系统辨识各类最小二乘法汇总.doc

最小二乘方法的总结与比较Y30150638 控制二班 王思明（作业二）最小二乘法大约是1795年高斯在他那著名的星体运动轨迹研究工作中提出来的。后来，最小二乘法就成了理论的奠基石。由于最小二乘原理简单，编程程序也不困难，所以它颇受人们重视，应用相当广泛。最小二乘的基本结果有两种形式，一种是经典的一次完成算法，另一种是现代的递推算法。本次作业只讨论递推算法和其他扩展的最小二乘方法比较。一、 最小二乘法最小二乘法具有两个缺陷：1、当噪声模型是有色噪声时，最小二乘参数估计不是你无偏、一致估计。2、随着数据的增长，最小二乘法出现数据饱和现象，以致算法慢慢失去修正能力。下面是其分别在白噪声和有色噪声时的参数估计曲线。最小二乘的程序见附录。图1-1 RLS白噪声时参数估计变化曲线图1-2 RLS有色噪声时参数估计变化曲线从图中可以很明显的看出，当噪声变成有色噪声时，RLS算法是有偏的，始终不能得出参数的真值，而且可以看出随着数据的增多，算法对参数的修正能力明显下降，到最后参数值几乎不变，这说明RLS算法进入了数据饱和状态。二、 遗忘因子法和限定记忆法这两种算法（RFF,RFM）是基于RLS的数据饱和现象而提出来的一种辨识算法。RFF很简单，在老数据加上遗忘因子以降低老数据提供的信息量，增加新数据的信息量。仅仅在RLS算法内部加入遗忘因子系数，这里因为篇幅有限，不给出其程序以及最后的参数变化曲线。RFM就比较特殊，其限定有效数据的长度L，即始终只有长度L的数据在影响参数估计，可以从根本上解决数据饱和现象。下面是其实验的参数估计变化曲线。图2-1 RFM白噪声时的参数估计曲线从图中可以看出，相比于RLS的白噪声时的参数估计，变化曲线围绕真值震荡变化，这说明没有数据饱和现象，辨识结果良好。三、 偏差补偿法当噪声是有色噪声时，我们提出偏差补偿最小二乘法，因为从图1-2我们可以看出，最后的参数估计是有偏的，所以我们在算法中每次都减去这个偏差量，使得最后的结果能够逼近真值。我们称这种算法为RCLS。但是，既然我们加入了偏差量，如果我们的噪声是白噪声时，那这个偏差量就变成了误差量，使得参数估计轨迹偏真值。下图是其参数估计曲线，程序见附录。图3-1 RCLS有色噪声时的参数变化曲线图3-2 RCLS白噪声时的参数估计曲线从图中可以很清楚的看出，RCLS可以对有色噪声情况下，对参数进行无偏一致估计，但是在白噪声的情况下，却不能得到无偏估计，其原因上面也提到了，这里就不在赘述了。四、 增广最小二乘和广义最小二乘针对不同的有色噪声模型，我们用不同的辨识方法，并能顺带求出噪声的模型模型，通过扩充参数向量和数据向量的维数，把噪声模型的辨识同时考虑进去。当噪声模型： ek=DZ-1*vk ( v(k) 为白噪声 )时，我们采用增广最小二乘方法。其实验结果如下，其程序见附录。图4-1 RELS参数估计曲线当噪声模型： ek=1C（z-1）*vk ( v(k) 为白噪声 )时，我们采用广义最小二乘方法。其实验结果如下，其程序见附录。图4-2 RGLS参数估计曲线从上图可以看出，针对不同的参数模型，RELS和RGLS分别能发挥不同的作用，并且给出参数的无偏一致估计，并顺带求出了噪声参数，其辨识结果良好，符合要求.五、 辅助变量法在有些问题中，我们并不能事先知道参数的模型，而且我们也不需要求出噪声参数，这时普通的RLS算法已经不能满足我们的要求，我们提出了辅助变量法，RIV。下图给出其实验结果，具体程序见附录。图5-1 RIV有色噪声时参数估计变化曲线从图中可以看出，RIV算法对有色噪声的情况，也能给出参数的无偏估计，其结果与RLS（图1-2）比较可以看出区别。六、 总结RLS：当噪声模型是有色噪声时，最小二乘参数估计不是你无偏、一致估计。而且随着数据的增长，最小二乘法出现数据饱和现象，以致算法慢慢失去修正能力。RFF.RFM：RFF很简单，在老数据加上遗忘因子以降低老数据提供的信息量，增加新数据的信息量，RFM就比较特殊，其限定有效数据的长度L，即始终只有长度L的数据在影响参数估计，可以从根本上解决数据饱和现象RCLS：当噪声是有色噪声时，我们提出偏差补偿最小二乘法，在算法中每次都减去这个偏差量，使得最后的结果能够逼近真值。但却不适合噪声为白噪声的时候。RELS：当噪声模型： ek=DZ-1*vk ( v(k) 为白噪声 )时，我们采用增广最小二乘方法。能辨识出参数（包括噪声参数）的无偏估计。RGLS：当噪声模型： ek=1C（z-1）*vk ( v(k) 为白噪声 )时，我们采用广义最小二乘方法。能辨识出参数（包括噪声参数）的无偏估计。RIV：当不确定参数模型时，我们可以直接采用RIV模型得到参数的无偏一致估计。七、 附录1、 RLS实验程序：clcclear% y1=randn(1,2500); %产生高斯白噪声% y1=y1/std(y1);% y1=y1-mean(y1);% a=0;% b=sqrt(0.1);% y1=a+b*y1;% figure(1);% plot(y1);% title(高斯白噪声);for i=1:2500 %产生有色噪声 y1(i)=1;endN=400;uk=rand(1,N); for i=1:N %产生随机输入 uk(i)=uk(i)*(-1)(i-1); endfigure(2);plot(uk);title(随机输入曲线);yk=zeros(1,N);for k=3:N %定义输出 