资源描述
圆
一、知识点梳理
知识点1:圆的定义:
1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .
2. 圆是 对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的 ;
圆又是 对称图形, 是它的对称中心.
知识点2:弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念
1.在同圆或等圆中,相等的弧叫做
2. 同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于它所对的圆心角的 .
3. 直径所对的圆周角是 ,90°所对的弦是 .
例1 P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________;最长弦长为_______.
例2 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90度.点P是半圆弧AC的中点,连接BP交AC于点D,若半圆弧的圆心为O,点D、点E关于圆心O对称.则图中的两个阴影部分的面积S1,S2之间的关系是( )
A.S1<S2 B.S1>S2 C.S1=S2 D.不确定
例3 如图,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,所围成的图形(阴影部分)的面积为( )
A.πa2-a2 B.2πa2-a2 C.πa2-a2 D.a2-πa2
例4 车轮半径为0.3m的自行车沿着一条直路行驶,车轮绕着轴心转动的转速为100转/分,则自行车的行驶速度( )
A.3.6π千米/时 B.1.8π千米/时 C.30千米/时 D.15千米/时
例5 如图,⊙O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一条直线上,图中弦的条数有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
知识点3:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两个圆周角中有一组量 ,那么它们所对应的其余各组量都分别 .
知识点4:垂径定理
垂直于弦的直径平分 ,并且平分 ;
平分弦(不是直径)的 垂直于弦,并且平分 .
例1、如图(1)和图(2),MN是⊙O的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,∠APM=∠CPM.
(1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由.
(2)若交点P在⊙O的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.
例2 在圆柱形油槽内装有一些油.截面如图,油面宽AB为6分米,如果再注入一些油后,油面AB上升1分米,油面宽变为8分米,圆柱形油槽直径MN为( )
A.6分米 B.8分米 C.10分米 D.12分米
例3 小英家的圆形镜子被打碎了,她拿了如图(网格中的每个小正方形边长为1)的一块碎片到玻璃店,配制成形状、大小与原来一致的镜面,则这个镜面的半径是( )
A.2 B. C.2 D.3
例4如图所示,某宾馆大厅要铺圆环形的地毯,工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长,就计算出了圆环的面积,若测量得AB的长为20米,则圆环的面积为( )
A.10平方米 B.10π平方米 C.100平方米 D.100π平方米
例5 为了测量一铁球的直径,将该铁球放入工件槽内,测得有关数据如图所示(单位:cm),则该铁球的直径为( )
A.8.8cm B.8cm C.9cm D.10cm
例6 如图,BE(⌒)是半径为6的圆D的圆周,C点是弧BE上的任意一点,△ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是( )
A.12<P≤18 B.18<P≤24 C.18<P≤18+6 D.12<P≤12+6
知识点5:确定圆的条件及内切圆
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 .
切线的判定与性质
判定切线的方法有三种:①利用切线的定义:即与圆有 的直线是圆的切线。
②到圆心的距离等于 的直线是圆的切线。
③经过半径的外端点并且 于这条半径的直线是圆的切线。
切线的五个性质:①切线与圆只有 公共点;
②切线到圆心的距离等于圆的 ;
③切线垂直于经过切点的 ;
④经过圆心垂直于切线的直线必过 ;
⑤经过切点垂直于切线的直线必过 。
三角形内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ,三角形内切圆的圆心叫三角形的 .
切线长定理
经过圆外一点作圆的切线,这点与 之间的线段的长度,叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线,它们的 相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的 .
例1 如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AD⊥BC于D点,且AC=5,CD=3,AB=4,则⊙O的直径等于( )
A. B.3 C.5 D.7
例2 如图,在坐标平面上,Rt△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,AB垂直x轴,M为Rt△ABC的外心.若A点坐标为(3,4),M点坐标为(-1,1),则B点坐标为何( )
A.(3,-1) B.(3,-2) C.(3,-3) D.(3,-4)
例3 如图所示,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,连接CD,若AD=3,AC=2,则cosD的值为( )
A. B. C . D.
知识点6:点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系:点在圆内、点在圆上、点在圆外.
其中r为圆的半径,d为点到圆心的距离,
位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
数量(d与r)的大小关系
d r
d r
d r
例1 如图,在中,直角边,,点,分别是,的中点,以点为圆心,的长为半径画圆,则点在圆A的_________,点在圆A的_________.
例2 在直角坐标平面内,圆的半径为5,圆心的坐标为.试判断点与圆的位置关系.
