椭圆的标准方程和几何性质练习题.doc

椭圆的标准方程和几何性质练习题一
1. 若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足(　　)
A．a2>b2 B.< C．0<a<b D．0<b<a
答案：C 由ax2＋by2＝1，得＋＝1，因为焦点在x轴上，所以>>0，所以0<a<b.
2. 一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|，|F1F2|，|PF2| 成等差数列，则椭圆方程为(　　)
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
答案：A 设椭圆的标准方程为=1(a>b>0)。由点P(2,)在椭圆上知=1。又|PF1|，|F1F2|，PF2|成等差数列，则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，即2a=2×2c， 又c2=a2-b2，联立得a2=8，b2=6
3. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2　　 　　B．6　　　 　C．4　　 　　D．12
答案：C 如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4。
4. 已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是(　　)
A. B. C. ∪ D. ∪
答案：C 在椭圆x2＋my2＝1中，当0＜m＜1时，a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1，
∴e2＝＝＝1－m，
又＜e＜1，∴＜1－m＜1，解得0＜m＜，当m＞1时，a2＝1，b2＝，c2＝1－，
e2＝＝＝1－，又＜e＜1，∴＜1－＜1，解得m＞，
综上可知实数m的取值范围是∪。
5. 已知两圆C1:(x-4)2+y2=169，C2:(x+4)2+y2=9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A. B. C. D.
答案：D 设圆M的半径为r，则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16，
所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，且2a=16，2c=8，故所求的轨迹方程为+=1
6. 椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一点，，且PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. (,1) B. (0,) C. (0,) D. (,1)
答案：A 设点P(x1,y1)，由于PQ⊥l,故|PQ|=x1+，因为四边形PQF1F2为平行四边形，所以|PQ|=|F1F2|=2c，即x1+=2c，则有x1=2c->-a，所以2c2+ac-a2>0，即2e2+e-1>0，解得e<-1或e>，由于0<e<1，所以<e<1，即椭圆离心率的取值范围是(,1)
7. 已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5 B．7 C．13 D．15
答案：B 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7。
8. 设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：D ∵(＋)·＝(＋)·＝·＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，∴S△F1PF2＝mn＝1
9. 已知椭圆C：(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰有8个不同的点P，使得△F1F2P为直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(0,] C.(,1) D.[,1)
答案：C 由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直，
所以|OP|=c>b， 即c2>a2-c2，所以a<c，因为e=，0<e<1，所以<e<1.
10. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
答案：C 设椭圆上任意一点P(x0,y0)，则有=1，即=3-，O(0,0)，F(-1,0)，
则·=x0(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2.
因为|x0|≤2，所以当x0=2时，·取得最大值为6
11. 在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案：C 依题意知AB＝BC＝2c，AC＝2a－2c，在△ABC中，由余弦定理得(2a－2c)2＝8c2－2×4c2×，故16e2＋18e－9＝0，解得e＝.
12. 已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则（ ）
A. t=2 B. t>2 C. t<2 D. t与2的大小关系不确定
答案：A 如图，P，Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点，则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|，即|F1M|+|MF2|=2a.
所以t=a=2.
13. 椭圆(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设
∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
答案：A 由题知AF⊥BF，根据椭圆的对称性，AF′⊥BF′(其中F′是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF′是矩形，于是|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＝2csinα，根据椭圆的定义，|AF|＋|AF′|＝2a，∴2csinα＋2ccosα＝2a，∴e＝＝＝，而α∈，
∴α＋∈，∴sin∈，故e∈
14. 直线与椭圆C：(a>b>0)交于A，B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C.-1 D.4-2
答案：C 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得
|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c，由y=-x得∠AOF2=，∠AOF1=。所以|AF2|=c，|AF1|=c.
由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a，所以c+c=2a，所以e==-1.
15. 已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)，其右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，则椭圆的方程为
答案： 据题意可知椭圆方程是标准方程，故b＝1.设右焦点为(c,0)(c>0)，它到已知直线的距离为＝3，解得c＝，所以a2＝b2＋c2＝3，故椭圆的方程为＋y2＝1.
16. 设F1，F2分别是椭圆=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为
答案：4 由题意知|OM|=|PF2|=3，所以|PF2|=6，所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4
17. 分别过椭圆(a>b>0)的左、右焦点F1，F2所作的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是
答案：(0,) 由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上。 又点P在椭圆内部，所以有c2<b2，又b2=a2-c2，所以有c2<a2-c2，即2c2<a2，亦即: 所以
18. 椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是
答案： 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则＝(x＋，y)，＝(x－，y)。
∵∠F1PF2为钝角，∴·＜0，即x2－3＋y2＜0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－＜0，x2＜2，∴x2＜。
解得－＜x＜，∴x∈。
19. 椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B。若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是
答案： 设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a。
又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
当且仅当AB过右焦点F′时等号成立。
此时4a＝12，则a＝3。
故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，
所以e＝＝。
20. 如图，焦点在x轴上的椭圆的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点．则·的最大值为
答案：4 设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，
∵e＝＝，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. 故所求椭圆方程为＋＝1.
∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.
∵F(－1,0)，A(2,0)， ＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
即当x0＝－2时，·取得最大值4.
21. 已知椭圆C：(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF。若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为
答案： 如图，设|AF|=x，则cos∠ABF=
解得x=6(负值舍去)，所以∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8，且∠FAF1=∠FAB+∠FBA=90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|=10，故2a=8+6=14，2c=10，所以
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
（1）若点C的坐标为，且|BF2|=，求椭圆的方程
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值
【解析】(1)由题意F2(c,0)，B(0,b)，|BF2|=
又C，所以=1，解得b=1，所以椭圆方程为+y2=1.
(2)直线BF2方程为=1，与椭圆方程=1联立方程组，解得A点坐标为 则C点的坐标为
又F1(-c,0)，= 又kAB=-，由F1C⊥AB，得·(-)=-1,
即b4=3a2c2+c4，所以(a2-c2)2=3a2c2+c4，化简得e=
23. 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点. 若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值
解析：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1。所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2。
因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝。
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0。
因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－。
又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4
＝x＋＋＋4＝＋＋4(0＜x≤4)。
因为＋≥4(0＜x≤4)，且当x＝4时等号成立，
所以|AB|2≥8。故线段AB长度的最小值为2。

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