高中三年级年级数学一轮复习(知识点归纳和总结)-直线的倾斜角和斜率、直线的方程.doc

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[备考方向要明了]

考 什 么
怎 么 考
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．
3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.
1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解．
2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012年浙江T3等．
3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：
(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主．
(2)主要是涉及直线方程和斜率.

[归纳·知识整合]
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①一个前提：直线l与x轴相交；
一个基准：取x轴作为基准；
两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°.
③倾斜角的取值范围为[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_α.
②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝.
[探究]　1.直线的倾角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？
提示：这种说法不正确．由k＝tan θ知，当 θ∈时，θ越大，斜率越大且为正；当θ∈时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．
2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系

[探究]　2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？
提示：不正确，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．
3．直线方程的几种形式
名称
条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x0，y0)
y－y0＝
k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
斜率k与截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
两点
(x1，y1)，
(x2，y2)

不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式
截距a与b
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用

[探究]　3.过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？
提示：当x1＝x2，或y1＝y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)若直线x＝2的倾斜角为α，则α(　　)
A．等于0　　　　　　　 B．等于
C．等于 D．不存在
解析：选C　因为直线x＝2垂直于x轴，故其倾斜角为.
2．(教材习题改编)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：选A　由题意知，＝1，解得m＝1.
3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为(　　)
A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：选B　直线斜率为＝－1，
其方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
4．直线l的倾斜角为30°，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1＝________；若直线l2⊥l，则直线l2的斜率k2＝__________.
解析：∵l1∥l2，∴kl1＝tan 30°＝.
∵l2⊥l，∴kl2＝－＝－.
答案：　－
5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x等于________．
解析：因为kAB＝＝2，kAC＝＝－.
A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即－＝2，
解得x＝－3.
答案：－3

直线的倾斜角和斜率

[例1]　(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π)　　　　　　　　 B.∪
C. D.∪
(2)已知两点A(m，n)，B(n，m)(m≠n)，则直线AB的倾斜角为________；
(3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
[自主解答]　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ ≤或≤ θ<π.
(2)设直线AB的倾斜角为θ，斜率为k，则
k＝tan θ＝＝－1.
又θ∈[0，π)，
所以θ＝.
(3)如右图，∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
[答案]　(1)B　(2)　(3)(－∞，－ ]∪[1，＋∞)

若将P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围．　　　　
解：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，
∴kPA＝＝，kPB＝＝.
借助图形可知，直线l的斜率的取值范围为.
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斜率的求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．

1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选A　设直线l的斜率为k，
则k＝－＝.
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：选B　设P(x,1)，Q(7，y)，则x＋7＝2,1＋y＝－2，
解得x＝－5，y＝－3，从而kl＝＝－.

直线的平行与垂直的判断及应用

[例2]　若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________.
[自主解答]　因为两直线平行，
所以有a(a－1)＝2，
即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.
[答案]　2或－1
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用一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行
的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交
的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合
的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)

3．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝________.
解析：k1＝tan 45°＝1，k2＝，
∵l1⊥l2，∴k2＝＝－1，解得m＝－6.
答案：－6
4．已知过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________．
解析：由题意知，kAB＝＝－2，
解得m＝－8.
答案：－8

直 线 方 程

[例3]　(1)在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　)
A．y－1＝3(x－3)　　　　　 B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
(2)直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．△OAB的面积为12，则直线l的方程是________________________________________________．
[自主解答]　(1)因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为：y－3＝－3(x－1)．
(2)法一：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)．
则有＋＝1，且ab＝12.
解得a＝6，b＝4.
所以所求直线l的方程为＋＝1，
即2x＋3y－12＝0.
法二：设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
令x＝0，得y＝2－3k>0；
令y＝0，得x＝3－>0.
所以S△OAB＝(2－3k)＝12，解得k＝－，
故所求直线方程为y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0.
[答案]　(1)D　(2)2x＋3y－12＝0
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求直线方程的常用方法
(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程．
(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．

5．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC中点D的坐标(x，y)，则
x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.

1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系
(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率．
(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
3个注意点——与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点
(1)明确直线方程各种形式的适用条件
点斜式斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式．
(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．
(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论.

