高中数学必修2知识点和例题讲解.doc

第1讲 第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
¤知识要点：

结 构 特 征

图例
棱柱
（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；
（2）侧棱平行且相等.
圆柱
（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；
（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.

棱锥
（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；
（2）各侧面有一个公共顶点.
圆锥
（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.

棱台
（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.
圆台
（1）两底面相互平行；
（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.

球
（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.

1.下列说法错误的是（ ）
A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 答案：D
2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为___________ cm. 答案：12
3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是___________.
答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥
第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征
¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 选D.
【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为，求球的半径.
解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R+r，梯形的高即球的直径为，
所以，球的半径为.
第3讲 §1.2.2 空间几何体的三视图
¤例题精讲：【例1】画出下列各几何体的三视图：

解：
【例2】画出下列三视图所表示的几何体.

解：

【例3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm），所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.
解

第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图
¤知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴夹角为.(2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.
¤知识要点：

表面积相关公式

表面积相关公式
棱柱

圆柱
（r：底面半径，h：高）
棱锥

圆锥
（r：底面半径，l：母线长）
棱台

圆台

（r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长）
¤例题精讲：
【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：
【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.
解：.
第6讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积
¤知识要点：1. 体积公式：

体积公式

体积公式
棱柱

圆柱

棱锥

圆锥

棱台

圆台

2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：
.
¤例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .解：设长方体的长宽高分别为，则，三式相乘得.所以，长方体的体积为6.
【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.
解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为.
在中，, 所以, 于是.依题意函数的定义域为.
【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为　 　　.
解：容器中水的体积为.流出水的体积为，如图，.设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则，解得.
第7讲 §1.3.2球的体积和表面积
¤知识要点：1. 表面积： （R：球的半径）. 2. 体积：.
¤例题精讲：【例2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.
解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，，，又∵，∴，∴，∴，∴.
【例3】设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）. A． B． C． D．
【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上.∵ AB=BC=CD=DA=3， ∴ 四边形为正方形. ∴ 小圆半径.
由得，解得.∴ 球的体积. 所以选A.
第8讲 §2.1.1 平面
¤知识要点：
1. 点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作.
2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：

公理1
公理2
公理3
图形语言

文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言

3.公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
¤例题精讲：
【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？
【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.
解：∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC. 同理P面ADC.∵ P在面ABC与面ADC的交线上，又 ∵面ABC∩面ADC=AC， ∴PAC，即EF、HG、AC三线共点.
【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.
已知：直线两两相交，交点分别为，求证：直线共面.
证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α． 因为A∈α，B∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α.所以AB，BC，CA三直线共面．
【例4】在正方体中，
（1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？
（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.
解：（1）在正方体中，∵， ∴由公理2的推论可知，与可确定平面，∴与在同一平面内.
（2）∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面，∴ 点在同一平面内.
（3）∵，， ∴点平面，平面，又平面，平面， ∴ 平面平面，同理平面平面．
第9讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
¤知识要点：
1.空间两条直线的位置关系：
2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.
¤例题精讲：【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（ ）.
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
解：过P作∥a，∥b，若P∈a，则取a为，若P∈b，则取b为．这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°. 记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°的直线． 过点P与，都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.
【例2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.
证明：（1）∵ 正方体中，，∴. 又 ∵ 中，E、F为中点， ∴ . ∴ , 即D、B、F、E四点共面.（2）∵ ，，，， ∴ .又 ， ∴ ，， ∴ . 即P、Q、R三点共线
【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.
证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得.
又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.
假设，则, 在平面内过点C作，
因为b//c，则，此与矛盾. 故直线.
综上述，a、b、c、d四线共面.
【例4】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.
解：（1）如图，连结DC1 ， ∵DC1∥AB1，∴ DC1 和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵ ∠CC1D=45°， ∴ AB1 和CC1所成的角是45°.（2）如图，连结DA1、A1C1， ∵ EF∥A1D，AB1∥DC1，∴ ∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角. ∵ΔA1DC1是等边三角形， ∴ ∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.
第10讲 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系
¤知识要点：1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：；；.
2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；.
¤例题精讲：【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.
解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2， ∴PM=PN=1.而AN=DN=，由MN⊥AD，AM=1，得MN=，
∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°.∴异面直线AB、CD成90°角.
【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.
解：四边形EFGH是平行四边形，
=2=.
A
B
C
D
E
F
G
H
【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点.
证明：（1） 在△ABD和△CBD中，∵ E、H分别是AB和CD的中点， ∴ EHBD.
又 ∵ ， ∴ FGBD. ∴ EH∥FG. 所以，E、F、G、H四点共面.
第11讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定
¤知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.
2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：. 图形如右图所示.
¤例题精讲：
【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC
证明：设PC的中点为G，连接EG、FG.∵ F为PD中点， ∴ GF∥CD且GF=CD.
∵ AB∥CD， AB=CD， E为AB中点，
∴ GF∥AE， GF=AE， 四边形AEGF为平行四边形.
∴ EG∥AF，
又∵ AF平面PEC， EG平面PEC， ∴ AF∥平面PEC.
【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF∥平面BB1D1D.
证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC， OE=DC.
∵ DC∥D1C1， DC=D1C1 ， F为D1C1的中点，
A
B
C
D
E
F
G
M
O

