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2019北京市各区一模数学文科试题分类汇编
12导数及其应用
1、(朝阳区2019届高三一模)已知函数,.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,求证:曲线在抛物线的上方.
2、(大兴区2019届高三一模)已知函数图象在处的切线与函数图象在处的切线互相平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设直线分别与曲线和交于P,Q两点,求证:.
3、(东城区2019届高三一模)已知函数.
(Ⅰ)若函数在时取得极值,求实数的值;
(Ⅱ)当时,求零点的个数.
4、(房山区2019届高三一模)已知函数,,
(Ⅰ)当时,求曲线在 处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,若对于任意,总存在,使得成立,求的取值范围.
5、(丰台区2019届高三一模)已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在处取得极大值,求实数的取值范围.
6、(海淀区2019届高三一模) 已知函数.
(I)当时,求函数在上的单调区间;
(Ⅱ)求证:当时,函数既有极大值又有极小值.
7、(怀柔区2019届高三一模)已知函数.
(Ⅰ)当时,求在点处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)求在区间上的最小值.
8、(门头沟区2019届高三一模)已知在点处的切线与直线平行。
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设.
()若函数在上恒成立,求的最大值;
()当时,判断函数有几个零点,并给出证明.
9、(石景山区2019届高三一模)设函数,.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与轴平行,求;
(Ⅱ)当时,函数的图象恒在轴上方,求的最大值.
10、(顺义区2019届高三第二次统练(一模))设函数.
(I)若点在曲线上,求在该点处曲线的切线方程;
(II)若恒成立,求的取值范围.
11、(通州区2019届高三一模)设.
(Ⅰ)当时,直线是曲线的切线,求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若恒成立,求的取值范围.
12、(西城区2019届高三一模)设函数,其中.
(Ⅰ)当为偶函数时,求函数的极值;
(Ⅱ)若函数在区间上有两个零点,求的取值范围.
13、(延庆区2019届高三一模)已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)当时,求函数在上区间零点的个数.
参考答案
1、解:(Ⅰ)求导得.定义域.
当时,,函数在上为减函数.
当时,令得,为增函数;
令得,为减函数.
所以时,函数减区间是.
当时,函数增区间是 ;减区间是. ………5分
(Ⅱ)依题意,只需证.设.
则,设.
因为,所以在上单调递增.
又因为,所以在内有唯一解,记为即.
当时,,单调递减;当时,,单调递增;
所以.
设,.则.所以.
所以,即曲线在抛物线上方.………13分
2、解(Ⅰ)由,得,所以 ……1分
由,得,所以 ……2分
由已知,得,……3分
经检验,符合题意. ……4分
(Ⅱ)由题意
设,, ……1分
则, ……2分
设,
则,所以在区间单调递增, ……3分
又,, ……4分
所以在区间存在唯一零点,
设零点为,则,且. ……5分
当时,;当,.
所以,函数在递减,在递增, ……6分
,
由,得
所以,由于,. ……8分
从而,即,
也就是,,
即,命题得证. ……9分
3、解:(I)定义域为.
.
由已知,得,解得.
当时,.
所以.
所以减区间为,增区间为.
所以函数在时取得极小值,其极小值为,符合题意
所以. ……………………………………………………………………5分
(II )令,由,得.
所以.
所以减区间为,增区间为.
所以函数在时取得极小值,其极小值为.
因为,所以.
所以. 所以.
因为,
又因为,所以.
所以.
根据零点存在定理,函数在上有且仅有一个零点.
因为,.
令,得.
又因为,所以.
所以当时,.
根据零点存在定理,函数在上有且仅有一个零点.
所以,当时,有两个零点. ………………………………14分
4、(Ⅰ)当时,,所以
所以, ,所以切线方程为 ……………3分
(Ⅱ),的定义域是
,令,得 ……………4分
①当时, 所以函数的单调增区间是
……………5分
②当时,,,变化如下:
0
0
所以函数的单调增区间是,单调减区间是
③当时,,,变化如下:
0
0
所以函数的单调增区间是,单调减区间是
…………………………8分
(Ⅲ)因为,所以
当时,,
所以在上恒成立,所以在上单调递增,
所以在上的最小值是,最大值是,
即当时,的取值范围为 ……………10分
由(Ⅱ)知 当时,
在上单调递减,在上单调递增,
因为,所以不合题意
当时,,在上单调递减,
所以在上的最大值为,最小值为
所以当时,的取值范围为 ……………12分
“对于任意,总存在,使得成立”
等价于 “”
解 得
所以的取值范围为 ……………13分
5、解:(Ⅰ)定义域为,
当时, ,
,
令得,令得.
所以 的增区间为,减区间为.
(Ⅱ).
(1)当时,若,则.
此时,
函数在处不可能取得极大值.
(2)当时,.
1
+
0
-
↗
极大值
↘
函数在处取得极大值.
综上可知,的取值范围是.
6、解:(Ⅰ)当时,
所以,
令得,或.
当变化时,的变化情况如下表:
极大值
极小值
所以在上的单调递增区间是,,单调递减区间是
(Ⅱ)当时,
若,则,
所以
因为,所以
若,则,
所以
令 ,
所以有两个不相等的实根,且
不妨设,所以当变化时,的变化情况如下表:
无定义
极大值
极小值
因为函数图象是连续不断的,
所以当时,即存在极大值又有极小值
7、解:(Ⅰ)的定义域为,
当时,,,
,,
所以在点处的切线方程是.----------------------5分
(Ⅱ)f'(x)=6x(x+a),
①当﹣a=0时,f'(x)=6x2≥0,则f(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数;
②当﹣a<0,即a>0时,由f'(x)=6x(x+a)>0
得x<﹣a或x>0,所以f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣a)和(0,+∞);
由f'(x)=6x(x+a)<0得﹣a<x<0,
所以f(x)的单调减区间为(﹣a,0);
③当﹣a>0即a<0时,
由f'(x)=6x(x+a)>0得x>﹣a或x<0,
所以f(x)的单调增区间为(﹣∞,0)和(﹣a,+∞);
由f'(x)=6x(x+a)<0,得0<x<﹣a,
所以f(x)的单调减区间为(0,﹣a).
