《数理方法》考试试卷(A卷).doc

安徽大学 2010 — 2011 学年第 1 学期
《 数理方法 》考试试卷（A卷）
（闭卷 时间120分钟）
院/系 年级 专业 姓名 学号
题 号
一
二
三
四
总分
得 分

得分

一、填空题（每小题2分，共20分）
1. 复数的共轭复数是： ，辐角主值是： 。
2. 计算复指数函数 。
3. 设为逆时针方向沿圆周的闭合曲线，则回路积分___________。
4. 幂级数的收敛半径 。
5. 将函数以为中心展开为罗朗级数： 。
6. 函数的傅里叶变换为： 。
7. 求拉普拉斯变换： ； 。
8. 对于本征值问题
其本征值为： ，本征函数为： 。
9. 施图姆－刘维尔(S－L)型方程：
其中：为核函数，为权函数，为分离变量过程中引入的参数。
若取，，，，，, 则上式可以转化为阶贝塞尔方程。试写出阶贝塞尔方程的标准形式： 。
10. 已知勒让德多项式：，试将函数展开为傅里叶—勒让德级数： 。
得分

二、简答题（第一题6分，第二题10分，共16分）
1. 已知含两个自变量和的二阶线性偏微分方程的一般形式为：

试简述如何将其划分为三种类型。
2. 二阶线性常微分方程的标准形式为：
试简述方程的常点和正则奇点，并写出常点和正则奇点邻域内方程级数解的形式。
得分

三、证明题（每小题10分，共20分）
1. 证明函数在点可导，但在复平面上处处不解析。
2. 已知：拉氏变换和卷积
试证明拉氏变换的卷积定理：
得分

四、计算题（第一、二题各10分，第三、四题各12分，共44分）
1. 试计算积分
2. 试把方程的解用第一类贝塞尔函数表示出来
3. 用分离变量法求解如下长为的细杆导热的定解问题

4. 已知拉氏变换的微分性质：
试用拉氏变换法求如下微分方程的解：