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高中数学《必修四》导学案
班级________ 姓名___________
第一章 三角函数
1.1.1 任意角
【学习目标】
1、 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念
2、 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示
【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角
【自主学习】
一、复习引入
问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？
______________________________________________________
所学的角的范围是什么？
______________________________________________________
问题2：在体操、跳水中，有“转体”这样的动作名词，这里的“”，怎么刻画？
______________________________________________________
二、建构数学
1．角的概念
角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。
2．角的分类
按__________方向旋转形成的角叫做正角，
按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。
3. 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_________ ，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。
4．象限角、轴线角的概念
我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。
象限角的集合
（1）第一象限角的集合：_______________________________________
（2）第二象限角的集合：_______________________________________
（3）第三象限角的集合：_______________________________________
（4）第四象限角的集合：_______________________________________
轴线角的集合
（1）终边在轴正半轴的角的集合：_______________________________________
（2）终边在轴负半轴的角的集合：_______________________________________
（3）终边在轴正半轴的角的集合：_______________________________________
（4）终边在轴负半轴的角的集合：_______________________________________
（5）终边在轴上的角的集合：_______________________________________
（6）终边在轴上的角的集合：_______________________________________
（7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________
三、课前练习
在同一直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。

【典型例题】
例1 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？

（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

例2 在的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。
（1） （2） （3） （4）

例3 已知角的终边相同，判断是第几象限角。

例4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。

例5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）

（1） 　　 （2） 　　 （3）

【拓展延伸】
已知角是第二象限角，试判断为第几象限角？

【巩固练习】
1、设，则与角终边相同的角的集合可以表示为__________________ _.
2、把下列各角化成的形式，并指出它们是第几象限的角。
（1） （2） （3） （4）

3、终边在轴上的角的集合_______________，终边在直线上的角的集合
________________，终边在四个象限角平分线上的角的集合_____________________ .
4、 终边在角终边的反向延长线上的角的集合___________________________.
5、 若角的终边与角的终边关于原点对称，则
若角的终边关于直线对称，且，则
6、 集合，
，则______________________________
7、 若是第一象限角，则的终边在______________________________ _
8、（1）与终边相同的最小正角是________;
（2）与终边相同的最大负角是___________;
（3）与终边相同且绝对值最小的角是__________;
（4）与终边相同且绝对值最小的角是___________.
9、与终边相同的在之间的角为_______________________.
10、已知角的终边相同，则的终边在___________________________.
11、若是第四象限角，则是第_____象限角；是第____ 象限角。
12、若集合，
集合，
则
13、已知集合，，.
（1），（2），（3），（4）
其中正确的是_______ _.
14、角小于而大于，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角。

15、已知与角的终边相同，分别判断是第几象限角。

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班级________ 姓名___________
1.1.2 弧度制
【学习目标】
1、 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数
2、 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题
3、 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系
【学习重点、难点】
弧度的概念，弧度与角度换算
【自主学习】
一、复习引入
请同学们回忆一下初中所学的的角是如何定义的？

二、建构数学
1．度量角还可以用_______为单位进行度量，___________________________________
叫做1弧度的角，用符号_____表示，读作________。
2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____
如果半径为的圆心角所对的弧的长为，那么，角的弧度数的绝对值是____________
这里，的正负由___________________________决定。
3．角度制与弧度制相互换算
360°＝_________rad 180°＝_________rad
1°＝_________rad 1 rad＝_________°≈ _________°
4．角的概念推广后,在弧度制下, ________________与______________之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即______________ _)与它对应;反过来,每一个实数也
都有________________(即_______________ )与它对应。
5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：
角的弧度数的绝对值______________ （为弧长，为半径）
弧长公式：____________________________
扇形面积公式：____________________________
【典型例题】
例1．把下列各角从弧度化为度.
（1） （2） （3） （4） （5）

例2．把下列各角度化为弧度。
（1） （2） （3） （4） （5）

例3．（1）已知扇形的周长为，圆心角为，求该扇形的面积。

（2）已知扇形周长为，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。

变式：已知一扇形周长为（），当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？
并求出最大面积。

【巩固练习】
1、特殊角的度数与弧度数的对应：
度 数

弧度数

2、若角，则角的终边在第____象限；若，则角的终边在第___ 象限.
3、圆的半径为，则rad的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________.
4、将下列各角化成，的形式，并指出终边所在位置.
（1） （2） （3） （4）

5、用弧度制表示下列角终边的集合.
（1）轴线角

（2）角平分线上的角

（3）直线上的角

6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____ .
7、已知角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角为

8、若角和角的终边关于轴对称，则角可以用角表示为（ ）
A. B.
C. D.
9、若，且角的终边与角的终边垂直，则_________________
10、已知集合，，求

11、已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？

12、已知扇形的圆心角为，半径长为,求
（1）弧的长
（2）弧与弦围成的弓形的面积.