综上所述,当a=0时,f(x)的单调增区间为(﹣∞,+∞);
当a>0时,f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣a)和(0,+∞),f(x)的单调减区间为(﹣a,0);当a<0时,f(x)的单调增区间为(﹣∞,0)和(﹣a,+∞),f(x)的单调减区间为(0,﹣a).
------------------------------------------------------------------10分
(Ⅲ)①当﹣a≤0即a≥0时,由(Ⅱ)可知,f(x)在[0,2]上单调递增,所以f(x)的最小值为
f(0)=1;
②当0<﹣a<2,即﹣2<a<0时,由(Ⅱ)可知,f(x)在[0,﹣a)上单调递减,在(﹣a,2]
上单调递增,所以f(x)的最小值为f(﹣a)=a3+1;
③当﹣a≥2即a≤﹣2时,由(Ⅱ)可知,f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(2)=17+12a.
综上所述,当a≥0时,f(x)的最小值为f(0)=1;﹣2<a<0时,f(x)的最小值为f(﹣a)=a3+1;a≤﹣2时,f(x)的最小值为f(2)=17+12a.-------------------------------------------14分
8、解:(Ⅰ)由题意得:
(Ⅱ)()
当时,若,递增,则
当时,若,在递减,则不恒成立,所以,的最大值为1.
(),显然有一个零点0;
设
当时,无零点;所以只有一个零点0
当时,有,所以在上单增,
又,由零点存在定理可知,
所以在上有唯一一个零点,所以有二个零点
综上所述,时,只有一个零点0,时,有二个零点.
9、解:(Ⅰ),
,
,
由题设知,即,解得.
经验证满足题意。
(Ⅱ)方法一:
令,即,则,
(1)当时,即
对于任意有,故在单调递减;
对于任意有,故在单调递增,
因此当时,有最小值为成立.
(2)当时,即
对于任意有,故在单调递减,
所以.
因为的图象恒在轴上方,
所以,
因为,所以,即,
综上,的最大值为.
方法二:由题设知,当时,,
(1)当时,.
设,则,
故在单调递减,
因此,的最小值大于,所以.
(2)当时,成立.
(3)当时,,
因为,所以当时成立.
综上,的最大值为
10、解:(I)因为点在曲线上,
所以,. ---------------------------------------1分
又, ---------------------------------------3分
所以. ---------------------------------------4分
在该点处曲线的切线方程为即 ---------------------------------------5分
(II)定义域为,-------------------------------6分
讨论:(1)当时,
此时在上单调递减,又,不满足-------------8分
(2)当时,令可得
列表可得
0
单调递减
单调递增
所以在上单调递减,在上单调递增----------------------10分
所以=,所以令解得
所以的取值范围为. ---------------------------------------13分
或法二:定义域为,恒成立即恒成立,又
所以恒成立。令,
则,由,
所以在单调递增,在上单调递减,
所以
11、解:(Ⅰ)当时,,. .......... 1分
设切点,则, ..........2分
所以,.
把切点的坐标代入切线方程,得; ..........4分
(Ⅱ)的定义域为, ..........5分
. ..........6分
(ⅰ)当时,,在上单调递增; ..........7分
(ⅱ)当时,令,得.
在,,所以在单调递减;
在,,所以在单调递增. ..........8分
(Ⅲ)恒成立,即在恒成立,
也就是在恒成立. ..........9分
令,,则
. ..........10分
因为, ..........11分
当时,因为,,所以;
当时,因为,,所以. ..........12分
所以在时取得极小值.
因为在定义域内只有一个极小值,所以也是最小值.
所以,即.
所以的取值范围是. ..........13分
12、解:(Ⅰ)由函数是偶函数,得,
即对于任意实数都成立,
所以. ……………… 2分
此时,则.
由,解得. ……………… 3分
当x变化时,与的变化情况如下表所示:
0
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以在,上单调递减,在上单调递增. …………… 5分
所以有极小值,有极大值. ……………… 6分
(Ⅱ)由,得.
所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线,有且只有两个公共点”. ……………… 8分
对函数求导,得. ……………… 9分
由,解得,. ……………… 10分
当x变化时,与的变化情况如下表所示:
0
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以在,上单调递减,在上单调递增. …………… 11分
又因为,,,,
所以当或时,直线与曲线,有且只有两个公共点.
即当或时,函数在区间上有两个零点. …… 13分
13、(Ⅰ)当时,,……………1分
, ……………2分
,切点,
切线方程是.……………3分
(Ⅱ),……………4分
令, ……………5分
、及的变化情况如下
0
增
减
所以,在区间上单调递增,
在区间上单调递减………7分
(Ⅲ)法一:由(Ⅱ)可知的最大值为 ……8分
(1)当时,在区间单调递增,在区间上单调递减
由,故在区间上只有一个零点 ……………10分
(2)当时,,,
且 ……………12分
因为 ,所以,在区间上无零点……13分
综上,当时,在区间上只有一个零点
当时,在区间上无零点
(Ⅲ)法二:
令,
令 ……………8分
……………10分
0
减
极小值1
增
……………11分
由已知
所以,当时,在区间上只有一个零点……12分
当时,在区间上无零点 ……………13分
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