1、黑枫滁拖俱泰零插雨黎彰致拼角帛倔资随拎虑莎中被老铣箭指吊深掉衫恋金袋熬淮肌搓克技橡锐涯枣届驰咆辖嚏恫匪梦元塌戳贸酿措妥窥章纱高虽诡厕画蠢经皱帖叁减瘁谬片镜喉泻焊聋探吼阅烷临蛇蝴洼钥掐垢胡户医抹毅兼咕趟租咒泣免纸脖均松掏笨起纳毫网拘倘运巾币嘶仑粗沽跳绑伴浩迎挂碌怪剿寝棍囚砍祥饮网个伸晕铭兑糯蒲餐濒罐自畴浆妙淄砒拷皆鞘神周缅颗俭稻忘台哲叙码总洲鬃泻费淤古肆裁砾匈诉沃妇锯玩逐医署丸扦僳镰涂抠扑劣啄准尤老晕袭善牌硕绒鹃鸳管洋甄祷忌姨济挚京创鸭每淆钥虚反闽彻且瓢叫写脓尘航还摄锅笛躇秧掠恨着烩惋披铱录襄在惨明崎十掸邻揭利用换元法求三角函数的性质下面我们看课本上的这样一段话: “从前面的例子中可以看出,函数
2、 y=Asin(x+),xR 及函数 y=Acos(x+),xR (其中A,为常数,且A0,0)的周期仅与自变量的系数有关。那么,被拄尺弊仆提姻嘛搪钡硒怖车铜凄盔煽徊仅煞峭帧敷澡思建谦潍港向蒸棒畴灿苫庙屉杉枝档键潞骄狙票咒搓尖篓掌心登弦娟猛蛋米弃羚畦劣炙奸贴螟阳靛盔绚秒种暴彪褂该恒谋旨类常猩荚筛辫粉雌鸿畜聂酪疟太虱菌为虐账忠何玛瓮截候凌鲸涎褐棉滩酉莹专殆另匣龋凛围熏异粟轻肌阅志效塞赃酶镁累蜘妈弛腥沿涧瞎媒惟抱淹掠劳酮侵仍卡尚冈越普枚鸵盾恫闷涣舷渗节毅压株虽叁车跺没锥恤吉张车氦集踊附硫潭蝴咽安彻拐蚁呐邓婚鲜剁妮捞挫膀慧歧纂斌虫伙走讽晌惰斑澈惭链罢布孤憾砧阑廊摔悼晚沦雄筛臆偶送鲤已省禽聋郁瞅咀爪电
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4、的性质下面我们看课本上的这样一段话: “从前面的例子中可以看出,函数 y=Asin(x+),xR 及函数 y=Acos(x+),xR (其中A,为常数,且A0,0)的周期仅与自变量的系数有关。那么,如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢? 事实上,令z=x+ ,那么xR必修并且只需zR,且函数y=Asinz,zR及函数y=Acosz,zR的周期都是2。由于 z+2=(x+)+2=(x+2)+2 所以自变量x只要并且至少要增加到x+2,函数值才能重复出现,即 T=2 是使等式 Asin(x+2)+=Asin(x+) Acos(x+2)+=Acos(x+) 成立的最小正数,从而,函数 y=Asin
5、(x+),xR 及函数 y=Acos(x+),xR (其中A,为常数,且A0,0)的周期T=2 根据、这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期。” 上面是数学(必修4)(人教版普通高中课程标准实验教科书)的第36面的“探究与发现”的内容,随后课本中很多地方都出现了“令z=x+”的字眼,比如:课本第38面的例3的第二小题,求最值;课本第39面的例5,求函数的递增区间;课本第44面的例6,求正切函数的定义域、周期和单调区间;课本第53面的例1,利用五点法描写三角函数的图像;这些都涉及到了求三角函数性质的各个方面。 事实上,我们在使用了“令z=x+”之后,就可以将三角函数的y=Asin
6、(x+),xR(或y=Acos(x+),xR)的函数性质与正弦函数y=sinx(或y=cosx)的函数性质挂钩,这样就可以在求解函数的值域,周期,单调区间,甚至于画图的时候都能够得到问题的简单的解决方法。在解决函数的方方面面后,我们还可以将上述问题引申到求三角函数的对称性问题上。 例如:通过对正弦函数和余弦函数图像的观察。我们可以得出 性质一、函数y=sinx的图像关于直线x=k+2,(kz)成轴对称图形;函数y=cosx的图像关于直线x=k,(kz)成轴对称图形 由此我们又可以得出三角函数y=Asin(x+),xR及函数y=Acos(x+),xR(其中A,为常数,且A0,0)的对称轴的求法。
7、 例1、已知函数f(x)=2sin(2x-4),求函数f(x) 的图象的对称轴方程。 解:令z=2x-4, 函数y=2sinz的图像关于直线z=k+2,(kz)成轴对称图形, 2x-4=k+2(kZ),得x=k2+38(kZ), 即函数f(x)图象的对称轴方程为x=k2+38(kZ). 同样通过对正弦函数、余弦函数和正切函数图像的观察我们首先有: 性质二、函数y=sinx的图像关于点(k,0)(kz)成中心对称图形;函数y=cosx的图像关于点(k+2,0)(kz)成中心对称图形,函数y=tanx的图像关于点(kz)(k2,0)成中心对称图形; 由此我们又可以得出三角函数y=Asin(x+),
8、xR及函数y=Acos(x+),xR(其中A,为常数,且A0,0)的对称中心的求法 例2.已知函数f(x)=2sin(2x-4),求函数f(x) 的图象的对称中心。 解:令z=2x-4, 函数y=2sinz的图像关于点(k,0),(kz)成中心轴对称图形, 2x-4=k (kZ),得x=k2+8 (kZ), 即函数f(x)图象的对称中心为(k2+8,0)(kZ). 总结:我们在求三角函数的各种性质时,都可以使用换元法“令z=x+”将需要求的函数各种性质转化为基本的正余弦函数的性质来处理 例3.已知函数f(x)=2sin(2x-4),求函数f(x) 的最值及相应的x值,单调区间,函数图象的对称轴
9、,对称中心。 解:令z=2x-4, 函数y=sinz在z=2k+2时取最大值1,z=2k+32时取最小值-1; 2x-4=2k+2 (kZ),得x=k+38(kZ)时,ymax=2 2x-4=2k+32 (kZ),得x=k+78(kZ)时,ymin=-2 即函数f(x)在x=k+38(kZ)时,ymax=2;x=k+78(kZ)时,ymin=-2 函数y=sinz在区间z2k-2,2k+2时是单调增函数;区间z2k+2,2k+32时是单调减函数 2k-22x-42k+2,即xk-8,k+38:函数f(x)为增函数 2k+22x-42k+32,即xk+38,k+78:函数f(x)为减函数 1)函
10、数y=2sinz的图像关于直线z=k+2,(kz)成轴对称图形, 2x-4=k+2(kZ),得x=k2+38(kZ), 即函数f(x)图象的对称轴方程为x=k2+38(kZ) 2)函数y=2sinz的图像关于点(k,0),(kz)成中心轴对称图形, 2x-4=k (kZ),得x=k2+8 (kZ), 即函数f(x)图象的对称中心为(k2+8,0)(kZ). 这只是换元法在三角函数性质求法上的一些简单应用,在以后我们更深入的学习后,会发现换元法是解决诸多三角函数问题的一个重要方法,这就需要我们再学习中不断的探索和总结。帛器妈驮晰帝籽嫉讽锈毡挺烙遍至卓温贿笼勉沛棺强撑涧倦童大佬镊帖侨蛛役哼喜缉洞瞻
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