初一奥数题——有理数的运算技巧简便计算.doc

有理数的运算技巧
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有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。只要认真分析和研究题目的内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。
下面介绍几种运算技巧。
一. 巧用运算律
例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题）
求和
分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。
解：原式

二. 巧用倒序法
例2. 计算
解：设，把等式右边倒序排列，得

将两式相加，得

即，所以
所以原式＝4005
三. 巧用拆项法
例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）
计算________
分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为，，而
同理，
那么本题就不难解决了。
解：原式

说明：形如的分数，可以拆成的形式。
四. 巧用反序相加减的方法
例4. （第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）
计算_____
分析：把括号中的各项倒序排列后，再与原式相加，把分数相加变为整数相加，运算变得简单易行。
解：设
又
两式相加得
又
上面两式相加得
故S＝612.5
五. 巧用缩放法
例5. 求的整数部分。
分析：直接进行计算较繁，若想到利用缩、放的方法，可快速估算出值的范围。缩放法是“求整数部分”以及相关题型的常用方法。
解：原式
原式
即1<原式<1.9，所以所求整数部分是1。

六. 巧用整体换元法
例6. （广西2005年初一数学竞赛决赛题）
计算
分析：本题目从结构上看相当繁琐，因此要选择恰当的方法进行计算。不妨巧用整体换元法，那么本题就不难解决了，计算就简便了。
解：令
则原式

七. 巧用倒数法
例7. 计算
分析：因为与互为倒数，而比较容易计算，故此题只需先计算出后部分的结果即可。
解：因为

所以原式
八. 巧用添项法
例8. 计算
分析：观察算式的特征，发现将算式添上9，8，7，6，5的和，利用加法结合律可以使运算简便快捷。
解：原式

九. 巧用配对的方法
例9. （第六届“华罗庚杯”数学竞赛复赛试题）
与相比较，哪个更大？为什么？
解：设
构造对偶式

那么
而A<B，所以
即

十. 巧用凑整法
例10. 计算：
分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。
解：原式

参考答案：
1. 11 2. 3. －32 4. 5. 6. 2004 7. 24552 8. 1005507.5 9. －12.8 10.
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