人教版高数必修四第7讲：平面向量基本定理及坐标运算(教师版)(.doc

平面向量基本定理与坐标运算

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1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.
4.了解平面向量的基本定理及其意义.

一、平面向量基本定理：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量，有且只有_一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
特别提醒：
(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

二、平面向量的坐标表示：
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个__单位向量_ 、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………，
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示
与相等的向量的坐标也为
特别地，，，
特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示
三、平面向量的坐标运算：
（1） 若，，则=，
=
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
（3）若和实数，则
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
（4）向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中¹
∥ (¹)的充要条件是

类型一　平面向量基本定理的应用
【例1】►(2012·南京质检)如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

[审题视点] 由B，H，C三点共线可用向量，来表示.
解析　由B，H，C三点共线，可令＝x＋(1－x)，又M是AH的中点，所以＝＝x＋(1－x)，又＝λ＋μ.所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.
答案　
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．
【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________.

解析　以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，

令AB＝2，则＝(2,0)，＝(0,2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线于F，由已知得DF＝BF＝，则＝(2＋， )．
∵＝x＋y，∴(2＋，)＝(2x,2y)．
即有解得
另解：＝＋＝＋，
所以x＝1＋，y＝.
答案　1＋　
[例1] 在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.
B
C
A
O
M
D
[解题思路]：若是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用线性表示.本例中向量,可作基底,故可设=m+n,为求实数m,n,需利用向量与共线,向量与共线,建立关于m,n的两个方程.

解析：设=m+n，
则,
∵点A、M、D共线，∴与共线，
∴，∴m+2n=1. ①
而，
∵C、M、B共线，∴与共线，
∴，∴4m+n=1. ②
联立①②解得:m=，n=，∴
练习：1．若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )
A．与— B．3与2 C．＋与— D．与2
B
A
C
P
N
M
答案：D
2．在△ABC中,已知 AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4，BN与CM交于点P,且
,试 用表示.
解：∵ AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4,，
∴ ，，
∵ M、P、C三点共线，故可设，t∈R , 于是，
…… ①
同理可设设，s∈R , ．…②
由①②得 ，
由此解得 ，∴ ．

类型二　平面向量的坐标运算
【例2】►(2011·合肥模拟)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2.求M，N的坐标和.
[审题视点] 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.
解　∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴＝(1,8)，＝(6,3)．
∴＝3＝3(1,8)＝(3,24)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)．
∴得∴M(0,20)．
同理可得N(9,2)，∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．
【训练2】 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析　由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
答案　B
3． 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2=
答案：(-3,-3) 解：-2=（1，1）-2（2，2）=(-3,-3)
4．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, )
∴ ∴P点坐标为(-1, -)

类型三　平面向量共线的坐标运算
【例3】►已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？
[审题视点] 根据共线条件求k，然后判断方向．
解　若存在实数k，则ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
若这两个向量共线，则必有
(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0.
解得k＝－.这时ka＋b＝，
所以ka＋b＝－(a－3b)．
即两个向量恰好方向相反，
故题设的实数k存在．
向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．
【训练3】 (2011·西安质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)．
A. B.
C. D.
解析　设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．
∵(c＋a)∥b，∴－3×(1＋m)＝2×(2＋n)，又c⊥(a＋b)，
∴3m－n＝0，解得m＝－，n＝－.
答案　D
9．已知,当实数取何值时,＋2与2—4平行？
【解析】方法一: ∵ 2—4,∴ 存在唯一实数使＋2=2—4）
将、的坐标代入上式得（—6，2＋4）=14，—4）
得—6=14且2＋4= —4，解得= —1
方法二：同法一有＋2=（2—4）,即（—2＋（2＋4=0
∵与不共线，∴ ∴= —1

