人教版高数必修四第2讲：任意角的三角函数(教师版).doc

任意角的三角函数_1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题.（一）任意角的三角函数：任意点到原点的距离公式：1.三角函数定义：在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即；（4）比值叫做的余切，记作，即；2.说明：（1）的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置； （2）根据相似三角形的知识，对于确定的角，四个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义； （4）除以上两种情况外，对于确定的值，比值、分别是一个确定的实数。正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。（二） 单位圆与三角函数线：1.三角函数线的定义：当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。2.有向线段：带有方向的线段。坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。3三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（）（）（）（）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。4.说明：（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。5.三角函数在各象限符号：全正正切正余弦正正弦正xyo任意角的三角函数符号的记忆方法：口诀：“全正切余”可音译为“全是天才”（三）同角三角函数的基本关系：1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系： （2）平方关系：2.说明：（1）注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；（2）注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；（3）对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：， ， 等。 类型一：任意角的三角函数例1已知角的终边经过点，求的三个函数制值。解： 练习：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.解：,. 例2求下列各角的三个三角函数值： （1）； （2）； （3） 解：（1）sin0=0 cos0=1 tan0=0 （2） （3）类型二：三角函数的定义与三角函数的符号1.利用三角函数值的符号确定角的终边所在的象限例3 确定下列三角函数值的符号 （1）； （2）； （3）； （4）.导思：直接根据三角函数值的符号法则来确定.解析：（1）因为是第三象限角，故；（2）因为是第四象限角，故；. （3），而是第一象限角，故； （4），而是第四象限角，故.练习：1.点位于第_象限； 2.，的大小关系是_(用“”号连接). 2.利用三角函数的定义求值 例4 已知角终边上一点与轴的距离和与轴的距离之比为:(且均不为零)，求的值.导思：直接根据三角函数的定义进行求解，应注意距离之比是绝对值之比.解析：若角的终边过点，则；若角的终边过点，则；若角的终边过点，则；若角的终边过点，则.点评：若点是角的终边上异于原点的一点，求角的三角函数值只需用定义即可.练习：设角的终边过点，求、和的值.解析：因为，故.当时，则，；当时，则，.点评：任意角的三角函数的定义是通过角的终边上的点的坐标确立的，与点的位置无关，只与角的终边的位置有关.本题中点的位置有两种可能，故的三角函数值有两组.类型三：同角三角函数的基本关系例5. 已知，求、的值【答案】，.【解析】方法一：， ，.方法二：，由图形可以知道：，.【总结升华】利用公式：求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号；三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”.练习：1.已知，求、.【答案】；【解析】， ，.2.已知，求.【答案】.例6.证明【解析】左边右边【总结升华】证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法为（1）从一边开始证得另一边；（2）证明左右两边都等于同一个式子；（3）分析法三角变化中还要注意使用“化弦法”.练习：1.证明【解析】分析法：要证成立，只要证成立只要证成立因为上式是成立的，所以原式成立.例7.已知 ，求下列各式的值：（1） （2）【解析】方法一：由可得，即，（1） 原式.（2） 原式.方法二：由已知得，（1） 原式.（2） 原式.【总结升华】已知的条件下，求关于的齐次式问题，解这类问题必须注意以下几点：1. 一定是关于的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.2. 因为，所以可以用除之，这样可以将被求式化为关于的表达式，可整体代入，从而完成被求式的求值运算.3. 注意的应用.练习：1.已知,则（ ） 【答案】例8已知，且求、的值；【答案】；【解析】方法一：由可得：，即，、是方程的两根，或， ，方法二：由可得：，即，由【总结升华】对于这三个式子，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值，如：；.练习：1.已知，求的值.【答案】【解析】由可得：；于是， 1.(文)(2011绵阳二诊)已知角A同时满足sinA0且tanA0且tanA0可知，cosA0，所以角A的终边一定落在第二象限选B.2.(理)(2012广西田阳高中月考)若sintan0，且0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三角限角 D第四象限角答案C解析根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可由sintan0可知sin，tan异号，从而为第二或第三象限角由cos的角终边在直线yx上方，使tan0的角终边位于第一、三象限，又02，或0)是角终边上一点，则2sincos_.