一类复杂网络的弹性分析_吴海心.pdf

一类复杂网络的弹性分析吴海心，张辉，张赛楠（安庆师范大学 数理学院，安徽 安庆 246133）摘要：现实复杂网络，如生态系统网络，其恢复能力与结构有关联，但关联性又很难被量化，因此系统的崩溃往往是不可预测的。本文基于节点最邻近信息，通过弹性函数将高维方程映射为一维方程来度量生态系统网络的弹性，并探索了一类具有普遍意义的生态网络。通过分析弹性函数的不动点，得到了对应系统的弹性区域，进而讨论了相同物种间的相互作用对互惠网络和竞争网络的影响。研究发现，网络最邻近平均值越大的系统所对应的弹性函数越稳定。该研究对于揭示生态系统稳定性具有一定的参考意义。关键词：复杂网络；网络弹性；最邻近平均值；动力学分析中图分类号：O175文献标志码：A文章编号：1007-4260（2023）01-0037-05ResilienceAnalysis of a Class of Complex NetworksWU Haixin,ZHANG Hui,ZHANG Sainan(School of Mathematics and Physics,Anqing Normal University,Anqing 246133,China)Abstract:In realistic complex networks,such as ecosystem networks,the resilience is correlated with the network struc-ture,while the relationship between resilience and network structure is difficult to quantify.Thus,the crash of the system is of-ten unpredictable.In this paper,based on the nearest neighbor information of the node,the resilience of ecological network sys-tems are measured by mapping high-dimensional equations to one-dimensional equations,and a class of ecological networkswith general significance is explored and studied.By analyzing the fixed points of the resilience function,we obtain the resil-ience region of the corresponding system,and then the influence of the interaction between species on multidimensional sys-tems and competitive systems are discussed.It is found that the system with a larger nearest neighbor activity of the networkcorresponds to a more stable resilience function.The study is a reference for revealing the stability of ecosystems.Key words:complex networks;resilience of multidimensional systems;nearest neighbor activity;dynamics analysisa用于描述生态系统动力学的数学模型通常是由多个未知量构成的非线性微分方程组，而生态系统网络的动力学分析也会因为状态空间维数的增加而变得更加复杂1。弹性是网络受到外界干扰时系统调整其行为以保持基本功能不变的能力，是维持系统稳定的核心指标2。一个系统的弹性通常与网络结构有关联，但这种关联很难被量化，其原因是系统状态空间所处的高维度。为了定量地确定网络结构的特征，文献3引进了最邻近平均值概念，将高维动力系统模型简化成一维动力系统，从而获得了刻画弹性与网络结构的特征值3；而文献4提出了用网络拓扑不变量k核的概念来描述物种网络间的动态相互作用强度，并推导出了互惠生态系统稳定性的条件4。现实网络通常是高维的，对于高维网络稳定性的分析可以利用文献3中复杂系统的弹性预测模型，收稿日期：2021-10-11基金项目：安徽省教育厅重点项目（KJ2019A0556）作者简介：吴海心(1998)，女，安徽阜阳人，安庆师范大学数理学院硕士研究生，研究方向为复杂系统建模、仿真与控制。