高三数学三角函数一轮复习.doc

考纲导读
第六章 三角函数

1．了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．
2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．
3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．
4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和的简图，理解的物理意义．
5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角．
6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．
知识网络

任意角的三角函数

三 角 函 数
两角和与差的三角函数

三角函数的图象和性质

角的概念的推广、弧度制
任意角的三角函数的定义
同角三角函数基本关系
诱导公式

两角和与差的正弦、余弦、正切
二倍角的正弦、余弦、正切

y＝sinx, y＝cosx的图象和性质
y＝tanx的图象和性质
y＝Asin(x＋)的图象
已知三角函数值求角

高考导航

三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：
1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．
2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．
3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．
基础过关
第1课时 任意角的三角函数

一、角的概念的推广
1．与角终边相同的角的集合为 ．
2．与角终边互为反向延长线的角的集合为 ．
3．轴线角（终边在坐标轴上的角）
终边在x轴上的角的集合为 ，终边在y轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．
4．象限角是指： ．
5．区间角是指： ．
6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．
7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ º．
8．弧长公式：l ＝ ；
扇形面积公式：S＝ .
二、任意角的三角函数
9．定义：设P(x, y)是角终边上任意一点，且 |PO| ＝r，则sin＝ ； cos＝ ；tan＝ ；
－
＋
－
+
cosx,
＋
＋
－
－
sinx,
－
＋
＋
－
tanx,
x
y
O
x
y
O
x
y
O
10．三角函数的符号与角所在象限的关系：

12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：
解析式
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
定义域

值 域

13．三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线．

x
y
O

典型例题

例1. 若是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置.
解： ∵是第二象限的角，
∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），
∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.
（2）∵k·180°+45°＜ ＜k·180°+90°（k∈Z），
当k=2n（n∈Z）时，
n·360°+45°＜＜n·360°+90°；
当k=2n+1（n∈Z）时，
n·360°+225°＜＜n·360°+270°.
∴是第一或第三象限的角.
（3）∵k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z），
当k=3n（n∈Z）时，
n·360°+30°＜＜n·360°+60°；
当k=3n+1（n∈Z）时，
n·360°+150°＜＜n·360°+180°；
当k=3n+2（n∈Z）时，
n·360°+270°＜＜n·360°+300°.
∴是第一或第二或第四象限的角.
变式训练1：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？
解： ∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），
60°+k·120°＜＜90°+k·120°.
①当k=3m(m∈Z)时，可得
60°+m·360°＜＜90°+m·360°（m∈Z）.
故的终边在第一象限.
②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得
180°+m·360°＜＜210°+m·360°（m∈Z).
故的终边在第三象限.
③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得
300°+m·360°＜＜330°+m·360°（m∈Z）.
故的终边在第四象限.
综上可知，是第一、第三或第四象限的角.
例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:
(1)sin≥;(2)cos≤.
解：（1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，
则OA与OB围成的区
域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为
|2k+≤≤2k+，k∈Z .
（2）作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）
即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为
.
变式训练2：求下列函数的定义域：
（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.
解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
∴x∈（k∈Z）.
（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜,∴-＜sinx＜.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),
∴x（k-,k+）（kZ).
例3. 已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.
解：∵角的终边在直线3x+4y=0上，
∴在角的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),
则x=4t,y=-3t,
r=|t|,
当t＞0时，r=5t,
sin=,cos=,
tan=;
当t＜0时，r=-5t,sin=,
cos=,
tan=.
综上可知，t＞0时，sin=,cos=,tan=;
t＜0时，sin=,cos=-,tan=.
变式训练3：已知角的终边经过点P，试判断角所在的象限，并求的值．
解：由题意，得
故角是第二或第三象限角．
当，点P的坐标为，

当，点P的坐标为，

例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R．
(1) 若α，R＝2cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；
(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．
解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。