一、选择题
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2　　　 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
[答案]　B
[解析]　∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，
∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，不能作为基底．
2．下面给出了三个命题：
①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a＝λ2b；
③平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　命题①两共线向量a与b所在的直线有可能重合；命题③平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示．故①③都不正确．
3．给出下列结论：①若a≠b，则|a＋b|<|a|＋|b|；②非零向量a、b共线，则|a＋b|>0；③对任意向量a、b，|a－b|≥0；④若非零向量a、b共线且反向，则|a－b|>|a|.其中正确的有(　　)个．(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　B
[解析]　①中有一个为零向量时不成立；②中a，b若是相反向量则不成立；③、④正确，故选B.
4．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(x－y)e1＋(2x＋y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于(　　)
A．3 B．－3
C．6 D．－6
[答案]　C
[解析]　∵e1、e2不共线，∴由平面向量基本定理可得，解得.
5．设一直线上三点A，B，P满足＝λ(λ≠±1)，O为平面内任意一点，则用、表示为(　　)
A．＝＋λ B．＝λ＋(1＋λ)
C．＝ D．＝＋
[答案]　C
[解析]　∵＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
∴(1＋λ)＝＋λ，∴＝.
6．(2014·广东文，3)已知向量a＝(1,2)、b＝(3,1)，则b－a＝(　　)
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
[答案]　B
[解析]　∵a＝(1,2)、b＝(3,1)，∴b－a＝(3－1,1－2)＝(2，－1)．
7．若向量＝(2,3)、＝(4,7)，则＝(　　)
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
[答案]　A
[解析]　＝＋＝－＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．
8．(2014·北京文，3)已知向量a＝(2,4)、b＝(－1,1)，则2a－b＝(　　)
A．(5,7) B．(5,9)
C．(3,7) D．(3,9)
[答案]　A
[解析]　2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)
9．已知＝(5，－3)、C(－1,3)、＝2，则点D的坐标是(　　)
A．(11,9) B．(4,0)
C．(9,3) D．(9，－3)
[答案]　D
[解析]　∵＝(5，－3)，∴＝2＝(10，－6)，
设D(x，y)，又C(－1,3)，
∴＝(x＋1，y－3)，
∴，∴.
10．已知△ABC中，点A(－2,3)、点B(－3，－5)，重心M(1，－2)，则点C的坐标为(　　)
A．(－4,8) B．
C．(8，－4) D．(7，－2)
[答案]　C
[解析]　设点C的坐标为(x，y)，
由重心坐标公式，得，
解得.
11．已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　D
[解析]　∵x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，
∴点A位于第四象限．
二、填空题
12．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a、b表示)．
[答案]　－a＋b
[解析]　∵＝3，∴4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，
∴＝(a＋b)－＝－a＋b.
13．已知向量a与b不共线，实数x、y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，则x＝________，y＝________.
[答案]　　
[解析]　∵a、b不共线，∴，解得.
14．若点O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且＝2，＝3，则点A′的坐标为________．点B′的坐标为________，向量的坐标为________．
[答案]　(2,4)　(－3,9)　(－5,5)
[解析]　∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，
∴＝(1,2)，＝(－1,3)，
＝2×(1,2)＝(2,4)，＝3×(－1,3)＝(－3,9)．
∴A′(2,4)，B′(－3,9)，＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．
15．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
[答案]　(－3，－5)
[解析]　＝＝－＝(－1，－1)．∴＝－＝(－3，－5)．
三、解答题
16．如图，已知△ABC中，M、N、P顺次是AB的四等分点，＝e1，＝e2，试用e1、e2表示、、.

[解析]　利用中点的向量表达式得：
＝e1＋e2；＝e1＋e2；
＝e1＋e2.
17．(1)设向量a、b的坐标分别是(－1,2)、(3，－5)，求a＋b，a－b,2a＋3b的坐标；
(2)设向量a、b、c的坐标分别为(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a－b＋c的坐标．
[解析]　(1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．
(2)3a－b＋c＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5)
＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5)
＝(3＋2＋0，－9－4＋5)
＝(5，－8)．