E-mail：2023年2月第29卷第1期安庆师范大学学报（自然科学版）Journal ofAnqing Normal University（Natural Science Edition）Feb.2023Vol.29 No.1DOI：10.13757/34-1328/n.2023.01.007安庆师范大学学报（自然科学版）2023年将高维复杂系统化简为一维系统，并通过分析低维系统的稳定性来预测高维复杂系统的弹性3。同时，现实网络中不同物种之间的相互作用会对网络稳定性产生影响，而同一物种之间的相互作用也会对网络整体稳定性产生影响5。文献3的互惠网络模型描述了不同物种之间的影响，但是没有考虑同一物种间的高阶相互作用。受此启发，本文利用降维法研究了一类生态复杂网络：dxidt=Bi+xi()1-xiKi()xiCi-1+j=1NAijixixjai+bixi+x2i，（1）其中，Bi表示由于种群迁徙而产生的流入率；Ki表示种群的环境容纳量；Ci是Allee常数，当种群密度低于Allee效应阈值时，种群增长率为负值且种群密度减小，当种群密度大于阈值时，种群增长率为正值且种群密度增加，而当种群数量足够大时，Allee效应就会消失。该模型中物种遵循Logistic增长规律，并描述了物种具有Allee效应和物种流入的现象6；组合ixixjai+bixi+x2i描述了节点i和节点j之间的动力学行为，Aij表示邻居节点j对目标节点i的影响，ai，bi表示反应函数的饱和率，i表示节点j对节点i的作用系数；组合j=1NAijixixjai+bixi+x2i描述了节点i与其他邻居节点间的相互作用。相较于文献3的模型，系统（1）在网络结构的分母上增加了平方项来描述同一物种间相互作用对网络的影响，因此，能否用降维的方法讨论该类网络结构与系统弹性间的关系是一个值得研究的科学问题。本文首先通过降维的方法将系统（1）简化为一维系统：f()eff,xeff=B+xeff()1-xeffK()xeffC-1+effxeff2a+bxeff+xeff2，（2）接着利用一维动力系统的理论，分析了不动点的各种情形，并获得了一个关联网络结构和弹性的特征数值，最后利用数值模拟来进一步刻画参数对系统弹性的影响。1模型分析考虑N个节点组成的系统遵循非线性方程：dxidt=F()xi+j=1NAijG()xi,xj，其中，xi()t表示第i个节点在t时刻的状态，F()xi表示节点i的自身动力学行为，G()xi,xj表示节点i与其它节点之间的交互行为，加权矩阵Aij表示节点j与节点i之间的相互作用，其中Aij 0。对网络中每一个节点i而言，选择邻近节点j的概率与节点j的出度成正比，即出度越大选择的可能性越大，在网络中的权重就会越大。定义最邻近平均值xeff来描述系统的有效状态7：xeff=eTAxeTAe=soutxs，（3）其中，e=()1,1,1,1T，sout=()sout1,sout2,sout3,soutNT，soutx=()i=1Nsoutxi/N。邻近加权度eff为所有节点入度和出度乘积的平均值：eff=()eTA()AeeTAe=eTAsineTAe=soutsins，（4）其中，sin=()sin1,sin2,sin3,sinNT。系统（1）共有六个参数，假设Bi=B，Ci=C，Ki=K，ai=a，bi=b和i=，把公式（3）和公式（4）代入多维复杂系统（1），可得到简化的一维系统，即公式（2）。公式（2）的不动点可以由f()eff,xeff=0得到，即B+xeff()1-xeffK()xeffC-1+effxeff2a+bxeff+xeff2=0，（5）其线性稳定性可以由f()eff,xeffxeff 0得到，即f()eff,xeffxeff=-3x2effCK+|2()C+KCKxeff-1+eff()2axeff+bxeff2()a+bxeff+xeff22 ceff时，系统有一个稳定的不动点xH；当eff ceff时，系统有三个不动点，其中xL，xH为稳定的不动点，而xM为不稳定的不动点；eff=ceff为临界状态，此时系统有两个不动点，其中eff表示xj和xi之间的邻近加权值。当eff 0时，没有实际意义。effOAxeffBxeffBAOeffceffxMxLxH图2邻近加权度eff与最邻近平均值xeff图像图1最邻近平均值xeff与邻近加权度eff图像由公式（2）可以得到xeff-f()eff,xeff的图像，如图3所示，在图像中不动点是图像与xeff轴的交点，即f()eff,xeff=0的点。