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目录
必修5知识点总结 - 2 -
含参不等式 - 9 -
一元二次不等式 - 12 -
均值不等式 - 16 -
整式不等式（高次不等式） - 23 -
分式不等式 - 24 -
绝对值不等式 - 25 -
不等式关系 - 27 -
线性归纳 - 27 -

必修5知识点总结
1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
2、正弦定理的变形公式：①，，；
②，，；③；
④．
（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）
如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想
D
bsinA
A
b
a
C
画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：
当a<bsinA，则B无解
当bsinA<a≤b,则B有两解
当a=bsinA或a>b时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：．
4、余弦定理：在中，有，，
．
5、余弦定理的推论：，，．
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状：设、、是的角、、的对边，则：①若，则；
C
A
B
D
②若，则；③若，则．
正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,
但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，
并测得∠ACB=75O, ∠BCD=45O, ∠ADC=30O,
∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。
本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）．
12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1<an）．
13、常数列：各项相等的数列（即：an+1=an）．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．
17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：
① ②2() ③(为常数
18、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．
19、若等差数列的首项是，公差是，则．
20、通项公式的变形：①；②；③；
④；⑤．
21、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．
22、等差数列的前项和的公式：①；②．③
23、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．
②若项数为，则，且，（其中，）．
24、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
① ②(，)
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
25、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．（注：由不能得出，，成等比，由，，）
26、若等比数列的首项是，公比是，则．
27、通项公式的变形：①；②；③；④．
28、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．
29、等比数列的前项和的公式：①．②
30、对任意的数列{}的前项和与通项的关系：
[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{}前n项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
附：几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.
数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：
数列
通项公式
对应函数
等差数列

（时为一次函数）
等比数列

（指数型函数）

数列
前n项和公式
对应函数
等差数列

（时为二次函数）
等比数列

（指数型函数）
我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
例题：1、等差数列中，，则 .
分析：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，
一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，
所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上）
例题：2、等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大？分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，，则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，最大。
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
例题：已知数列{an}的通项为an=,求这个数列的前n项和Sn.
解：观察后发现：an=
∴
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
例题：已知数列{an}的通项公式为，求这个数列的前n项之和。
解：由题设得：

=
即
= ①
把①式两边同乘2后得
= ②
用①-②，即：
= ①
= ②
得

∴
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) = 3）
4） 5）
6）

含参不等式
一、判别式法：
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有
1）对恒成立；
2）对恒成立 。
例1．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，
即有解得。
所以实数的取值范围为。
若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：设，则当时，恒成立
当时，显然成立；
O
x
yx
-1
当时，如图，恒成立的充要条件为：
解得。
综上可得实数的取值范围为。
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）恒成立
2）恒成立
例3．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：设，则由题可知对任意恒成立
令，得
而
∴，∴即实数的取值范围为。
例4．已知函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。
解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，
考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得
而抛物线在的最小值得
注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）恒成立
2）恒成立
实际上，上题就可利用此法解决。略解：在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。
例5．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。
解： 将问题转化为对恒成立，令，则
由可知在上为减函数，故
∴即的取值范围为。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例6．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。
解：令，则原问题转化为恒成立（）。
当时，可得，不合题意。
当时，应有解之得。
故的取值范围为。
注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。
五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）函数图象恒在函数图象上方；
2）函数图象恒在函数图象下上方。
例7．设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围.
x
-2
-4
y
O
-4
解：在同一直角坐标系中作出及 的图象 如图所示，
的图象是半圆
的图象是平行的直线系。
要使恒成立，
则圆心到直线的距离
满足 ，解得（舍去)
由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。
一元二次不等式
一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根<，
ⅱ.=0时，求根＝＝，
ⅲ.<0时，方程无解，
③ 写出解集.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：
设ax2+bx+c=0的两根为，f(x)=ax2+bx+c,那么：
对称轴x=
y
o

x
①若两根都大于0，即，则有

对称轴x=

o
x
y
②若两根都小于0，即，则有

o
y
x

③若两根有一根小于0一根大于0，即，则有

X=
n
x

m
o
y
④若两根在两实数m,n之间，即，
则有
X=
y
o
m

t

n
x
⑤若两个根在三个实数之间，即，
则有

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
例如：若方程有两个正实数根，求的取值范围。
解：由①型得
所以方程有两个正实数根时，。
又如：方程的一根大于1，另一根小于1，求的范围。
解：因为有两个不同的根，所以由

