抛物线中一个特征梯形的若干性质及应用(中学数学月刊05-8).doc

抛物线中一个特征梯形的若干性质及应用
浙江省绍兴县柯桥中学 （312030） 徐学军

抛物线是圆锥曲线的重要组成部分. 其中的许多问题都与一个特征梯形有关，因此对这个梯形作系统的研究，得到的一些结论对解题将带来极大的好处.
如图，设抛物线y2=2px(p＞0)，过其焦点F作抛物线的弦AB，M为AB中点，AD、BC、MN分别垂直准线于点D、C、N. 设A（x1，y1），B（x2，y2），∠AFx=α，K为准线与x轴的交点，O为坐标原点. 则在特征梯形ABCD中有下列性质：
x
y
A
B
F
D
C
K
O
M
N
G
性质1 AF=AD=x1＋，BF=BC=x2＋，AB=（x1＋x2）＋p.
性质2 ∠DFC=∠ANB=90O.
证明 ∵AF=AD， ∴∠ADF=∠AFD.
又∵∠ADF=∠DFK， ∴∠AFD=∠DFK.
同理∠BFC=∠CFK ， ∴∠DFC=90O.
另外，由于MN===MA=MB，
∴N在以AB为直径的圆上.
∴ANB=90O.
性质3 FN⊥AB.
证明 当x1=x2时，显然成立；
当x1≠x2时，KAB====.
又∵KFN=－（y0为点M的纵坐标）.
∴KAB·KFN=－1. 综上可知FN⊥AB.
性质4 以AB为直径的圆与CD相切；以CD为直径的圆与AB相切.
性质5 MN是AF与BF的等差中项；FN是AF与BF的等比中项，也是MN与FK的等比中项.
证明 由性质2的证明易得MN是AF与BF的等差中项.
又在Rt△ABN中， FN⊥AB，
∴FN2=AF·BF
∴FN是AF与BF的等比中项.
又∵∠NMF=∠FNK=α.
∴sinα==.
∴FN2=MN·FK.
∴FN也是MN与FK的等比中项.
性质6 AN为线段DF的中垂线，BN为线段CF的中垂线，且垂足均在y轴上.
证明 设AN与DF交于点G，
∵∠DAG=∠ANM=∠NAM. 且AF=AD，
∴△AGD≌△AGF.
x
y
A
B
F
D
C
K
O
M
N
Q
P
G
∴AN为线段DF的中垂线.
又∵在△DKF中，O为KF的中点，
∴DF的中点G应在y轴上.
同理可得，BN为线段CF的中垂线，
且垂足在y轴上.
性质7 直线AN和BN是抛物线的切线.
证明 假设直线AN不是抛物线的切线，
则AN必与抛物线有另一个交点P. 过P作
准线的垂线PQ，垂足为Q. 则PQ=PF.
又由性质6可知，PN为DF的垂直平分线，
所以PF=PD，
∴PQ=PD，与PD＞PQ矛盾！
∴直线AN是抛物线的切线.
同理BN也是抛物线的切线.
x
y
A
B
F
D
C
K
O
M
N
R
S
利用性质7可方便地证明抛物线的光学性质：从焦点发出的光，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.
将线段DA延长至点R，AS为法线.
则由性质7 ∠NAS=90O，
又∵∠DAN=∠NAF.
∴∠FAS=∠SAR.
所以AR是入射光线FA的反射光线，
即反射光线平行与抛物线的轴.
性质8 y1 y2=－p2，x1 x2=.
证明 ∵△DFC为直角三角形，
∴y1 y2=|DK|·（－|KC|）=－|KF|2=－p2，
从而x1 x2==.
性质9 直线AC和BD均经过原点O.
证明 设C（－，y2）则由性质8， y1 y2=－p2，
∴KOC==KOA.
∴直线AC经过原点O.
同理直线BD经过原点O.
性质10 AB=.
证明 ∵AF=p＋AF·cosα，BF=p－BF·cosα，
∴ ， ，
∴AB=＋=.
性质11 ＋=（即AF、FK、BF的倒数成等差数列）.
证明 由性质10的证明可得
， ，
∴＋=＋=.
例1 已知直线l与抛物线y2=8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为（8，8），求线段AB的中点到准线的距离.
证明 F（2，0），设∠PFx=α，则 tanα==，
∴sin2α=.
根据性质10，AB===.
∴线段AB的中点到准线的距离为.
例2 过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线，交抛物线于点M、N两点，则M、N、F三点…………（ ）
A．共圆 B.共线 C.在另一抛物线上 D.分布无规律
解 由反证法及性质2可得，M、N、F三点共线，选B.
例3 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点作一直线交抛物线于A，B两点， O为坐标原点，则直线OA与OB的斜率之积等于…………（ ）
A．4 B.－4 C.p2 D.－p2
解 由性质8得， =－4， 选B.
例4 （2000全国）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与QF的长分别是p、q，则等于………（ ）
A．2a B. C.4a D.
解 根据性质11得，==4a，故选C.
例5 （2001全国）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴. 证明直线AC经过原点O.
证明 由性质9直接可得.
例6 （2004全国）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[－，] B.[-2，2] C. [-1，1] D. [-4，4]
解法一 当l与抛物线相切时，设切点为A（，y0），A在准线上的射影为点D（－2，y0），焦点F（2，0），Q（－2，0）. 则
根据性质7，直线AQ为切线. 又由性质6，AQ⊥FD.
x
y
A
F
D
Q
O
G
∴=－1，解得y0=±4.
∴A（2，±4）
∴AQ的斜率为±1. 故选C.
解法二 设点G、Q、F的坐标同上.
则由性质6得 GQ⊥GF
∴=－1，解得y0=±4. 下同.
解法三 设点A、G、Q的坐标同上.
∵A、G、Q三点共线， ∴AQ与 GQ斜率相等.
∴=，解得y0=±4. 下同.
解法四 过焦点F作垂直于抛物线对称轴QF的直线，交抛物线于点A，A在准线上的射影为点D ，则ADQF为正方形. 由性质7得，直线AQ为切线. 显然AQ的斜率为±1. 故选C.
上述前三种解法适合Q在其它位置时的情形. 解法四说明当抛物线为y2=2px时，过Q（－，0）的切线的斜率始终是±1.
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