对于eff ceff，系统有一个不动点，即绿色曲线与xeff轴的唯一交点；eff=ceff为临界状态，即蓝色曲线的xL，xM两个不动点合并为一个不动点，也就是图像最小值C与f()eff,xeff=0重合，此时系统有两个不动点，即红色曲线与xeff轴的两个交点。因此，ceff，xceff需要满足两个条件，如|f()ceff,xeffxeffxceff=0，f()ceff,xceff=0，其中，第一个条件得到的是图中的C点，第二个条件得到的是与xeff轴的交点，可以由f()ceff,xceff=0得到ceff关于xceff的关系式，再利用第一个条件和图形解出了xceff的值。由公式（7）可得到图4。S(xeff)OxeffxeffBAOf(eff,xeff)xMxL图4最邻近平均值xeff与S()xeff图像图3最邻近平均值xeff与f()eff,xeff的图像C=c c吴海心，张辉，张赛楠：一类复杂网络的弹性分析 39安庆师范大学学报（自然科学版）2023年从图4可以看出，当S()xeff=0时有两个根，在点A处xeff A=0.3，在点B处xeff B=3.53，当xeff A=0.3时eff A=0.2736，而当xeff B=3.53时eff B=-3.16，没有意义，所以得到ceff=eff A=0.2736，在点A和点B之间S()xeff 0，对应的弹性函数是不稳定的，当xeff xeff B时S()xeff ceff时，系统只有一个不动点且有弹性，当其受扰动而离开不动点xH后最终都会回到xH；然而当eff ceff时，系统则有三个不动点且可能会失去弹性，且随着x的波动其可能在不动点xH，xL，xM之间转化。正如图3中蓝色曲线eff ceff，在xL，xH点fxeff 0，为不稳定的不动点，所以xeff ceff时，系统有一个稳定的不动点；而当eff ceff时，系统则有三个不动点；eff=ceff为临界状态，此时系统有两个不动点，其中eff表示xj和xi之间的邻近加权度，对于eff 0，没有实际意义。effOxeffxeffBAOeffceffxMxLxH图6邻近加权度eff与最邻近平均值xeff图像图5最邻近平均值xeff与邻近加权度eff图像由公式（8）可得到xeff-f()eff,xeff关系图像，见图7。对比图3和图7，发现当eff ceff时，系统均只有一个不动点。由公式（10）可得到xeff-S()xeff图像，见图8。可以看出，S()xeff与xeff轴有两个交点，即点A和点B，有xeff A=0.56，xeff B=3.53。当xeff=0.56时，eff=-0.203 6 0，对应的弹性函数不稳定。而当xeff xeff B时S()xeff 0，对应的弹性函数是稳定的。40第1期xefff(eff,xeff)=c cS(xeff)xeffBAO图8最邻近平均值xeff与S()xeff图像图7最邻近平均值xeff与f()eff,xeff的图像3结论综上所述，本文建立了一个相互作用项更复杂的高维网络模型，并使用降维方法把高维系统简化成一维系统，且研究了系统网络的弹性函数。通过研究互惠和竞争两种不同的模型，分析了网络结构与系统稳定性之间的关系。从生态学角度来看，邻近加权度eff刻画了网络中各个物种的关联度，其值越大网络中物种的联系性越强，反映在网络中则弹性越强，系统网络也会越稳定。参考文献：1 BARZEL B,BIHAM O.Quantifying the connectivity of a network:the network correlation function methodJ.Physical Review E statisticalNonlinear Physics,2009,80(14):046104.2 COHEN R,EREZ K,BEN-AVRAHAM D,et al.Resilience of the internet to random breakdownJ.Physical Review Letters,2000,85(21):4626-4628.3 GAO J,BARZEL B,BARABASIA.Universal resilience patterns in complex networksJ.Nature,2016(530):307-312.4 MORONE F,FERRARO G,MAKSE H,et al.The k-core as a predictor of structural collapse in mutualistic eco-systemsJ.Nature Physics,2018(15):95-102.5 SASMAL 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