易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点

[典例]　(2013·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_______________________________．
[解析]　当截距不为0时，设所求直线方程为
＋＝1，即x＋y－a＝0.
∵点P(－2,3)在直线l上，∴－2＋3－a＝0，
∴a＝1，所求直线l的方程为x＋y－1＝0.
当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，则有
3＝－2k，即k＝－，
此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.
[答案]　x＋y－1＝0或3x＋2y＝0

1．因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x＋2y＝0而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解．
2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有：
(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；
(2)选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况．

已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为________________．
解析：当m＝2时，直线l的方程为x＝2；
当m≠2时，直线l的方程为＝，
即2x－(m－2)y＋m－6＝0.
因为m＝2时，方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，
即为x＝2，
所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.
答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·秦皇岛模拟)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，所以α＝.
2．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　)
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析：选C　由已知kAB＝2，即＝2，解得m＝3.
3．若直线经过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：选B　作图易得在第一、二、四象限各能围成一个．
4．(2013·银川模拟)已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a等于(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．3或－1
解析：选C　由题意知，l1∥l2⇔＝≠，
即a＝－1.
5．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点.
6．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：选C　由已知得a≠0，sin B≠0，所以两条直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正弦定理得k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直．
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________________．
解析：当α∈时，k＝tan α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪
8．已知直线x－ky＋1＝0与直线y＝kx－1平行，则k的值为________．
解析：若两直线平行，则k＝，解得k＝±1.
答案：±1
9．(2013·皖南八校联考)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为________．
解析：∵两直线互相垂直，∴a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，
∴a2b＝a2＋1，
∴ab＝＝a＋，
∴|ab|＝＝|a|＋≥2(当且仅当a＝±1时取等号)．
答案：2
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l的斜率为1；
(2)直线l在x轴上的截距为－3.
解：(1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程可化为y＝－x＋.由题意得－＝1，解得m＝－1.
(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.
法二：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.
11．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
(2)①当m＝－1时，α＝.
②当m≠－1时，m＋1∈∪，
即k＝∈(－∞，－ ]∪，
所以α∈∪.
综合①②知，直线AB的倾斜角α的取值范围为.
12．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A，P，B三点共线得

解得m＝，所以A(， )．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝.
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.

1．直线l过点(－1,2)且与直线3y＝2x＋1垂直，则l的方程是(　　)
A．3x＋2y－1＝0　　　　　　　 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析：选A　法一：设所求直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，则3×(－1)＋2×2＋C＝0，得C＝－1，即l的方程为3x＋2y－1＝0.
法二：由题意知，l的斜率是k＝－，则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
2．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是(　　)
A．－1<k< B．k>1或k<
C．k>或k<1 D．k>或k<－1
解析：选D　设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，
则－3<1－<3，解得k>或k<－1.
3．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．
解析：∵线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，
∴y＝4－x，代入xy得xy＝－x2＋4x＝－·2＋3，∴由二次函数性质知，当x＝时，xy的最大值等于3.
答案：3
4．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如右图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解：法一：设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为＋＝1，
∵l过点P(3,2)，∴＋＝1，b＝.
从而S△ABO＝a·b＝a·＝.
故有S△ABO＝
＝(a－3)＋＋6
≥2 ＋6＝12，
当且仅当a－3＝，
即a＝6时，(S△ABO)min＝12，
此时b＝＝4.
故所求直线l的方程为＋＝1，
即2x＋3y－12＝0.
法二：设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
代入P(3,2)，得＋＝1≥2 ，
得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，
当且仅当＝时，等号成立，此时k＝－＝－，
故所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
法三：依题意知，直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
则有A，B(0,2－3k)，
则S△AOB＝(2－3k)
＝
≥＝(12＋12)＝12，
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．
故所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
法四：如右图所示，过P分别作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N.
设θ＝∠PAM＝∠BPN，
则S△AOB＝S△PBN＋S四边形NPMO＋S△PMA
＝×3×3×tan θ＋6＋×2×2×
＝6＋tan θ＋
≥6＋2 ＝12，
当且仅当tan θ＝，
即tan θ＝时，S△AOB＝12，此时直线l的斜率为－，其方程为2x＋3y－12＝0.

1、发生以下情形，本协议即终止：(1)、公司因客观原因未能设立;(2)、公司营业执照被依法吊销;(3)、公司被依法宣告破产;(4)、甲乙丙三方一致同意解除本协议。2、本协议解除后：(1)甲乙丙三方共同进行清算，必要时可聘请中立方参与清算;(2)若清算后有剩余，甲乙丙三方须在公司清偿全部债务后，方可要求返还出资、按出资比例分配剩余财产。(3)若清算后有亏损，各方以出资比例分担，遇有股东须对公司债务承担连带责任的，各方以出资比例偿还。
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