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1.2.1任意角的三角函数（1）
【学习目标】
1、 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义
2、 会用三角函数线表示任意角三角函数的值
3、 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号
【学习重点、难点】
任意角的正弦、余弦、正切的定义
【自主学习】
一、复习旧知，导入新课
在初中，我们已经学过锐角三角函数：

角的范围已经推广，那么对任意角是否也能定义其三角函数呢？
二、建构数学
1.在平面直角坐标系中，设点是角终边上任意一点，坐标为,它与原点的距离，一般地，我们规定：
⑴比值___________叫做的正弦,记作___________,即___________=___________；
⑵比值___________叫做的余弦,记作___________,即___________=___________；
⑶比值___________叫做的正切,记作___________,即___________=___________.
2.当=___________________时, 的终边在轴上，这时点的横坐标等于_________,
所以_____________无意义。除此之外，对于确定的角，上面三个值都是______________.
所以正弦、余弦、正切都是以_______为自变量，以________________________________
为函数值的函数,我们将它们统称为_________________.
3.由于_____________与____________之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是
自变量为_________的函数.
4.其中和的定义域是__________；
而的定义域是__________________ .
5.根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号:

sin cos tan
6. 单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以_______为圆心，以_______ 为半径的圆。
7．有向线段的概念：
规定了___________ （即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。
8．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，

过点作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与的终边
（当为第_______象限角时）或其反向延长线（当为第______象限角时）相交于
点，根据三角函数的定义：_____；_____；____.
【典型例题】
例1．已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切的值.

变式题：已知角的终边经过点，且，求的值.

例2．已知角的终边在直线上，求的正弦、余弦、正切的值

例3．确定下列三角函数值的符号：
（1） （2）

（3） （4）

例4．若两内角、满足，判断三角形的形状。

例5．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

例6．利用三角函数线比较大小
______ ______
_____ ______
例7．利用三角函数线求解下列三角方程（或三角不等式）

【巩固练习】
1、已知角α的终边过点P（－1,2），cos的值为
2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（ ）
A．sin B．cos C．tan D．
3、填表：
a
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度

4、已知角的终边过点P（4a,－3a）（a<0），求2sin＋cos 的值.

5、若点P(－3，ｙ)是角终边上一点，且，求ｙ的值.

6、是第二象限角，P（x, ） 为其终边上一点，且cos=x，求sin的值.

7、若，则比较、、的大小；

8、利用三角函数线解不等式

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1.2.2同角三角函数的基本关系（1）
【学习目标】
1、 掌握同角三角函数的两个基本关系式
2、 能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值
3、 对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角”，学会运用整体观点看待角
4、 结合三角函数值的符号问题，求三角函数值
【重点难点】同角三角函数的两个基本关系式和应用
【自主学习】
一、数学建构：
同角三角函数的两个基本关系式：_______________________________________;

_______________________________________.

二、课前预习：
1、，则的值等于

2、化简：

【典型例题】
例1、已知，并且是第二象限角，求的值

变式：已知，求的值

例2、已知，求的值．

解题回顾与反思：
通过以上两个例题，你能简单归纳一下对于和的“知一求二”问题的解题方法吗？

例3、化简
（1）． （2）．

（3）（是第二象限角） （4）

【巩固练习】
1、已知，求和的值

2、化简sin2＋sin2β－sin2sin2β＋cos2cos2β= ．

3、若为二象限角，且，那么是第几象限角。

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1.2.2同角三角函数的基本关系（2）
【学习目标】
1、 能用同角三角函数关系解决简单的计算、化简与证明
2、 掌握“知一求二”的问题
【重点难点】
奇次式的处理方法和“知一求二”的问题
【自主学习】
一、复习回顾：
1、 同角三角函数的两个基本关系式：