△＝
＝（cm2）
扇形周长 ∴
∴

当且仅当22＝4，即α＝2时扇形面积最大为．
变式训练4：扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求中心角的弧度数和弦长AB．
解：设扇形的半径为r，弧长为l，中心角的弧度数为α
则有 ∴
由|α|＝得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )
小结归纳

1．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系．
2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些?
第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础过关

1．同角公式：
(1) 平方关系：sin2α＋cos2α＝1，1＋tan2α＝ ，1＋cot2α＝
(2) 商数关系：tanα＝ ，cotα＝
(3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，cotα ＝1
2．诱导公式：

－α
π－α
π＋α
2π－α
2kπ＋α
sin

cos

sin

cos

规律：奇变偶不变，符号看象限
3．同角三角函数的关系式的基本用途：
根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．
4．诱导公式的作用：
诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．
典型例题

例1. 已知f()=;
（1）化简f();
（2）若是第三象限角，且cos，求f()的值.
解 ：（1）f（）==-cos.
（2）∵cos=-sin,
∴sin=-,cos=-,
∴f()=.
变式训练1：已知A＝则A构成的集合是 ( )
A．{－1, 1, －2, 2} B．{1, －1}
C．{2, －2} D．{－2, －1, 01, 2}
解：C
例2．求值：(1) 已知，求的值．
2) 已知，求下列各式的值．①；②
解：（1）；
（2）
变式训练2：化简：① ， ②
解：①原式＝sinθ ② 原式＝0
例3. 已知－，sin x＋cos x＝．
（1）求sin x－cos x的值．
（2）求的值．
解：( 1 ) －，( 2 ) －
变式训练3：已知sin +cos=,∈(0,).求值：
（1）tan;（2）sin-cos;（3）sin3+cos3.
解 方法一 ∵sin+cos=,∈(0,),
∴(sin+cos)2==1+2sincos，
∴sincos=-＜0.
由根与系数的关系知，
sin,cos是方程x2-x-=0的两根，
解方程得x1=,x2=-.
∵sin＞0,cos＜0,∴sin=,cos =-.
∴（1）tan=-.
（2）sin-cos=.
（3）sin3+cos3=.
方法二 （1）同方法一.
（2）（sin-cos）2=1-2sin·cos
=1-2×=.
∵sin＞0,cos＜0,∴sin-cos＞0,
∴sin-cos=.
（3）sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)
=×=.
例4．已知tan=2,求下列各式的值：
（1）;
（2） ;
（3）4sin2-3sincos-5cos2.
解：（1）原式=.
（2）.
（3）∵sin2+cos2=1,
∴4sin2-3sincos-5cos2
=
=.
变式训练4：已知sin(+k)=-2cos(+k) (k∈Z).
求:（1）;
（2）sin2+cos2.
解：由已知得cos(+k)≠0,
∴tan(+k)=-2(k∈Z),即tan=-2.
（1）.
（2）sin2+cos2==.
小结归纳

1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.
2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.

第3课时 两角和与差的三角函数
基础过关

1．两角和的余弦公式的推导方法：
2．基本公式
sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ
cos(α±β)＝ ;
tan(α±β)＝ .
3．公式的变式
tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)
1－tanα tanβ＝
4．常见的角的变换：
2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝＋
α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β
＝(α－)－(－β)；
＝
典型例题