答案解析由条件知x4m，y3m，r5|m|5m，sin，cos，2sincos.7(2011江西文)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上的一点，且sin，则y_.答案8解析|OP|，根据任意角三角函数的定义得，解得y8，又sin0及P(4，y)是角终边上一点，可知为第四象限角，y8.8.(理)如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A（cos，），则cossin_.答案解析由条件知，sin，cos，cossin.9已知角的终边上有一点M(3，m)，且sincos，则m的值为_答案4解析r，依题意sin，cos，.即，解得m4或m，经检验知m不合题意，舍去故m4._基础巩固一、选择题1(2014全国大纲文，2)已知角的终边经过点(4,3)，则cos()ABCD答案D解析考查了三角函数的定义由条件知：x4，y3，则r5，cos.2若sincos0，则在()A第一、二象限B第一、三象限C第一、四象限D第二、四象限答案D解析sincos0，cos0时，在第二象限；当sin0时，在第四象限3已知角的终边经过点P(b,4)，且sin，则b等于()A3B3C3D5答案C解析r|OP|，sin，b3.4设ABC的三个内角为A、B、C，则下列各组数中有意义且均为正值的是()AtanA与cosBBcosB与sinCCsinC与tanADtan与sinC答案D解析0A，00，又0C0，故选D.5点A(sin2 014，cos2 014)在直角坐标平面上位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案C解析2 0145360214，2 014角与214角的终边相同，又214是第三象限角，2 014角是第三象限角，根据三角函数定义知，sin2 0140，cos2 0140，故选C.6已知角的终边上一点P(8m,15m)(m0)，则cos的值是()ABC或D根据m确定答案A解析m0，即需cos、tan同号，是第一或第二象限角三、解答题9求函数y的值域解析要使函数有意义，应有，据三角函数定义应有，xk且xk(kZ)，即角x的终边不能落在坐标轴上当x为第一象限角时，sinx0，cosx0，tanx0，y3；当x为第二象限角时，sinx0，cosx0，tanx0，y1；当x为第三象限角时，sinx0，cosx0，y1；当x为第四象限角时，sinx0，tanx0，y1.综上可知，函数y的值域为1,3能力提升一、选择题1若是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asincos0Btansin0Ccoscot0Dcotcsc0，sin0.故选B.2下列说法正确的是()A正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负的，零角的三角函数值是0B角终边上一点为P(x，y)，则sin的值随y的增大而增大C对任意角，若终边上一点坐标为(x，y)，都有tanD对任意角(，kZ)，都有|tancot|tan|cot|答案D解析tan、cot的符号相同，|tancot|tan|cot|.3已知|cos|cos，|tan|tan，则的终边在()A第二、四象限B第一、三象限C第一、三象限或x轴上D第二、四象限或x轴上答案D解析|cos|cos，cos0，又|tan|tan，tan0，2k2k2，kk，kZ.应选D.4若角的终边在直线y3x上且sin0，又P(m，n)是终边上一点，且|OP|，则mn()A2B2C4D4答案A解析P(m，n)在直线y3x上，且sin0，P位于第三象限，m0，n0.|OP|，m21，m1，n3，mn2.二、填空题5函数ytanxlgsinx的定义域为_答案(2k)(2k，2k)(kZ)解析要使函数有意义，应满足，即2kx2k或2kx0，则实数a的取值范围是_答案(2,3解析cos0，sin0，角的终边在第二象限或在y轴的正半轴上，2a3.a的范围是(2,3三、解答题7求函数f(x)的定义域解析由题意，得，解得0x0时，是第四象限的角，rOP5t.sin，cos，tan；当t0时，是第二象限的角，rOP5t.sin，cos，tan.9已知：cos0，tan0.(1)求角的集合；(2)求角的终边所在的象限；(3)试判断sin、cos、tan的符号解析(1)cos0，角的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上tan0，角的终边可能位于第二或第四象限角的终边只能位于第二象限故角的集合为.(2)2k2k(kZ)，kk(kZ)当k2n(kZ)时，2n2n(nZ)，是第一象限角；当k2n1(nZ)时，2n0，cos0，tan0；当是第三象限角时，sin0，cos0.备选题目：1.（2015福建卷）若，且为第四象限角，则的值等于（ ）A B C D 答案：D2.（2015年1月延庆期末4若角的终边经过点，则ABCD. 答案：C3.（2015年1月昌平期末2）已知角的终边经过点，则（A） （B） （C） （D）答案：D4.（2015年1月西城期末12已知是第二象限的角，且，则答案：5.（2015年1月顺义期末9已知角的终边经过点，则的值为_.答案：6.（2015年1月石景山期末11若，且的终边过点，则 .答案:7.（2015年1月石景山期末12=，则 .答案:38.（2015年1月房山期末12）若角的终边经过点，则 ， 答案:；9.（2015年1月丰台期末12已知点为角的终边与单位圆的交点，则 ；答案:10.（2015年1月丰台期末18）（本小题满分9分）已知为锐角（）若，求的值；解：（）分11.（2015年1月昌平期末18）(本小题共14分)-1-111BAOyx在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，两点的横坐标分别为.（I）写出的值；（只需写出结果）（II）求的值；解:（）；. 2分（）因为， 所以. 4分 所以. 6分19