2、 有何关系？（用等式表示）

二、课前练习
1、已知则_________________________
2、若，则 ； ．
【典型例题】
例1、 已知求下列各式的值
（1） （2） （3）

例2、求证：（1） （2）

例3、已知，求的值

例4、若
（1）求k的值； （2）求的值

【巩固练习】
1、已知sinαcosα =,则cosα－sinα的值等于

2、已知是第三象限角，且，则

3、如果角满足,那么的值是

4、若是方程的两根，则的值为

5、求证：

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1.3 三角函数的诱导公式（1）
【学习目标】
1、 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式
2、 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值
3、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程
4、 准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值
口诀：函数名不变，符号看象限
【重点难点】诱导公式的推导与运用
【自主学习】
1、 利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值：为角的终边与单位圆的交点，则
2、 诱导公式
由三角函数定义可以知道：
(1) 终边相同的角的同一三角函数值相等。
公式一（）：__________________________________________;
__________________________________________;
__________________________________________.
(2) 当角的终边与角的终边关于原点对称时，与的关系为：_____________
公式二（ ）：__________________________________________;
__________________________________________;
__________________________________________.
(3) 当角的终边与角的终边关于x轴对称时，与的关系为：_____________
公式三（ ）：__________________________________________;
__________________________________________;
__________________________________________.
(4) 当角的终边与角的终边关于y轴对称时，与的关系为：_____________
公式四（ ）：__________________________________________;
__________________________________________;
__________________________________________.
思考：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？
【典型例题】
例1、求下列三角函数值：
（1）； （2）； （3）．

例2、化简：（1） （2）

（3）

例3、在中，若 试判断的形状.

【巩固练习】
1、 求下列各式的的值
（1） （2） （3）

2、若求的值.

3、化简：

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1.3 三角函数的诱导公式（2）
【学习目标】
1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值
2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程
3、 进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。
口诀：奇变偶不变，符号看象限
【重点难点】诱导公式的推导和应用
【自主学习】
1、复习四组诱导公式：函数名不变，符号看象限

2、已知：求的值

2、 若角的终边与角的终边关于直线y=x对称（如图），
a) 角与角的正弦函数与余弦函数值之间有何关系？
b) 角与角有何关系？
c) 由（1），（2）你能发现什么结论？

当角的终边与角的终边关于y=x对称时，与的关系为：_________________
公式五（ ）：__________________________________________;

__________________________________________.
由于，由公式四及公式五可得：
公式六（ ）：__________________________________________;

__________________________________________.
综合所学六组公式可以用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来帮助记忆，如何理解这一口诀？

【典型例题】
例1、求证：，．

例2、化简：（1）

（2）

例3、已知，且，求．

【巩固练习】
1、
2、若则
3、化简：（1） （2）

4、已知，求的值．

5、求值：．

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1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
【学习目标】
1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的
图象；
2、会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图；
3、借助图象理解并运用正、余弦函数的定义域和值域。
【重点难点】五点法作正、余弦函数的图象；正、余弦函数的定义域和值域。
【预习指导】
（一） 平移正弦线画出正弦函数的图象：
1、 在单位圆中，作出对应于的角及对应的正弦线；
2、 作出在区间上的图象：（1）平移正弦线到相应的位置；（2）连线
3、 作出在上的图象

（二） 用五点法画出正、余弦函数在区间上的简图

（三）仔细观察正弦曲线和余弦曲线，总结正弦函数与余弦函数的性质：
（1）定义域： （2）值域：
对于：当且仅当 时， ；
当且仅当 时， ；
对于；当且仅当 时， ；
当且仅当 时， .
【典型例题】
例1、 画出下列两组函数的简图：
（1） （2）

例2、 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量的集合：
（1） （2）

例3、 （1）求函数的定义域；（2）求函数的值域。

【巩固练习】
1、 下列等式有可能成立吗？为什么？
（1） （2）

2、 画出下列函数的简图
（1） （2）

3、 求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量的集合：
（1） （2）

4、 求下列函数的定义域：
（1） （2）已知的定义域为，求的定义域

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）
【学习目标】
1、 理解三角函数的周期性的概念；
2、 理解三角函数的周期性与函数的奇偶性之间的关系；
3、 会求三角函数的最小正周期，提高观察、抽象的能力。
【重点难点】函数周期性的概念；三角函数的周期公式
一、 预习指导
1、 对于函数，如果存在一个___________，使得定义域内___________的值，
都满足_______________________，那么函数叫做___________，叫做这个
函数的_________。
思考：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？

