数形结合专题教案.doc

初三数学复习专题——数形结合思想的应用
教学目标
（1） 理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图像的性质；
（2） 了解数形结合在解决数学问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.
教学重点
（1） 理解数形结合的本质；
（2） 能够用数形结合思想方法探求解决问题的思路.
教学难点
在代数与几何的结合点上找出解题思路，从而以简捷途径解决问题
教学过程：
引入：数学结合作为一种重要的数学思想，同学们并不陌生。本学期所学习的二次函数相关知识，就由函数表达式与图像性质两部分组成。从图像角度分析，二次函数图像是一条抛物线，具有对称性、最高（低）点等特征；但若要精确获得抛物线上某一点的具体位置，则需要借助解析式求出坐标。下面考考大家的图像分析能力，试着自己从抛物线图像中提取重要信息，回答下列问题。
例1. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中：
①2a+b=0；
②abc>0；
③；
④方程的两根之和大于0；
⑤方程有两个实数根，
正确的是 .
【原因】解：①根据图像可知，二次函数对称轴为直线x=1，则
∴-b=2a ∴2a+b=0
②观察开口方向、截距、对称轴可知：a>0，c<0；
∵，a>0 ∴b<0
③∵当时，且由图像可知：时对应的点在x轴下方
∴
④法一：【数】由韦达定理
法二：【形】二次函数的零点即为对应的二次方程的两根.根据图像对称轴与图像的一个零点，可知另一个零点为3. 所以
⑤法一：【数】将原式变形为
∵
其中，
∴
∴方程有两个实数根
法二：【形】令，方程的根即为y1与y2图像交点的x值。由图像可知y1与y2图像有两个交点，所以方程有两个实数根。
例1小结：（1）注意观察二次函数图像的开口方向，对称轴，特殊点坐标
（2）函数图像公共点的横坐标，即为两解析式联立后所得方程的解

例2. 如图，已知在点A（0,4）是y轴上一点，过点C（4，6）作x轴的垂线，垂足为点D，点B（t，0）为OD上一动点（不与O，D重合），联结AB，AC，E为DC上一动点，且，过点E作EF∥AB，交AC于点F.
（1） 设点E的纵坐标为yE，求yE关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2） 若存在一点B，使四边形ABEF为矩形，求t的值.
解：（1）法一：根据题意：AB=,
AE=, BE=

代入化简得：

法二：,
,
又，
∽

（2）法一：若四边形是矩形，则
其中，AC=,BC=
代入解得：t=2
法二：过点作⊥，垂足为点
若四边形是矩形，则∥,

又，解得（舍），
法三：直线AC的解析式为：
若四边形是矩形，则⊥AB
∴kAB=-2， ∴直线AB的解析式为：y=-2x+4
令y=0，得x=2 ∴t=2
例2小结：处理垂直（直角）问题的几种方法：
1. 勾股定理
2. 锐角三角比
3. 三直角型相似

例3.已知例1中的二次函数解析式为：，其图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C. 在该抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由.
【思考题】（机动）在第四象限内，该抛物线上是否存在点Q，使得△QBC的面积最大？若存在，求出点Q坐标；若不存在请说明理由.
解：法一：利用两点之间距离公式
假设P（1，t），利用两点之间距离公式表示PC、PA，进一步将
C△PAC表示为关于t的表达式，但最小值以目前知识无法求出；
法二：结合图像性质
∵A、B关于二次函数对称轴对称， ∴对称轴上点到A、B两点距离相等
∵AC为定长 ∴C△PAC的最小值在（PC+PA）min=（PC+PB）min时取到
∵两点之间线段距离最短， ∴（PC+PB）min=CB=
∴C△PAC的最小值为
课堂总结：
“数形结合”作为一种重要的思想方法，其应用大致可以分为两种情形：一是借助数的精确性来阐明形的某些属性，二是借助形的直观性来阐明数之间的某种关系。
几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。对于例1与例2，我们可以选取两种角度中较为简便的方法解答；但在解决综合问题时，往往需要两种方法的结合。比如例3，单一方向的解法无法解决问题。
介绍华罗庚《数形结合诗》：数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。

【思考题】（机动）
法一：设Q（a，）（0<a<3），过Q作x轴垂线，垂足为D，QD与BC交于点E, ∵直线BC的解析式为：y=x-3， ∴E（a，a-3）

∴当a=时，，Q（）.
注：从代数出发，落实到图形
法二：设与BC平行的直线解析式为：y=x+c（c<-3），
与联立得：,
令解得：,
∴解得：x=, ∴Q()
注：从图形出发，落实到代数
作业布置
配套专题作业
板书设计
课堂总结
例2

例3