训练：二次方程的两根为，，且，那么
的解集为（ C ）.
（A） （B）（C） （D）
练习：
1.下列不等式：①；②；③；④；
⑤；⑥.其中是一元二次不等式的有（ C ）个.
（A） （B） （C） （D）
2.不等式的解集为（ C ）.
(A) (B) （C） （D）
3.已知，则的取值范围是（ C ）.
(A) (B)R （C） （D）
4.已知二次不等式的解集为，则的值为（ D ）.
（A）（B）（C） （D）
5.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ B ）.
(A) (B) （C） （D）
6．若集合，则.
7.函数的定义域是.
8.方程有两不等个实根，则实数的取值范围是 .
9.不等式的解集是，试确定的值.
【小可爱老师说】注意“三”个二次之间的关系.
解：由解集的形式和韦达定理可知
.
【小可爱老师说】注意一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系.
10.求函数的定义域.
【小可爱老师说】以解析式给出的函数的定义域，是使解析式有意义的的集合.
解：由函数的解析式有意义，
得即
所以函数的定义域为.
【小可爱老师说】求定义域的实质就是解不等式组.
练习
1.若关于的不等式，则实数的取值范围是 .
2.在R上定义运算若不等式对任意实数均成立，则（ C ）.
（A） （B）
（C） （D）

均值不等式
设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数
1. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）
(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
3.若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
4.若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
5.若，则（当且仅当时取“=”）

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
均值不等式定理： 若，，则，即．
极值定理：设、都为正数，则有：
⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．
例：已知，求函数的最大值。
解：∵，∴，由原式可以化为：
当，即时取到“=”号也就是说当时有
应用一：求最值

例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
解：(1)y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）
(2)当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；
当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧
技巧一：凑项
例 已知，求函数的最大值。
解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，
，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1. 当时，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设，求函数的最大值。
解：∵∴∴
当且仅当即时等号成立。
技巧三： 分离
例3. 求的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。
例：求函数的值域。
解：令，则
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
所以，所求函数的值域为。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1） （2） (3)
2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.
条件求最值
1.若实数满足，则的最小值是 .
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解： 都是正数，≥
当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．
变式：若，求的最小值.并求x,y的值
技巧六：整体代换
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
2：已知，且，求的最小值。
错解：，且， 故 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：，
当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。
变式： （1）若且，求的最小值
(2)已知且，求的最小值
技巧七
已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。
同时还应化简中y2前面的系数为 ， x＝x ＝x·
下面将x，分别看成两个因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x ≤
技巧八：
已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a＝， ab＝·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2
令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
∴≤3，ab≤18，∴y≥
点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.
变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方
5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单
＋ ≤＝＝2
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20
∴ W≤＝2
变式: 求函数的最大值。
解析：注意到与的和为定值。

又，所以
当且仅当=，即时取等号。 故。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
应用二：利用均值不等式证明不等式
1．已知为两两不相等的实数，求证：
1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例6：已知a、b、c，且。求证：
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。
解：a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。当且仅当时取等号。
应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。
解：令，
。 ，
应用四：均值定理在比较大小中的应用：
例：若，则的大小关系是 .
分析：∵ ∴
（
∴R>Q>P。

整式不等式（高次不等式）
穿根法（零点分段法）
求解不等式：
解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)
②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；
③由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
+
——
+
+
——
X
X1
X2
X3
Xn-2
Xn-1
Xn
+

+

+
-2
1
4
x

（自右向左正负相间）
例题：求不等式的解集。
解：将原不等式因式分解为：
由方程：解得
将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图
由图可看出不等式的解集为：
例题：求解不等式的解集。

分式不等式

绝对值不等式

含绝对值不等式的解法：
基本形式：
①型如：|x|＜a (a＞0) 的不等式 的解集为：
②型如：|x|＞a (a＞0) 的不等式 的解集为：
变型：
解得。其中-c<ax+b<c等价于不等式组 在解-c<ax+b<c得注意a的符号
型的不等式的解法可以由来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解.
④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
例题：求解不等式
例题：求解不等式：
3
2
x
解：零点分类讨论法：
分别令
解得：
在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图
①当时，（去绝对值符号）原不等式化为：

②当时，（去绝对值符号）原不等式化为：

③当时，（去绝对值符号）原不等式化为：

5
=10
y

o
2
x
由①②③得原不等式的解集为：（注：是把①②③的解集并在一起）
函数图像法：
令
则有：
在直角坐标系中作出此分段函数及的图像如图
由图像可知原不等式的解集为：
不等式关系
；；．
不等式的性质： ①；②；③；
④，；⑤；
⑥；⑦；
⑧．

线性归纳
1、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．
①若，，则点在直线的上方．
②若，，则点在直线的下方．
2、在平面直角坐标系中，已知直线．
（一）由B确定：
①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．
②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．
（二）由A的符号来确定：
先把x的系数A化为正后，看不等号方向：
①若是“>”号，则所表示的区域为直线l: 的右边部分。
②若是“<”号，则所表示的区域为直线l: 的左边部分。
（三）确定不等式组所表示区域的步骤：
①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测：由上面（一）（二）来确定
③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
例题：画出不等式组所表示的平面区域。
解：略
3、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．
线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

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