高中数学必修一至必修五知识点总结(2).doc

高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用） 人教版
富宁一中
必修1
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA
二、集合间的基本关系
任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且B A那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合）
四、函数的有关概念
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
4．了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a<b时，都有f(a)<f(b)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）
如果对于区间D上的任意两个自变量的值a，b，当a<b 时，都有f(a)＞f(b)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2 必须是对于区间D内的任意两个自变量a，b；当a<b时，总有f(a)<f(b) 。
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：任取a，b∈D，且a<b；2 作差f(a)－f(b)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(a)－f(b)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
10．函数最大（小）值（定义见课本）
（1）、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值.
（2）、利用图象求函数的最大（小）值
（3）、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
第二章 基本初等函数
一、指数函数
，
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）·；
（2）；
（3）．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1

图象特征
函数性质

向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
（4）当时，若，则；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）
说明： 注意底数的限制，且；

；
注意对数的书写格式．
两个重要对数：
常用对数：以10为底的对数；
自然对数：以无理数为底的对数的对数．
对数式与指数式的互化

对数式 指数式
对数底数 ← → 幂底数
对数 ← → 指数
真数 ← → 幂
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：（1）·＋；（2）－；（3） ．
注意：换底公式（，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论
（1）；
（2）．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
（2）对数函数和指数函数的联系是x和y的位置
如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
2、对数函数的性质：
a>1
0<a<1

图象特征
函数性质

函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点（1，0）

自左向右看，图象逐渐上升
自左向右看，图象逐渐下降
增函数
减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0

三、幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时， 图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数 叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
求函数的零点：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
必修2
第一章 立体几何初步
1.特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

2.柱体、锥体、台体的体积公式

3. 球体的表面积和体积公式：；
4．空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
符号表示为
L

A
·
α
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
C
·
B
·
A
·
α
公理1作用：判断直线是否在平面内.
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
P
·
α
L
β
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线： 同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
=>a∥c
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，
为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P =>β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：

a ∥α
a β => a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a => a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
　　 α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当时，； 当时，； 当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）
注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P1、P2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式：直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：（）直线两点，
④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：（A，B不全为0）

注意：各式的适用范围 特殊的方程如：
平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）；
（6）两直线平行与垂直 当，时，
；

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解 ； 方程组有无数解与重合
（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，
则
（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离
（10）两平行直线距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
第四章 圆与方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
点与圆的位置关系：
当>，点在圆外
当=，点在圆上
当<，点在圆内
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有；；
（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
必修三
：辗转相除法与更相减损术（1）辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
①用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数； ②若＝0，则n为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数n除以余数得到一个商和一个余数；③若＝0，则为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；…… 依次计算直至＝0，此时所得到的即为所求的最大公约数。
（2）更相减损术
①任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。②以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
（3）辗转相除法与更相减损术的区别：
①都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
②从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
8：秦九韶算法与排序 （1）秦九韶算法概念：
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0
=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0
这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
第二章：统计
1：简单随机抽样
类别
共同点
各自特点
相互关系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取的机会相等
从总体中逐个抽取

总体中的个体数较少
系统抽样
将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
再起时部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个数较多
分成抽样
经总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样
总体由差异明显的几部分组成
4：用样本的数字特征估计总体的数字特征
（1）样本均值：
（2）样本标准差：
用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
（3）众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据（可以是多个）。
（4）中位数：在样本数据中，累计频率为1.5时所对应的样本数据值（只有一个）。

第三章：概 率

2：概率的基本性质
（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1
（2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（3）若A∩B为不可能事件，即A∩B=，那么称事件A与事件B互斥；
（4）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（5）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
（6）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：① 事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；④事件A发生B不发生；⑤事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

3：基本事件
（1）基本事件：基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个，它是试验中不能再分的最简单的随机事件。
（2）基本事件的特点：①任何两个基本事件是互斥的②任何事件（除不可能事件外）都可以表示成基本事件的和。

4：古典概型：
（1）古典概型的条件：古典概型是一种特殊的数学模型，这种模型满足两个条件：
①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是有限个。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式
5：几何概型
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：；
（3）几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．

注意：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个。其特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，值域该区域的大小有关。如果随即事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但他不是必然事件。

综上可得：必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。
概率为1的事件不一定为必然事件；概率为0的事件不一定为不可能事件。

必修4
第一章 三角函数（初等函数二）

3、与角终边相同的角的集合为
7、弧度制与角度制的换算公式：，，．
8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．
9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：，，．
Pv
x
y
A
O
M
T
12、同角三角函数的基本关系：
；
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
性
质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴

第二章 平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为的向量．
单位向量：长度等于个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：．
⑷运算性质：
①交换律：；

②结合律：；
③．
⑸坐标运算：设，，则．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设，，则．
设、两点的坐标分别为，，则．
23、平面向量的数量积：
⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．
⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或．
设，，则．
设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．
第三章 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸（）；
⑹（）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵（，）．
⑶．
26、，其中．
必修5
第一章 解三角形
1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
2、正弦定理的变形公式：①，，；
②，，；③；
④．
（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）
3、三角形面积公式：．
4、余弦定理：在中，有，，．
5、余弦定理的推论：，，．
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状：设、、是的角、、的对边，则：①若，则；
②若，则；③若，则．
附：三角形的四个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点
第二章 数列

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：
① ②2() ③(为常数
12、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．
13、若等差数列的首项是，公差是，则．
14、通项公式的变形：①；②；③；
④；⑤．
15、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．
16、等差数列的前项和的公式：①；②．③
18、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
① ②(，)
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
19、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．（注：由不能得出，，成等比，由，，）
20、若等比数列的首项是，公比是，则．
21、通项公式的变形：①；
22、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．
23、等比数列的前项和的公式：①．②
24、对任意的数列{}的前项和与通项的关系：
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

第三章 不等式

一元二次不等式的求解：

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的讨论.

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
11、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．
12、均值不等式定理： 若，，则，即．
13、常用的基本不等式：
①； ②；
③； ④．
14、极值定理：设、都为正数，则有：
⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．

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