∴ OE∥D1F， OE=D1F， 四边形D1FEO为平行四边形. ∴ EF∥D1O.
又∵ EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， ∴ EF∥平面BB1D1D.
【例3】如图，已知、、、分别是四面体

的棱、、、的中点，求证：∥平
面.
证明：如右图，连结，交于点，连结，
在中，、分别是、中点， ∴，
∵为中点， ∴为中点，
在中，∵、为、中点， ∴，
又∵平面，平面， ∴∥平面.
点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.
【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：MN//平面PAD；（2）若，，求异面直线PA与MN所成的角的大小.
解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点， ∴ NH. 由M是AB的中点， ∴ NHAM， 即AMNH为平行四边形. ∴ .
由， ∴ .
（2） 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，∴ OMBC，ONPA， 所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MO⊥NO. 由，, 得OM=2，ON=所以，即异面直线PA与MN成30°的角
点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.
第12讲 §2.2.2 平面与平面平行的判定
¤知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：.
¤例题精讲：【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.
A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F

证明：连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴ PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD. 又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD. 又PN∩MN=N， ∴平面PMN∥平面A1BD.
【例2】正方体ABCD—A1B1C1D1中．（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BD Ë平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
（2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．
N
M
P
D
C
Q
B
A
∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. ∴ MQ//AD，NQ//BP，
而BP平面PBC，NQ 平面PBC, ∴ NQ//平面PBC.
又ABCD为平行四边形，BC//AD， ∴ MQ//BC，
而BC平面PBC，MQ 平面PBC, ∴ MQ//平面PBC.
由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， ∴ 平面MNQ∥平面PBC.
点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.
第13讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质
β

¤知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
即：.
¤例题精讲：
【例1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B
证明：∵ ，
∴ .
又 ，
∴ .
则.
【例2】如图，，，，，求证：.
A

B
C
D
β
证明：连结，
∵，
∴直线和可以确定一个平面，记为，
∵，，∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴ 四边形为平行四边形， ∴.
第14讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质
¤知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：.2. 其它性质：①； ②；③夹在平行平面间的平行线段相等.
¤例题精讲：【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α.
证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，
则ME∥AC，∴ ME∥平面α，又 NE∥BD， ∴ NE∥β，
又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α，∵ MN平面MEN，∴MN∥α.
【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．
证明：∵ A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，
∴A，B，C，D四点共面．
又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，
∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．
∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．
∴AB∥CD．同理AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形．
第15讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定
¤知识要点：1. 定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作. －平面的垂线，－直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）
2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì，则⊥
3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.
¤例题精讲：【例1】四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面.
证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴，.
又∴，∴在中，，∴，∴，又，即，，∴平面.
【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO.由已知正方体，易知平面，所以为所求.在中，，，.
所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.
【例3】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.
证明：连接OA、OB、OC，∵ 平面ABC， ∴ .
又 ∵ ，
∴ ，得,
∴ O为底面△ABC的垂心.
点评：此例可以变式为“已知，求证”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.
第16讲 §2.3.2 平面与平面垂直的判定
¤知识要点：
1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）
2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 范围：.
3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.
4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）
¤例题精讲：【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.
（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF.
证明：（1）如右图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，
∴ PA⊥平面PEF. ∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.
（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.
又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.
【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面.
证明：为AC中点，所以.
同理可证 ∴ 面BGD.
又易知EF//AC，则面BGD.
又因为面BEF，所以平面平面.
第17讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质
¤知识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行）2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，，，，则.（面面垂直线面垂直）
¤例题精讲：
A
C