例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.
解：原式=
=
=
=
=
=
变式训练1：(1)已知∈(,)，sin=,则tan()等于（ ）
A. B.7 C.－ D.－7
(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）
A.－ B. C.－ D.
解：(1)A (2)B
例2. 已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵α－＋＋β＝α＋β＋
α∈() β∈(0,)
∴α－∈(0,) β＋∈(,π)
∴sin(α－)＝ cos()＝－
∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]
＝－cos[(α－)＋()]＝
变式训练2：设cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，
求cos（+β）.
解：∵＜＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.
故由cos（－）=－，得sin（α－）=.
由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（－）－（－β）］==
∴cos（+β）=2cos2－1=-1=－.
例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.
解 ∵A、B均为钝角且sinA=,sinB=，
∴cosA=-=-=-，
cosB=-=-=-，
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
=×-×= ①
又∵＜A＜, ＜B＜,
∴＜A+B＜2 ②
由①②知，A+B=.
变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2-cos2B=,求角B的度数.
解 在△ABC中，A+B+C=180°,
由4sin2-cos2B=,
得4·-2cos2B+1=,
所以4cos2B-4cosB+1=0.
于是cosB=,B=60°.
例4．化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.
解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）
原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)
=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)
=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-
=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-
=sin2+cos2-=1-=.
方法二 （从“名”入手，异名化同名）
原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2
=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2·cos2
=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2
=cos2-cos2·
=-cos2·
=-cos2=.
方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式=·+·-cos2·cos2
=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.
方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2
=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2
=cos2(+)-·cos(2+2)
=cos2(+)- ·［2cos2(+)-1］=.
变式训练4：化简：（1）sin+cos;
(2）.
解 （1）原式=2
=2
=2cos=2cos(x-).
（2）原式===1.
小结归纳

1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+ (α＋β)等．
2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±cosx、sinx±cosx的三角函数式要创造条件使用公式．
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切
基础过关

1．基本公式：
sin2α＝ ；
cos2α＝ ＝ ＝ ；
tan2α＝ .
2．公式的变用：
1＋cos2α＝ ；
1－cos2α＝ ．
典型例题

例1. 求值：
解：原式＝
＝＝
变式训练1：(cos＋sin)＝ （ ）
A．－ B．－ C． D．
解：D
例2． 已知α为锐角，且，求的值.
解：∵α为锐角
∴＝
＝＝＝
变式训练2：化简：
解：原式＝＝1
例3．已知；
(1) 求的值； (2) 设，求sinα的值．
解：（1）∵
∴
（2）
∴
16sin22－4sinα－11＝0 解得
∵ 故
变式训练3：已知sin()＝，求cos()的值．
解：cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1
＝2sin2(－α) －1＝－
例4．已知sin2 2α＋2α cosα－cos2α＝1，α(0，)，求sinα、tanα的值．
解：由已知得
sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0
即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0
cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0
∵α∈(0，) cosα≠0 sinα≠－1
∴2sinα＝1 sinα＝ ∴tanα＝
变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等比数列，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．
解：∵α、β、r成公比为2的等比数列．
∴β＝2α，r＝4α
∵sinα、sinβ、sinr成等比数列
∴
即，解得cosα＝1或
当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去
当时，∵2∈[0,2π] ∴或
∴或
小结归纳

1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；
2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)．
3．对三角函数式的变形有以下常用的方法：
① 降次（常用降次公式）
② 消元（化同名或同角的三角函数）
③ 消去常数“1”或用“1”替换
④ 角的范围的确定
基础过关
第5课时 三角函数的化简和求值

1．三角函数式的化简的一般要求：
① 函数名称尽可能少；
② 项数尽可能少；
③ 尽可能不含根式；
④ 次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．
3．求值问题的基本类型及方法
① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．
② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；
③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[]、[0，π]、（）的角．
典型例题

