初一下册--第五章相交线与平行线-典型例题讲解.doc

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学 员 编 号 ： 年 级 ：七年级 课 时 数 ：3
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课 题
相交线与平行线典型例题讲解
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教 学 目 的

重 难 点

教 学 内 容
【基础知识巩固】
1、邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 
2、对顶角：
（1）定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，
这样的两个角互为对顶角(或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角)。
（2）对顶角的性质：对顶角相等。 

3、垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。 
4、垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。

5、平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b”
6、平行公理及推论
（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 
注：（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。 
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
7、两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。

8、平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）
（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）
（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）
9、平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）
（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）
（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
补充：
（5）平行的定义；（在同一平面内）
（6）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。
10、平移：
（1）定义：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
（2）性质：
①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。
②对应点的线段平行且相等。
11、命题
（1）定义：判断一件事情的语句叫做命题
（2）组成：命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的；命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。

【典型例题】
【题型一】对相关概念的理解
对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别

【例1】判断下列说法的正误。
（1）对顶角相等； （ ）
（2）相等的角是对顶角； （ ）
（3）邻补角互补； （ ）
（4）互补的角是邻补角； （ ）
（5）同位角相等； （ ）
（6）内错角相等； （ ）
（7）同旁内角互补；                     （ ）
（8）两直线不相交就平行； （ ）
（9）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离； （ ）
（10）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （ ）
（11）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （ ）
（12）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。 （ ）

【练习】下列说法正确的是（ ）
A、相等的角是对顶角           
B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离
C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直
D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行

【题型二】对顶角、邻补角的判断、相关计算
【例1】 如图5－1，直线AB、CD相交于点O，对顶角有_______对，它们分别是_______，∠AOD的邻补角是________。 
【例2】如图5－2，直线l1，l2和l3相交构成8个角，已知∠1=∠5，那么，∠5是_________的对顶角，
与∠5相等的角有∠1、_________，与∠5互补的角有_________。 
【例3】如图5－3，直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOD的平分线，∠BOE=30°，则∠AOE为_________。

【题型三】垂线相关计算
【例1】已知AB∥CD，OE评分∠DOB，OE⊥OF，∠CDO=60°，求∠DOF的度数
【例2】∠E=90°，∠1+∠2=90°，求证AB∥DC
【例3】已知直线AB，OF⊥OC，∠BOC=1/3∠BOD，∠AOF=2∠COD，求∠AOC

【题型三】同位角、内错角、同旁内角的识别
【例1】如图2-44：
∠1和∠4是________、________被________所截得的_________角，
∠3和∠5是________、________被________所截得的_________角， 
∠2和∠5是________、________被________所截得的_________角， 
AC、BC被AB所截得的同旁内角是_____________________________. 

【例2】如图2-45：
AB、DC被BD所截得的内错角是______________________________，
AB、CD被AC所截是的内错角是______________________________，
AD、BC被BD所截得的内错角是______________________________，
AD、BC被AC所截得的内错角是______________________________。

【题型四】命题
【例1】把“对顶角相等”的条件和结论互换得到的新命题是________________________
命题“相等的角是对顶角”的条件是______________，结论是_____________，
这个命题是真命题还是假命题？

【例2】“内错角相等”是______命题.
“同位角相等”的条件是_________结论是___________，它是____命题.

【例3】“平行四边形对角线互相平分”的逆命题是：____________________，它是_____命题.

【例4】命题“如果a，b都是奇数，则ab是奇数”的逆命题形式为_______________________

【题型五】平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练） 
【例1】相关推理
（1）∵a∥c，b∥c（已知）    ∴______∥______（                  ）
（2）∵∠1=∠2，∠2=∠3（已知）    ∴______=_______（             ）
（3）∵∠1+∠2=180°，∠2=30°（已知） ∴∠1=__________（         ）
（4）∵∠1+∠2=90°，∠2=22°（已知） ∴∠1=__________（                ）
（5）如图（1），∵∠AOC=55°（已知）  ∴∠BOD=________（                  ） 
（6）如图（1），∵∠AOC=55°（已知）  ∴∠BOC=________（          ） 
（7）如图（1），∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°（已知）
∴∠BOC=______（                  ）

（8）如图（2），∵a⊥b（已知）    ∴∠1=______ （                ）
（9）如图（2），∵∠1=______（已知）   ∴a⊥b （                ）
（10）如图（3），∵点C为线段AB的中点  ∴AC=_______ （                ）
(11) 如图（3），∵ AC=BC ∴点C为线段AB的中点（             ）
（12）如图（4），∵a∥b（已知）    ∴∠1=∠2 （             ）
（13）如图（4），∵a∥b（已知）    ∴∠1=∠3 （                ）
（14）如图（4），∵a∥b（已知）    ∴∠1+∠4=____（            ）
（15）如图（4），∵∠1=∠2（已知）    ∴a∥b （                ）
（16）如图（4），∵∠1=∠3（已知）    ∴a∥b （                ）
（17）如图（4），∵∠1+∠4=______（已知） ∴a∥b （           ）

【例2】如图9,已知DF∥AC,∠C=∠D,要证∠AMB=∠2,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据: 
∵DF∥AC (已知)
∴∠D=∠1(                            )
∵∠C=∠D(已知)
∴∠1=∠C(                           )
∴DB∥EC (             ) 
∴∠AMB=∠2(                           )

【题型六】特殊平行线相关结论 
【例1】已知，如图：AB//CD,试探究下列各图形中的关的关系.

如图，AB∥DE，那么∠B、∠BCD、∠D有什么关系？

【题型七】探究、操作题
【例1】已知点F是AB上一点，点E是DA延长线上一点，FM平分∠BFE，DN平分∠ADC，且∠CDN+∠BFM=+∠E，试问AB与CD平行么？

【例2】（2007年·福州中考）直线AC∥BD，连结AB，直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连结PA,PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．
（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角．） 
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB =∠PAC +∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB =∠PAC +∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？ 
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应结论．
选择其中一种结论加以证明．

【例3】已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间。
1． 求证：∠BMG+∠GND=∠MGN.
2． 如果有E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰巧在MF延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E与∠G互余，求∠AME的大小.
3． 在2的条件下，若点P是EM上一动点，PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ∥NH。当点P在线段EM上移动时，∠JPQ的度数是否改变？若不变，是多少？

【课后强化练习题】

5、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图： 
（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定； 
（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合； 
（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°， ∠ACF为多少？

6、∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）说明AD与CE的位置关系
（2）作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数
（3）在前面的条件下，若P是AB上一点，Q是GE上任一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，下列结论只有一个正确：
①∠APQ+∠NPM的值不变。
②∠NPM的度数不变。
问是哪一个，并求值。

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