α
B
a
【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？
解：

注：若BC与a垂直，同理可得AB与a也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： “线线垂直→线面垂直→线线垂直”.
【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.
解：（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径， ∴BC⊥AC.
又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC.
∵ BC 平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC.
（2）平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD.
第18讲 第3章 §3.1.1 倾斜角与斜率
¤知识要点：1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角的范围是.
2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.
注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.
¤例题精讲：
【例2】已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值.
解： ∵ ， ∴，解得 或. 但当时，A、B重合，舍去． ∴．
【例3】已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．
解: ， . ∵ A、B、C三点在一条直线上， ∴ ， 即， 解得或.
第19讲 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
¤知识要点：1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有：
（1）Û；（2）Û.
2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；….
¤例题精讲：
【例1】四边形ABCD的顶点为、、、，试判断四边形ABCD的形状.
解：AB边所在直线的斜率，CD边所在直线的斜率,
BC边所在直线的斜率，DA边所在直线的斜率,
∵ ， ∴ AB//CD，BC//DA，即四边形ABCD为平行四边形.又 ∵ ，∴ AB⊥BC，即四边形ABCD为矩形.
【例2】已知的顶点，其垂心为，求顶点的坐标．
解：设顶点A的坐标为．
∵ ，∴ ， 即 ，化简为，解之得：. ∴　A的坐标为.
【例3】（1）已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？
（2）的倾斜角为45°，经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问与是否垂直？
点评：当与的斜率存在时，，. 斜率不存在时，进行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.
第20讲 §3.2.1 直线的点斜式方程
¤知识要点：
1. 点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.
2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或.
4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.
¤例题精讲：
【例1】写出下列点斜式直线方程： （1）经过点，斜率是4；　（2）经过点，倾斜角是.
【例2】已知直线.（1）求直线恒经过的定点；（2）当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.
解：（1）由，易知时，，所以直线恒经过的定点.（2）由题意得，解得.
【例3】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.
解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，∴k==－2. 故所求直线方程为y－6=－2（x+2）， 即2x+y－2=0.
点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.
【例4】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程．
解：由已知得与两坐标轴不垂直．
∵直线经过点，∴ 可设直线的方程为，即.则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.根据题意得，即.
当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，此方程无实数解.
故直线的方程为，或.即或.
点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.
第21讲 §3.2.2 直线的两点式方程
¤知识要点：
1. 两点式：直线经过两点，其方程为，
2. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.
3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.
4. 线段中点坐标公式.
¤例题精讲：
【例1】已知△顶点为，求过点且将△面积平分的直线方程.
解：求出中点的坐标，则直线即为所求，
由直线方程的两点式得，即.
【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程
解：设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如右图所示. 根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A、B、C、D在坐标轴上，且A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称.
所以A(－４，0)，C（４，0），B（0，3），D（0，－3）.
由截距式，得
直线AB的方程：＝1，即3x－４y＋12＝0；直线BC的方程：＝1, 即3x＋４y－12＝0；
直线AD方程：＝1, 即3 x＋４y＋12＝0；直线CD方程：＝1即3 x－４y－12＝0.
第22讲 §3.2.3 直线的一般式方程
¤知识要点：
1. 一般式：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.
2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.
经过点，且平行于直线l的直线方程是；
经过点，且垂直于直线l的直线方程是.
3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
（1）； （2）；
（3）与重合； （4）与相交.
如果时，则；与重合；与相交.
¤例题精讲：
【例1】已知直线：，：，问m为何值时：（1）；（2）.
解：（1）时，，则，解得m＝0.（2）时，, 解得m＝1.
【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.
解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式.
（2） 由题意得所求垂直直线方程，化为一般式.
【例3】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．
分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程.
解：直线l:3x+4y－12=0的斜率为，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为，
又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即.
点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.
第23讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标
¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.
2. 方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.
¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l1: , l2: .
解：解方程组，消y得 .
当时，方程组无解，所以两直线无公共点，//.
当时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l1与l2重合.
当且，方程组有惟一解，得到，， l1与l2相交.
∴当时，//；当时，l1与l2重合；当且，l1与l2相交，交点是.
【例2】求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程.
解：设所求直线的方程为，整理为.
∵ 平行于直线， ∴ ，解得.则所求直线方程为.
第24讲 §3.3.2 两点间的距离
¤知识要点：1. 平面内两点，，则两点间的距离为：.
特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，.
2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.
¤例题精讲：
【例1】在直线上求一点，使它到点的距离为５，并求直线的方程.
解：∵ 点在直线上，∴ 可设，根据两点的距离公式得　,解得，∴．　∴ 直线PM的方程为，即.
【例2】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.
解：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点. 设, 则
，解得， 所以线段.
【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）.
解：以O为坐标原点，BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示坐标系xOy.
y
x
B(-c,0)
A(a,b)
C(c,0)
O
设点A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0),
由两点间距离公式得：
|AB|=，|AC|=，
|AO|=， |OC|=c.
∴ |AB|＋|AC|=， |AO|＋|OC|=.
∴ |AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）.
第25讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离
¤知识要点：1. 点到直线的距离公式为.
2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为.
¤例题精讲：
【例1】求过直线和的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.
解：设所求直线l的方程为, 整理得.
由点到直线的距离公式可知，, 解得.
代入所设，得到直线l的方程为.
【例2】在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离.
解：直线方程化为. 设, 则点P到直线的距离为
.当时，点到直线的距离最短，最短距离为.
【例3】求证直线L：与点的距离不等于3.
解：由点线距离公式，得=.假设，得到，整理得.∵ ， ∴ 无实根.∴ ，即直线L与点的距离不等于3.
点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距