2、 对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的_____________。（注：今后研究函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期）
思考：是否所有的周期函数都有最小正周期？

3、及（）型的三角函数的周期公式为_______________________。
二、 典型例题
例1、若摆钟的高度h（mm）与时间t (s) 之间的函数关系如图所示。
（1）求该函数的周期；
（2）求t =10s时摆钟的高度。

例2、求下列函数的周期：
（1） （2） （3）

例3、若函数，（其中）的最小正周期是，
且，求的值。

例4、已知函数，满足对一切都成立，
求证：4是的一个周期。

三、 巩固练习
1、 求下列函数的周期：
（1） （2）

2、 若函数的最小正周期为，求正数的值。

3、若弹簧振子对平衡位置的位移与时间之间的函数关系如图所示：
(1)求该函数的周期；
(2)求＝10.5时弹簧振子对平衡位置的位移。

四、 拓展延伸
1、 已知函数，其中，当自变量在任何两整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，则最小的正整数为_______________
2、已知函数，，求

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）
【学习目标】
1、 借助正、余弦函数的图像，说出正、余弦函数的图像性质；
2、 掌握正、余弦函数的图像性质，并会运用性质解决有关问题；
【重点难点】正、余弦函数的图像与性质
一、 预习指导
正弦函数与余弦函数的性质：
（1）定义域： （2）值域：
对于：当且仅当 时， ；
当且仅当 时， ；
对于；当且仅当 时， ；
当且仅当 时， .
（3）周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，并且周期都是 .
（4）奇偶性：
① 是 ，其图像关于 对称，它的对称中心坐标是 ，对称轴方程是 ；
② 是 ，其图像关于 对称，它的对称中心坐标是 ，对称轴方程是 。
（5）单调性：
①
在每一个闭区间 上，是单调增函数.
在每一个闭区间 上，是单调减函数.
②
在每一个闭区间 上，是单调增函数.
在每一个闭区间 上，是单调减函数.
二、 典型例题
例1、判断下列函数的奇偶性.
（1） (2)

(3)

例2、比较下列各组中两个三角函数值的大小.
（1）、 （2）、

例3、求函数的单调增区间.

思考：的单调增区间怎样求呢？

例4、求下列函数的对称轴、对称中心.
（1） （2）

三、巩固练习
1、判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）

2、下列函数的单调区间：
（1） （2）

3、 函数的值域为
4、比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）、 （2）、

【拓展延伸】：求下列函数的值域：
（1） （2）
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1.4.3 正切函数的性质与图象
【学习目标】
1、能正确作出正切函数图像；
2、借助图像理解正切函数的性质；
【重点难点】
正切函数的图像与性质
三、 预习指导
1、利用正切线来画出的图像. 2、正切函数的图像：

3、定义域： ；
4、值域： ；
5、周期性： ；
6、奇偶性： 是 函数，其图像关于 对称，它的对称中心
为__________
7、单调性：正切函数在每一个开区间 上是单调增函数。
思考：正切函数在整个定义域内是单调增函数吗？

答：

四、 典型例题
例1、求函数的定义域、周期和单调区间.

例2、已知求的最小值.

变式：已知的最小值-4，求的值.

例3、已知函数的图象与轴相交于两个相邻点的坐标为和且经过点，求其解析式.

三、巩固练习
1、观察正切函数的图像，分别写出满足下列条件的的集合
（1） （2）

2、求下列函数的定义域:
（1） （2）

3、函数的奇偶性是 .

4、函数与的图像在上有 个交点.

5、求函数的值域.

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1.5 函数的图像（1）
【学习目标】：
1、 了解函数的实际意义；
2、 弄清与函数的图像之间的关系；
3、 会用五点法画函数的图像；
【重点难点】：五点法画函数的图像
一、预习指导
1、函数与函数图像之间的关系：
(1)函数的图像是将的图像向 平移 个单位长度而得到；
(2)函数的图像是将的图像向 平移 个单位长度得到；
一般地，函数 的图像，可看作把正弦曲线上所有的点
向______或向_____平行移动_____个单位长度而得到，这种变换称
为相位变换(平移交换).

2、函数与函数图像之间的关系：
(1)函数的图像是将的图像上所有点的 __坐标变为原来的____
倍（____坐标不变）而得到；
(2)函数，的图像是将的图像上所有点的______坐标变为原来的