2019年中考专题复习第九讲分式方程(含详细参考答案).doc

2019年中考专题复习
第九讲 分式方程
【基础知识回顾】
一、 分式方程的概念
分母中含有 的方程叫做分式方程
【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】
二、分式方程的解法：
1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即

去分母

分式方程 ﹥整式方程
转化

2、解分式方程的一般步骤：
①、 ②、 ③、
3、增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略
2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。如：-=1有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。】
三、分式方程的应用：
解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】
【重点考点例析】
考点一：分式方程的解
例1 （2018•株洲）关于x的分式方程 解为x=4，则常数a的值为（　　）
A．a=1 B．a=2
【思路分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a=-1．
【解答】解：把x=4代入方程，得
，
解得a=10．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
考点二：解分式方程
例2 （2018•广西）解分式方程：．
【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．
【解答】解：两边都乘以3（x-1），得：3x-3（x-1）=2x，
解得：x=1.5，
检验：x=1.5时，3（x-1）=1.5≠0，
所以分式方程的解为x=1.5．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
考点三：由实际问题抽象出分式方程
例3 （2018•嘉兴）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程： ．
【思路分析】根据“甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%”建立方程，即可得出结论．
【解答】解：设设甲每小时检测x个，则乙每小时检测（x-20）个，
根据题意得， ，
故答案为．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．
考点四：分式方程的应用
例4 （2018•玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．
（1）求二月份每辆车售价是多少元？
（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？
【思路分析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，
根据题意得： ，
解得：x=900，
经检验，x=900是原分式方程的解．
答：二月份每辆车售价是900元．
（2）设每辆山地自行车的进价为y元，
根据题意得：900×（1-10%）-y=35%y，
解得：y=600．
答：每辆山地自行车的进价是600元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．

【聚焦山东中考】
1．（2018•德州）分式方程 的解为（　　）
A．x=1 B．x=2
C．x=-1 D．无解

2．（2018•临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

3．（2018•潍坊）当m= 时，解分式方程 会出现增根．

4．（2018•威海）某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？

5．（2018•东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．

6．（2018•菏泽）列方程（组）解应用题：
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？

【备考真题过关】
一、选择题
1．（2018•张家界）若关于x的分式方程 的解为x=2，则m的值为（　　）
A．5 B．4
C．3 D．2

2．（2018•黑龙江）已知关于x的分式方程 的解是负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2
C．m＜3 D．m＜3且m≠2

3．（2018•荆州）解分式方程 时，去分母可得（　　）
A．1-3（x-2）=4 B．1-3（x-2）=-4
C．-1-3（2-x）=-4 D．1-3（2-x）=4

4．（2018•成都）分式方程 的解是（　　）
A．x=1 B．x=-1
C．x=3 D．x=-3

5. （2018•通辽）学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（2018•黄石）分式方程 的解为 。
7．（2018•广州）方程 的解是 ．
8．（2018•常德）分式方程 的解为x= ．
9．（2018•遂宁）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．
三、解答题
10．（2018•连云港）解方程： ．
11．（2018•柳州）解方程 ．

12．（2018•贺州）解分式方程： 。

13．（2018•岳阳）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？

14．（2018•曲靖）甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？

15. （2018•玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．
（1）求二月份每辆车售价是多少元？
（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？

16. （2018•宁波）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

2019年中考专题复习
第九讲 分式方程
【聚焦山东中考】
1.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+2x-x2-x+2=3，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．

2.【思路分析】设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
【解答】解：设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
根据题意，得：，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．

3.【思路分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
【解答】解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

4.【思路分析】设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+）x个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合软件升级后节省的时间，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+）x个零件，
根据题意得： ，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
∴（1+）x=80．
答：软件升级后每小时生产80个零件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

5.【思路分析】设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，根据时间=路程÷速度结合小明比小刚提前4min到达剧院，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，
根据题意得： ，
解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的根，且符合题意，
∴3x=75，4x=100．
答：小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

6.【思路分析】设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，利用购买笔记本电脑和购买台式电脑的台数和列方程
，然后解分式方程即可．
【解答】解：设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，
根据题意得，
解得x=2400，
经检验x=2400是原方程的解，
当x=2400时，1.5x=3600．
答：笔记本电脑和台式电脑的单价分别为3600元和2400元．
【点评】本题考查了分式方程的应用：列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．

【备考真题过关】
一、选择题
1.【思路分析】直接解分式方程进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的分式方程的解为x=2，
∴x=m-2=2，
解得：m=4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键．

2.【思路分析】直接解方程得出分式的分母为零，再利用x≠-1求出答案．
【解答】解：，
解得：x=m-3，
∵关于x的分式方程
的解是负数，
∴m-3＜0，
解得：m＜3，
当x=m-3=-1时，方程无解，
则m≠2，
故m的取值范围是：m＜3且m≠2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确得出分母不为零是解题关键．

3.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：1-3（x-2）=-4，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

4.【思路分析】观察可得最简公分母是x（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：，
去分母，方程两边同时乘以x（x-2）得：
（x+1）（x-2）+x=x（x-2），
x2-x-2+x=x2-2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分

5.【思路分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
【解答】解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
.
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
二、填空题
6.【思路分析】方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．
【解答】解：方程两边都乘以2（x2-1）得，
8x+2-5x-5=2x2-2，
解得x1=1，x2=0.5，
检验：当x=0.5时，x-1=0.5-1=-0.5≠0，
当x=1时，x-1=0，
所以x=0.5是方程的解，
故原分式方程的解是x=0.5．
故答案为：x=0.5
【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

7.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+6=4x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故答案为：x=2
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

8.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x-2-3x=0，
解得：x=-1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：-1
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

9.【思路分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程： ．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．
三、解答题
10.【思路分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：两边乘x（x-1），得
3x-2（x-1）=0，
解得x=-2，
经检验：x=-2是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要检验方程的根．

11.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x-4=x，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4+x2-1=x2-2x+1，
解得：x=-1，
经检验x=-1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

13.【思路分析】设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据时间=工作总量÷工作效率结合提前11天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，
根据题意得： ，
解得：x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
∴1.2x=600．
答：实际平均每天施工600平方米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

14.【思路分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x-4）个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x-4）个零件，
根据题意得： ，
解得：x=24，
经检验，x=24是分式方程的解，
∴x-4=20．
答：甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

15.【思路分析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，
根据题意得： ，
解得：x=900，
经检验，x=900是原分式方程的解．
答：二月份每辆车售价是900元．
（2）设每辆山地自行车的进价为y元，
根据题意得：900×（1-10%）-y=35%y，
解得：y=600．
答：每辆山地自行车的进价是600元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．

16.【思路分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得， ，
解得 x=40．
经检验，x=40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；

（2）甲乙两种商品的销售量为 ．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60-40）a+（60×0.7-40）（50-a）+（88-48）×50≥2460，
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价-进价．