抛物线中一个特征梯形的若干性质及应用(中学数学月刊05-8).doc

抛物线中一个特征梯形的若干性质及应用浙江省绍兴县柯桥中学 （312030） 徐学军抛物线是圆锥曲线的重要组成部分. 其中的许多问题都与一个特征梯形有关，因此对这个梯形作系统的研究，得到的一些结论对解题将带来极大的好处. 如图，设抛物线y2=2px(p0)，过其焦点F作抛物线的弦AB，M为AB中点，AD、BC、MN分别垂直准线于点D、C、N. 设A（x1，y1），B（x2，y2），AFx=，K为准线与x轴的交点，O为坐标原点. 则在特征梯形ABCD中有下列性质：xyABFDCKOMNG性质1 AF=AD=x1，BF=BC=x2，AB=（x1x2）p. 性质2 DFC=ANB=90O. 证明AF=AD，ADF=AFD. 又ADF=DFK，AFD=DFK. 同理BFC=CFK，DFC=90O. 另外，由于MN=MA=MB，N在以AB为直径的圆上. ANB=90O. 性质3 FNAB. 证明 当x1=x2时，显然成立；当x1x2时，KAB=. 又KFN=（y0为点M的纵坐标）. KABKFN=1. 综上可知FNAB. 性质4 以AB为直径的圆与CD相切；以CD为直径的圆与AB相切.性质5 MN是AF与BF的等差中项；FN是AF与BF的等比中项，也是MN与FK的等比中项. 证明由性质2的证明易得MN是AF与BF的等差中项. 又在RtABN中， FNAB，FN2=AFBFFN是AF与BF的等比中项. 又NMF=FNK=. sin=. FN2=MNFK. FN也是MN与FK的等比中项. 性质6 AN为线段DF的中垂线，BN为线段CF的中垂线，且垂足均在y轴上. 证明设AN与DF交于点G，DAG=ANM=NAM. 且AF=AD，AGDAGF. xyABFDCKOMNQPGAN为线段DF的中垂线. 又在DKF中，O为KF的中点，DF的中点G应在y轴上. 同理可得，BN为线段CF的中垂线，且垂足在y轴上. 性质7直线AN和BN是抛物线的切线. 证明假设直线AN不是抛物线的切线，则AN必与抛物线有另一个交点P. 过P作准线的垂线PQ，垂足为Q. 则PQ=PF. 又由性质6可知，PN为DF的垂直平分线，所以PF=PD，PQ=PD，与PDPQ矛盾！直线AN是抛物线的切线. 同理BN也是抛物线的切线. xyABFDCKOMNRS利用性质7可方便地证明抛物线的光学性质：从焦点发出的光，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 将线段DA延长至点R，AS为法线. 则由性质7 NAS=90O，又DAN=NAF. FAS=SAR. 所以AR是入射光线FA的反射光线，即反射光线平行与抛物线的轴. 性质8y1 y2=p2，x1 x2=. 证明DFC为直角三角形，y1 y2=|DK|（|KC|）=|KF|2=p2，从而x1 x2=. 性质9 直线AC和BD均经过原点O. 证明设C（，y2）则由性质8，y1 y2=p2，KOC=KOA. 直线AC经过原点O. 同理直线BD经过原点O. 性质10 AB=. 证明AF=pAFcos，BF=pBFcos，AB=. 性质11 =（即AF、FK、BF的倒数成等差数列）. 证明由性质10的证明可得，=. 例1已知直线l与抛物线y2=8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为（8，8），求线段AB的中点到准线的距离. 证明F（2，0），设PFx=，则 tan=，sin2=. 根据性质10，AB=. 线段AB的中点到准线的距离为. 例2过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线，交抛物线于点M、N两点，则M、N、F三点（ ）A共圆B.共线C.在另一抛物线上D.分布无规律解由反证法及性质2可得，M、N、F三点共线，选B. 例3 过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A，B两点， O为坐标原点，则直线OA与OB的斜率之积等于（ ）A4B.4C.p2D.p2解由性质8得， =4， 选B. 例4（2000全国）过抛物线y=ax2（a0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与QF的长分别是p、q，则等于（ ）A2aB.C.4aD.解 根据性质11得，=4a，故选C. 例5 （2001全国）设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴. 证明直线AC经过原点O. 证明由性质9直接可得. 例6（2004全国）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A，B.-2，2C. -1，1D. -4，4解法一 当l与抛物线相切时，设切点为A（，y0），A在准线上的射影为点D（2，y0），焦点F（2，0），Q（2，0）. 则根据性质7，直线AQ为切线. 又由性质6，AQFD. xyAFDQOG=1，解得y0=4. A（2，4）AQ的斜率为1. 故选C. 解法二 设点G、Q、F的坐标同上.则由性质6得 GQGF=1，解得y0=4. 下同. 解法三 设点A、G、Q的坐标同上.A、G、Q三点共线，AQ与 GQ斜率相等. =，解得y0=4. 下同. 解法四 过焦点F作垂直于抛物线对称轴QF的直线，交抛物线于点A，A在准线上的射影为点D ，则ADQF为正方形. 由性质7得，直线AQ为切线. 显然AQ的斜率为1. 故选C. 上述前三种解法适合Q在其它位置时的情形. 解法四说明当抛物线为y2=2px时，过Q（，0）的切线的斜率始终是1. 4