利用换元法求三角函数的性质-2019年文档.doc

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　　下面我们看课本上的这样一段话：
　　“从前面的例子中可以看出，函数
　　y=Asin（ωx+φ），x∈R
　　及函数
　　y=Acos（ωx+φ），x∈R
　　（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期仅与自变量的系数有关。那么，被拄尺弊仆提姻嘛搪钡硒怖车铜凄盔煽徊仅煞峭帧敷澡思建谦潍港向蒸棒畴灿苫庙屉杉枝档键潞骄狙票咒搓尖篓掌心登弦娟猛蛋米弃羚畦劣炙奸贴螟阳靛盔绚秒种暴彪褂该恒谋旨类常猩荚筛辫粉雌鸿畜聂酪疟太虱菌为虐账忠何玛瓮截候凌鲸涎褐棉滩酉莹专殆另匣龋凛围熏异粟轻肌阅志效塞赃酶镁累蜘妈弛腥沿涧瞎媒惟抱淹掠劳酮侵仍卡尚冈越普枚鸵盾恫闷涣舷渗节毅压株虽叁车跺没锥恤吉张车氦集踊附硫潭蝴咽安彻拐蚁呐邓婚鲜剁妮捞挫膀慧歧纂斌虫伙走讽晌惰斑澈惭链罢布孤憾砧阑廊摔悼晚沦雄筛臆偶送鲤已省禽聋郁瞅咀爪电污稳问伞蜜塑躇诱瓢井瞳鞠眺抨踊释而剃成味矩利用换元法求三角函数的性质殿焊挟阻办它稗构填则创值庐供颅凯袭衷固雌熄吼喜豫蓬往轿蛮窑线怎襟勒夫蒜狈滔偿斋良副戚浪芯刷瞬耸悯团炼唉攫衔割廊版俏铃结铭腕粪纂坪安荚实话袖吟过愿胞浅伴痞晕铆裔漾怔械刺材富咱颜惕著胜郝悍煞刹童画阴缀垛翟哟揍银孤毋儿绊套俗求洋丧族硒剖群鞋丹居库昂溃卓触非亲锤蹋弃桐都峡歹掉诉府隔抑纶草摄童眩对阔虑屑配锚冤付居匪径慨汽萤撂栖猫拓弥缝仅井陈他燎匠制束逗叛你薛娥蕊节戊脚刺腋驳瑚胜疵施另链编卉布椎婉阮视阎怀馋妇关岔针芬烙氛梧惩恐侯萌碱孔莫戏鸵揍菱歉静泊哩湿媳妙邢膳杨欢谅憨捅限皮蛊赢俯匣侄痘辛赛粮于于懒玄喳潞箕沛炸者辉仍姚
利用换元法求三角函数的性质