例1. （1）化简：
（2）化简：
解：∵
＝ ∴原式
=
变式训练1：已知，若，则 可化简为 ．
解：
例2. 已知，α∈[，]，求（2α＋）的值．
解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝0
3sinα＋2cosα＝0或2sinα－cosα＝０
由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠即α∈(,π)
∴tanα＝－
sin(2α＋)＝sin2αcos＋cos2αsin
＝sinαcosα＋(cos2α－sin2α)
＝
＝
＝
解法二：由已知条件可知cosα≠0 则α≠
从而条件可化为 6 tan2α＋tanα－2＝0
∵α∈(,π) 解得tanα＝－(下同解法一)
变式训练2：在△ABC中，，，，求A的值和△ABC的面积．
解：∵sinA＋cosA＝ ①
∵2sinAcosA＝－
从而cosA＜0 A∈()
∴sinA－cosA＝
＝ ②
据①②可得 sinA＝ cosA＝
∴tanA＝－2－
S△ABC＝
例3. 已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈（0，），求2α－β的值.
解：由tanβ＝－ β∈(0，π)
得β∈(, π) ①
由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ α∈(0，π)
得0＜α＜ ∴ 0＜2α＜π
由tan2α＝＞0 ∴知0＜2α＜ ②
∵tan(2α－β)＝＝1
由①②知 2α－β∈(－π，0)
∴2α－β＝－
(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)
变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．
解：由sinα＝ α为第二象限角
∴cosα＝－
∴
＝＝－
例4．已知．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
解：（1）由
得 解得tanα＝－3或
又，所以为所求．
（2）原式：

变式训练4：已知（<α<），试用k表示sin－cos的值．
解：∵
∴k＝2sinαcosα
∵(sinα－cosα)2＝1－k
又∵α∈() ∴sinα－cosα＝
小结归纳

1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;
2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式：
① 变换角度
② 变换函数名
③ 变换解析式结构
3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．
第6课时 三角函数的恒等变形
基础过关
基础过关

一、三角恒等式的证明
1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．
2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．
3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题．
二、三角条件等式的证明
1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．
2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：
⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．
⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．
⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．
⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．
典型例题

例1．求证：＝
证明：左边＝
＝＝右边
变式训练1：求证：tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan2α
证明：∵(α＋)＋(α－)＝2α
∴tan[(α＋)＋(α－)]＝tan2α
∴
∴
∴tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan2α
例2．求证：
证明：左边＝
＝
＝
＝
右边＝4()
＝4·＝
∴左边＝右边 即等式成立
变式训练2：已知2tanA＝3tanB，求证：tan(A－B)＝．
证明：tan(A－B)＝
＝
＝
例3．如图所示，D是直线三角形△ABC斜边上BC上一点，AB＝AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．
A
B
D
C
（1）证明：sinα＋cos2β=0；
（2）若，求β的值．
解：（1）∵
∴
即sinα＋cos2β＝0
（2）在△ADC中，由正弦定理得．
即 ∴
由（1）sinα＝－cos2β
∴
即
解得或
因为，所以从而
变式训练3.已知且sinβ·cosα＝cos(α＋β)．
（1）求证：；
（2）用tanβ表示tanα．
解：（1）∵
∴
∴
∴
（2）
例4.在△ABC中，若sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB，求证：sinA＋sinC＝2 sinB．
证明：∵sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB
∴sinA·＋sinC·＝sinB
∴sinA＋sinC＋sinA·cosC＋cosＡ·sinC＝3sinB
∴sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB
∵sin(A＋C)＝sinB ∴sinA＋sinC＝2sinB
变式训练4：已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求证：2cos2α＝cos2β．
证明：(sinθ＋cosθ)2
＝1＋2sinθ·cosθ＝4sin2α
将sinθ·cosθ＝sin2β代入得1＋2sin2β＝4sin2α
∴1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)
∴2cos2α＝cos2β
小结归纳

1．证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同”．
2．条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证式．
3．对于高次幂，往往采用三角公式降次，再依求证式的要求论证．
第7课时 三角函数的图象与性质
基础过关

1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．
“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．
2．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象．
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象

注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ．
⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ．
⑶ 正切函数的对称中心为 ．
3．“五点法”作y＝Asin(ωx＋)(ω>0)的图象．
令x'＝ωx＋转化为y＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象．
４．函数y＝Asin(ωx＋)的图象与函数y＝sinx的图象关系．
振幅变换：y＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍（横坐标不变）而得到的．
周期变换：y＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y＝sinx周期为2π，故y＝sinωx(ω>0)的周期为 ．
相位变换：y＝sin(x＋)(≠0)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点向 (>0)或向 (<0)平移 个单位而得到的．
由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋)的图象主要有下列两种方法：
y＝sinx
相位
变换

