椭圆的标准方程和几何性质练习题.doc

椭圆的标准方程和几何性质练习题一1. 若曲线ax2by21为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足()Aa2b2 B. C0ab D0b0，所以0ab0)。由点P(2,)在椭圆上知=1。又|PF1|，|F1F2|，PF2|成等差数列，则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，即2a=22c， 又c2=a2-b2，联立得a2=8，b2=63. 已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6 C4 D12答案：C 如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则ABC的周长为|AB|AC|BC|(|AB|BF|)(|AC|CF|)4a4。 4. 已知椭圆x2my21的离心率e，则实数m的取值范围是()A. B. C. D. 答案：C 在椭圆x2my21中，当0m1时，a2，b21，c2a2b21，e21m，又e1，1m1，解得0m，当m1时，a21，b2，c21，e21，又e1，11，解得m，综上可知实数m的取值范围是。5. 已知两圆C1:(x-4)2+y2=169，C2:(x+4)2+y2=9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A. B. C. D. 答案：D 设圆M的半径为r，则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16，所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，且2a=16，2c=8，故所求的轨迹方程为+=16. 椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一点，且PQl，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是()A. (,1)B. (0,)C. (0,)D. (,1)答案：A 设点P(x1,y1)，由于PQl,故|PQ|=x1+，因为四边形PQF1F2为平行四边形，所以|PQ|=|F1F2|=2c，即x1+=2c，则有x1=2c-a，所以2c2+ac-a20，即2e2+e-10，解得e，由于0e1，所以eb0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰有8个不同的点P，使得F1F2P为直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(0,) B.(0, C.(,1)D.,1)答案：C 由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直，所以|OP|=cb， 即c2a2-c2，所以ac，因为e=，0e1，所以e2 C. tb0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF，且，则该椭圆离心率的取值范围为()A. B. C. D. 答案：A 由题知AFBF，根据椭圆的对称性，AFBF(其中F是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF是矩形，于是|AB|FF|2c，|AF|2csin，根据椭圆的定义，|AF|AF|2a，2csin2ccos2a，e，而，sin，故e14. 直线与椭圆C：(ab0)交于A，B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()A.B.C.-1D.4-2答案：C 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c，由y=-x得AOF2=，AOF1=。所以|AF2|=c，|AF1|=c.由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a，所以c+c=2a，所以e=-1.15. 已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，1)，其右焦点到直线xy20的距离为3，则椭圆的方程为 答案： 据题意可知椭圆方程是标准方程，故b1.设右焦点为(c,0)(c0)，它到已知直线的距离为3，解得c，所以a2b2c23，故椭圆的方程为y21.16. 设F1，F2分别是椭圆=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为 答案：4 由题意知|OM|=|PF2|=3，所以|PF2|=6，所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=417. 分别过椭圆(ab0)的左、右焦点F1，F2所作的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是 答案：(0,) 由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上。 又点P在椭圆内部，所以有c2b2，又b2=a2-c2，所以有c2a2-c2，即2c2b0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF。若|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，则C的离心率为 答案： 如图，设|AF|=x，则cosABF=解得x=6(负值舍去)，所以AFB=90,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8，且FAF1=FAB+FBA=90，FAF1是直角三角形，所以|F1F|=10，故2a=8+6=14，2c=10，所以22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为，且|BF2|=，求椭圆的方程（2）若F1CAB，求椭圆离心率e的值【解析】(1)由题意F2(c,0)，B(0,b)，|BF2|=又C，所以=1，解得b=1，所以椭圆方程为+y2=1. (2)直线BF2方程为=1，与椭圆方程=1联立方程组，解得A点坐标为 则C点的坐标为又F1(-c,0)，= 又kAB=-，由F1CAB，得(-)=-1,即b4=3a2c2+c4，所以(a2-c2)2=3a2c2+c4，化简得e=23. 已知椭圆C：x22y24.（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点. 若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解析：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1。所以a24，b22，从而c2a2b22。因此a2，c.故椭圆C的离心率e。(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00。因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t。又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)。因为4(0x4)，且当x4时等号成立，所以|AB|28。故线段AB长度的最小值为2。8