ n2+n+4），
∴CQ=n，OQ=n+2，
∴n+4=﹣n2+n+4，
∴n=0（舍），
∴此种情况不存在．
∴菱形的边长为4﹣4．
9. (2012 山东省烟台市) 如图， 在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点，，，以为顶点的抛物线过点，动点从点出发，沿线段向点运动．同时动点从点出发，沿线段向点运动，点的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为秒，过点作交于点．
（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点作于，交抛物线于点，当为何值时，的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点运动的过程中，当何值时，在矩形内（包括边界）存在点，使以为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值．
解：（1）.
由题意知，可设抛物线解析式为．
因抛物线过点，
∴．
∴．
所以抛物线的解析式为，
即.
（2）∵，，
∴可求直线的解析式为.
（第26题图）
点.
将代入中，
解得点的横坐标为.
∴点的横坐标为，代入抛物线的解析式中，
可求点的纵坐标为.
∴=.
又点到的距离为，到的距离为，
即
.当时，的最大值为1.
（3）或.
10.(2012 青海省) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点，点P是直线BC下方抛物线上的动点.
（1）求这个二次函数表达式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
，解得.
所以二次函数的表达式为：.
（2）假设抛物线上存在点P，使得四边形为菱形.
设P点坐标为（x，），
连接交CO于点E.
∵四边形为菱形，∴PC=PO；PE⊥CO.
∴OE=EC=，∴P点的纵坐标为，
即=，
解得（不合题意，舍去）.
即存在这样的点，此时P点的坐标为（，）
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（x，）.
由=0得点A坐标为（－1，0）.

又已知点B和点C的坐标，从而直线BC的解析式为y=x－3.
Q点的坐标为（x，x－3），则AB=4，CO=3，BO=3，PQ=.
∴S四边形ABPC=S△ABC+ S△BPQ + S△CPQ =AB·CO+PQ·BF+PQ·FO
=AB·CO+PQ·（BF+FO）
= AB·CO+PQ·BO=×4×3+（）×3
==.
当x=时，四边形ABPC的面积最大.
此时P点的坐标为（，），四边形ABPC的最大面积为.

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