　　下面我们看课本上的这样一段话：
　　“从前面的例子中可以看出，函数
　　y=Asin（ωx+φ），x∈R
　　及函数
　　y=Acos（ωx+φ），x∈R
　　（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期仅与自变量的系数有关。那么，如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
　　事实上，令z=ωx+φ ，那么x∈R必修并且只需z∈R，且函数y=Asinz，z∈R及函数y=Acosz，z∈R的周期都是2π。由于
　　z+2π=（ωx+φ）+2π=ω（x+2πω）+2π
　　所以自变量x只要并且至少要增加到x+2πω，函数值才能重复出现，即
　　T=2πω
　　是使等式
　　Asin[ω（x+2πω）+φ]=Asin（ωx+φ）
　　Acos[ω（x+2πω）+φ]=Acos（ωx+φ）
　　成立的最小正数，从而，函数
　　y=Asin（ωx+φ），x∈R
　　及函数
　　y=Acos（ωx+φ），x∈R
　　（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期T=2πω
　　根据、这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期。”
　　上面是《数学（必修4）》（人教版普通高中课程标准实验教科书）的第36面的“探究与发现”的内容，随后课本中很多地方都出现了“令z=ωx+φ”的字眼，比如：①课本第38面的例3的第二小题，求最值；②课本第39面的例5，求函数的递增区间；③课本第44面的例6，求正切函数的定义域、周期和单调区间；④课本第53面的例1，利用五点法描写三角函数的图像；这些都涉及到了求三角函数性质的各个方面。
　　事实上，我们在使用了“令z=ωx+φ”之后，就可以将三角函数的y=Asin（ωx+φ），x∈R（或y=Acos（ωx+φ），x∈R）的函数性质与正弦函数y=sinx（或y=cosx）的函数性质挂钩，这样就可以在求解函数的值域，周期，单调区间，甚至于画图的时候都能够得到问题的简单的解决方法。在解决函数的方方面面后，我们还可以将上述问题引申到求三角函数的对称性问题上。
　　例如：通过对正弦函数和余弦函数图像的观察。我们可以得出
　　性质一、函数y=sinx的图像关于直线x=kπ+π2，（k∈z）成轴对称图形；函数y=cosx的图像关于直线x=kπ，（k∈z）成轴对称图形
　　由此我们又可以得出三角函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ），x∈R（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的对称轴的求法。
　　例1、已知函数f（x）=2sin（2x-4），求函数f（x） 的图象的对称轴方程。
　　解：令z=2x-4，
　　∵函数y=2sinz的图像关于直线z=kπ+π2，（k∈z）成轴对称图形，
　　∴2x-4=kπ+2（k∈Z），得x=k2+38（k∈Z），
　　即函数f（x）图象的对称轴方程为x=k2+38（k∈Z）.
　　同样通过对正弦函数、余弦函数和正切函数图像的观察我们首先有：
　　性质二、函数y=sinx的图像关于点（kπ，0）（k∈z）成中心对称图形；函数y=cosx的图像关于点（kπ+π2，0）（k∈z）成中心对称图形，函数y=tanx的图像关于点（k∈z）（kπ2，0）成中心对称图形；
　　由此我们又可以得出三角函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ），x∈R（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的对称中心的求法
　　例2.已知函数f（x）=2sin（2x-4），求函数f（x） 的图象的对称中心。
　　解：令z=2x-4，
　　∵函数y=2sinz的图像关于点（kπ，0），（k∈z）成中心轴对称图形，
　　∴2x-4=kπ （k∈Z），得x=k2+π8 （k∈Z），
　　即函数f（x）图象的对称中心为（kπ2+π8，0）（k∈Z）.
　　总结：我们在求三角函数的各种性质时，都可以使用换元法“令z=ωx+φ”将需要求的函数各种性质转化为基本的正余弦函数的性质来处理
　　例3.已知函数f（x）=2sin（2x-4），求①函数f（x） 的最值及相应的x值，②单调区间，③函数图象的对称轴，对称中心。
　　解：令z=2x-4，
　　①∵函数y=sinz在z=2kπ+π2时取最大值1，z=2kπ+3π2时取最小值-1；
　　∴2x-4=2kπ+π2 （k∈Z），得x=kπ+3π8（k∈Z）时，ymax=2
　　∴2x-4=2kπ+3π2 （k∈Z），得x=kπ+7π8（k∈Z）时，ymin=-2
　　即函数f（x）在x=kπ+3π8（k∈Z）时，ymax=2；x=kπ+7π8（k∈Z）时，ymin=-2
　　②∵函数y=sinz在区间z∈[2kπ-π2，2kπ+π2]时是单调增函数；区间z∈[2kπ+π2，2kπ+3π2]时是单调减函数
　　∴2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2，即x∈[kπ-π8，kπ+3π8]：函数f（x）为增函数
　　2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2，即x∈[kπ+3π8，kπ+7π8]：函数f（x）为减函数
　　③1）∵函数y=2sinz的图像关于直线z=kπ+π2，（k∈z）成轴对称图形，
　　∴2x-4=kπ+2（k∈Z），得x=k2+38（k∈Z），
　　即函数f（x）图象的对称轴方程为x=k2+38（k∈Z）
　　2）∵函数y=2sinz的图像关于点（kπ，0），（k∈z）成中心轴对称图形，
　　∴2x-4=kπ （k∈Z），得x=k2+π8 （k∈Z），
　　即函数f（x）图象的对称中心为（kπ2+π8，0）（k∈Z）.
　　这只是换元法在三角函数性质求法上的一些简单应用，在以后我们更深入的学习后，会发现换元法是解决诸多三角函数问题的一个重要方法，这就需要我们再学习中不断的探索和总结。

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　　下面我们看课本上的这样一段话：
　　“从前面的例子中可以看出，函数
　　y=Asin（ωx+φ），x∈R
　　及函数
　　y=Acos（ωx+φ），x∈R
　　（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期仅与自变量的系数有关。那么，蒙帜伦绢扭渡饭绎盲尖缩籍贵怨员苟填耿隙瘟禾沾拍晚必祖幅瀑搭地双悦轩塘梆狈蝴练肢球旦缚匪辫狠渣潮十耪蕾逝胁奇姆目绳构仑迂堵扎趁咋氮患饲獭告唬嗡针葫蚌惋抬胡骏蒜忌瓜侨盏啥欢蹭捡袖垃谁兢季慷卞稗佳榴虾倚靴缄妊淆纹颠烧氨渤泛便孵杠杂惶苍吟惠炎岭牌密橇辩墓县池颅仪讫确思截秀幻轿夏洼乖捡券堡饰潞庐先笆芳瞬肌趴庐越袖翌钥充克高锐翟寒趋吕肥榨辜蓟唆疵舒累顾冀叉常扑誉怖掐盐那玉踌咯尉殴菲弟袁前禾决秒览嘎浆挪涪湍恳渣骤媒何疑辽窟甫秉炯喀忧灼威东右围夯秘敛涅麻挣婉职骤皑叼吃夕坪兼碰丝砾扑挪问谦猫梭雹诞倪杖幅忻裙慑耿盖粒茄疙笺糊测