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基础巩固
一、选择题
1．已知a＝(－1,3)、b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于(　　)
A．－3 B．－
C． D．3
[答案]　C
[解析]　由a∥b，得(－1)×(－1)－3x＝0，解得x＝.
2．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三点共线，则y＝(　　)
A．13 B．－13
C．9 D．－9
[答案]　D
[解析]　∵A、B、C共线，∴与共线，
∵＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)＝24，∴y＝－9.
3．向量a＝(3,1)、b＝(1,3)、c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k等于(　　)
A．3 B．－3
C．5 D．－5
[答案]　C
[解析]　a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，由题意得，9－3k＝－6，∴k＝5.
4．设e1、e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)与向量b＝－(e2－2e1)共线，则(　　)
A．λ＝0 B．λ＝－1
C．λ＝－2 D．λ＝－
[答案]　D
[解析]　由共线向量定理，存在t∈R，使a＝tb，
即e1＋λe2＝t(－e2＋2e1)，
∵e1，e2不共线，∴，解得λ＝－.
5．已知向量a＝(3,4)、b＝(cosα，sinα)，且a∥b，则tanα＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
[答案]　B
[解析]　∵a∥b，∴3sinα－4cosα＝0，∴tanα＝.
6．(2014·山东济南商河弘德中学高一月考)若向量b与向量a＝(2,1)平行，且|b|＝2，则b＝(　　)
A．(4,2) B．(－4,2)
C．(6，－3) D．(4,2)或(－4，－2)
[答案]　D
[解析]　设b＝(x，y)，由题意，得，
解得或.
二、填空题
7．设i、j分别为x、y轴方向的单位向量，已知＝2i，＝4i＋2j，＝－2，则点C的坐标为________．
[答案]　(1，－1)
[解析]　由已知＝(2,0)，＝(4,2)，∴＝(2,2)，设C点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y)，
∵＝－2，∴(2,2)＝－2(x－2，y)，
∴，解得.
∴点C的坐标为(1，－1)．
8．设向量a＝(4sinα，3)、b＝(2,3sinα)，且a∥b，则锐角α＝________.
[答案]　
[解析]　由已知，得12sin2α＝6，
∴sinα＝±，∴α为锐角，∴α＝.
三、解答题
9．设向量＝(k,12)、＝(4,5)、＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线．
[解析]　∵＝(k,12)、＝(4,5)、＝(10，k)，
∴＝－＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，
＝－＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．
∵A、B、C三点共线，∴与共线，
∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，
解得k＝11或k＝－2.
能力提升
一、选择题
1．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与b共线，则(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
[答案]　D
[解析]　∵a、b共线，∴存在t∈R，使a＝tb，
∴e1＋λe2＝2te1，
∴(1－2t)e1＋λe2＝0 ①
若e1、e2共线，则一定存在t、λ.使①式成立；
若e1、e2不共线，则.
2．已知平面向量a＝(1,2)、b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
[答案]　C
[解析]　∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，
∴m＝－4.∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
3．已知平面向量a＝(x,1)、b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　　)
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
[答案]　C
[解析]　∵a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，
∴a＋b＝(0，x2＋1)，
∵1＋x2≠0，
∴向量a＋b平行于y轴．
4．已知向量a＝(1,0)、b＝(0,1)、c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
[答案]　D
[解析]　∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，
又a、b不共线，∴，∴.
∴c＝－d，∴c与d反向．
二、填空题
5．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
[答案]　或
[解析]　由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由⇒.
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
6．已知点A(，1)、B(0,0)、C(，0)．设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于________．
[答案]　－3
[解析]　∵AE为∠BAC的平分线，
∴＝＝＝2.
∴＝－2.
∴＝－＝－2－＝－3.
三、解答题
7．平面内给定三个向量a＝(3,2)、b＝(－1,2)、c＝(4,1)，
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析]　(1)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴，解得.
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
∴k＝－.
8．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝，
求证：∥.
[解析]　设E(x1，y1)、F(x2，y2)，依题意有：
＝(2,2)、＝(－2,3)、＝(4，－1)．
因为＝，所以＝.
因为＝，所以＝.
因为(x1＋1，y1)＝，所以E.
因为(x2－3，y2＋1)＝，所以F.
∴＝.
又因为4×－×(－1)＝0，所以∥.
9．已知直角坐标平面上四点A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
[解析]　由已知，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．
又＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，
∴3×(－1)－3×2≠0，
∴与不共线．
∴AB∥CD，AB与AD不平行．
又||＝3，||＝2，
∴||≠||，即AB≠CD.
∴＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝||.
故四边形ABCD是等腰梯形．

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