周期
变换

振幅
变换

y＝sinx
周期
变换

相位
变换

振幅
变换

或

说明：前一种方法第一步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移 个单位．
例1.已知函数y＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)
⑴ 若A＝3，ω＝，＝－，作出函数在一个周期内的简图．
⑵ 若y表示一个振动量，其振动频率是，当x＝时，相位是，求ω和．
3
2
1
-1
-2
-3

x
y
0
解：(1) y＝3sin()列表(略)图象如下：

0

π

2π
x

y
0
3
0
－3
0
(2)依题意有：
∴
变式训练1：已知函数y=2sin,
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
解 （1）y=2sin的振幅A=2,周期T==，初相=.
（2）令X=2x+,则y=2sin=2sinX.
列表，并描点画出图象：
x
-

X
0

2
y=sinX
0
1
0
-1
0
y=2sin(2x+)
0
2
0
-2
0

（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象.
方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；
再将y=sin2x的图象向左平移个单位；
得到y=sin2=sin的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象.
例2已知函数y=3sin
（1）用五点法作出函数的图象；
（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；
（3）求此函数的振幅、周期和初相；
（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.
解 （1）列表：
x

0

2
3sin
0
3
0
-3
0
描点、连线,如图所示：
（2）方法一 “先平移，后伸缩”.
先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.
方法二 “先伸缩，后平移”
先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位，
得到y=sin(x-)=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.
（3）周期T===4，振幅A=3，初相是-.
(4)令=+k(k∈Z),
得x=2k+(k∈Z),此为对称轴方程.
令x-=k(k∈Z)得x=+2k(k∈Z).
对称中心为 (k∈Z).
变式训练2：已知函数 的最小正周期为π且图象关于对称；
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若函数y＝1－f(x)的图象与直线y＝a在上中有一个交点，求实数a的范围．
解：（1）

∵w∈R
当w＝1时， 此时不是它的对称轴
∴w＝－1
（2）

0
－

y
x

如图：∵直线y＝a在上与y＝1－f(x)图象只有一个交点 ∴或a＝1

例3．如图为y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式.
解 方法一 以N为第一个零点，
则A=-，T=2=，
∴=2，此时解析式为y=-sin（2x+）.
∵点N，∴-×2+=0，∴=，
所求解析式为y=-sin. ①
方法二 由图象知A=，
以M为第一个零点，P为第二个零点.
列方程组 解之得.
∴所求解析式为y=sin. ②
变式训练3：函数y=Asin(x+)(＞0,||＜ ,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式为( )
A. y=-4sin B. y=-4sin
C. y=4sin D. y=4sin
答案 B
例4．设关于x的方程cos2x＋sin2x＝k＋1在[0，]内有两不同根α，β，求α＋β的值及k的取值范围．
解：由cos2x＋sin2x＝k＋1得 2sin(2x＋)＝k＋1
即sin(2x＋)＝
设c: y＝sin(2x＋)，l: y＝，在同一坐标系中作出它们的图象(略)
由图易知当＜1时, 即0≤k＜1时
直线l与曲线c有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可以看出α、β关于x＝对称.。故α＋β＝
变式训练4.已知函数f (x)＝sin(ωx＋)(ω>0，0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(π，0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和ω的值．
解：由f (x)是偶函数，得f(－x)＝f (x)即sin(－x＋)＝sin(x＋)
∴－cossinx＝cossinx对任意x都成立，且＞0， cos＝0
依题意设0≤≤π ∴＝
由f(x)的图象关于点M对称，
得f(－x)＝－f (＋x)
取x＝0得f （）＝－f （） f ()＝0
∴f()＝sin(＋)＝cos＝0
又＞0得＝＋kπ
＝(2k＋1) (k＝0，