yk(k)=1.5*yk(k-1)-0.7*yk(k-2)+uk(k-1)+0.5*uk(k-2)+y1(k); endfigure(3);plot(yk);title(对应输出曲线);theta=0;0;0;0;p=106*eye(4);for t=3:N %迭代计算 （ls算法） h=(-yk(t-1);-yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2); x=1+h*p*h; p=(p-p*h*1/x*h*p); theta=theta+p*h*(yk(t)-h*theta); a1t(t)=theta(1); a2t(t)=theta(2); b1t(t)=theta(3); b2t(t)=theta(4); endtheta t=1:N; %绘制参数变化曲线figure(4);plot(t,a1t(t),t,-1.5,t,a2t(t),t,0.7,t,b1t(t),t,1,t,b2t(t),t,0.5);title(参数变化曲线);text(300,-1.5,a1); text(300,0.7,a2); text(300,1,b1);text(300,0.5,b2);2、 RFM实验程序（部分）只给出算法更改部分：for s=3:100; h=(yk(s-1);yk(s-2);uk(s-1);uk(s-2); p=p-p*h*(inv(1+h*p*h)*h*p; theta=theta+p*h*(yk(s)-h*theta);end sfor t=3:N-100 m=s+t; h=(yk(m-1);yk(m-2);uk(m-1);uk(m-2); p=p-p*h*(inv(1+h*p*h)*h*p; theta=theta+p*h*(yk(m)-h*theta); h=(yk(t-1);yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2); p=p+p*h*(inv(1-h*p*h)*h*p; theta=theta+p*h*(yk(t)-h*theta); a1t(t)=theta(1); a2t(t)=theta(2); b1t(t)=theta(3); b2t(t)=theta(4); end3、 RCLS实验程序（部分）theta=0;0;0;0;p=106*eye(4);j=0;thetc=0;0;0;0;for t=3:N h=(-yk(t-1);-yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2); x=1+h*p*h; j=j+(yk(t)-h*theta)2)/(1+h*p*h); p=(p-p*h*1/x*h*p); theta=theta+p*h*(yk(t)-h*theta) d=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 0 0; 0 0 0 0; w=j/(t*(1+thetc*d*theta); thetc=theta-t*w*p*d*thetc; a1t(t)=thetc(1); a2t(t)=thetc(2); b1t(t)=thetc(3); b2t(t)=thetc(4); end4、 RELS实验程序（部分）for t=3:N h=(-yk(t-1);-yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2);y1(t-1);y1(t-2); x=1+h*p*h; p=(p-p*h*1/x*h*p); theta=theta+p*h*(yk(t)-h*theta); a1t(t)=theta(1); a2t(t)=theta(2); b1t(t)=theta(3); b2t(t)=theta(4); d1t(t)=theta(5); d2t(t)=theta(6); end5、 RGLS试验程序（部分）for t=3:N he=(-e(t-1);-e(t-2); xe=1+he*pe*he; pe=(pe-pe*he*1/xe*he*pe); thete=thete+pe*he*(e(t)-he*thete); c1t(t)=thete(1); c2t(t)=thete(2); end for t=3:N ykf(t)=yk(t)+c1t(t)*yk(t-1)+c2t(t)*yk(t-2); ukf(t)=uk(t)+c1t(t)*uk(t-1)+c2t(t)*uk(t-2); h=(-ykf(t-1);-ykf(t-2);ukf(t-1);ukf(t-2); x=1+h*p*h; p=(p-p*h*1/x*h*p); theta=theta+p*h*(ykf(t)-h*theta); a1t(t)=theta(1); a2t(t)=theta(2); b1t(t)=theta(3); b2t(t)=theta(4); end6、 RIV试验程序（部分）for t=5:N hx=(-yk(t-3);-yk(t-4);uk(t-1);uk(t-2); h=(-yk(t-1);-yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2); x=1+h*p*hx; p=(p-p*hx*1/x*h*p); theta=theta+p*hx*(yk(t)-h*theta); a1t(t)=theta(1); a2t(t)=theta(2); b1t(t)=theta(3); b2t(t)=theta(4); end15