例3 如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°,公路PQ上A处距离O点240米,如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响,那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时,A处受到噪音影响的时间为( )
A.12秒 B.16秒 C.20秒 D.24秒
例4 矩形ABCD中,AB=8,BC=3,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是( )
A.点B、C均在圆P外 B.点B在圆P外、点C在圆P内
C.点B在圆P内、点C在圆P外 D.点B、C均在圆P内
例5 一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为( )
A.16cm或6cm B.3cm或8cm C.3cm D.8cm
知识点7:直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:相交 、相切、相离.
设r为圆的半径,d为圆心到直线的距离,直线与圆的位置关系如下表:
位置关系
相离
相切
相交
公共点个数
0
1
2
数量关系
d r
d r
d r
例1、 在中,BC=6cm,∠B=30°,∠C=45°,以A为圆心,当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切?相交?相离?
例2.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB=∠A.
(1)CD与⊙O相切吗?如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由.
(2)若CD与⊙O相切,且∠D=30°,BD=10,求⊙O的半径.
例3 如图,在平面直角坐标系中,⊙O的半径为1,则直线y=x-与⊙O的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.以上三种情况都有可能
例4 如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
知识点8:圆和圆的位置关系
设两圆半径分别为R和r。圆心距为d。(R>r)
1. 两圆外离 _____________; 2. 两圆外切_____________;
3. 两圆相交______________; 4. 两圆内切_____________;
5. 两圆内含______________.
例1.如图所示,点A坐标为(0,3),OA半径为1,点B在x轴上.
(1)若点B坐标为(4,0),⊙B半径为3,试判断⊙A与⊙B位置关系;
(2)若⊙B过M(-2,0)且与⊙A相切,求B点坐标.
例2已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根,两圆的圆心距为7,则两圆的位置关系是( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.外离
例3如图,⊙O1,⊙O,⊙O2的半径均为2cm,⊙O3,⊙O4的半径均为1cm,⊙O与其他4个圆均相外切,图形既关于O1O2所在直线对称,又关于O3O4所在直线对称,则四边形O1O4O2O3的面积为( )
A.12cm2 B.24cm2 C.36cm2 D.48cm2
例4定圆O的半径是4cm,动圆P的半径是2cm,动圆在直线l上移动,当两圆相切时,OP的值是( )
A.2cm或6cm B.2cm C.4cm D.6cm
课堂小结:
一、这章有三条常用辅助线:一是圆心距,第二是直径圆周角,第三条是切线径,就是连接圆心和切点的,或者是连接圆周角的距离。
二、有几个分析题目的思路,在圆中有一个非常重要,就是弧、弦与圆周角互相转换,那么怎么去应用,就根据题目条件而定。
作业
一、选择题
1.(北京市西城区)如图,BC是⊙O的直径,P是CB延长线上一点,PA切⊙O于点A,如果PA=,PB=1,那么∠APC等于 ()
(A) (B) (C) (D)
2. (北京市西城区)如果圆柱的高为20厘米,底面半径是高的,
那么这个圆柱的侧面积是 ()
(A)100π平方厘米 (B)200π平方厘米
(C)500π平方厘米 (D)200平方厘米
3.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现在的数学语言表述是:“如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长”.依题意,CD长为 ( )
(A)寸 (B)13寸 (C)25寸 (D)26寸
4.(北京市朝阳)已知:如图,⊙O半径为5,PC切⊙O于点C,PO交⊙O于点A,PA=4,那么PC的长等于( )
(A)6 (B)2 C)2 (D)2
5.(北京市朝阳)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长为5厘米,那么此圆锥的底面半径的长等于( )
(A)2厘米 (B)2厘米 (C)4厘米 (D)8厘米
二、填空题
1.(北京市东城区)如图,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,
D是优弧上的一点,已知∠BAC=,那么∠BDC=__________度.
2.(北京市东城区)在Rt△ABC中,∠C=,AB=3,BC=1,以AC所在直线为轴旋转一周,所得圆锥的侧面展开图的面积是__________.
3.(北京市海淀区)如果圆锥母线长为6厘米,那么这个圆锥的侧面积是_______平方厘米
4.(北京市海淀区)一种圆状包装的保鲜膜,如图所示,其规格为“20厘米×60米”,
经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别为3.2厘米、4.0厘米,则该种保鲜
膜的厚度约为_________厘米(π取3.14,结果保留两位有效数字).
三、解答题:
1.(苏州市)已知:如图,△ABC内接于⊙O,过点B作⊙O的切线,交CA的延长线于点E,∠EBC=2∠C.
①求证:AB=AC;
②若tan∠ABE=,(ⅰ)求的值;(ⅱ)求当AC=2时,AE的长.
2.(广州市)如图,PA为⊙O的切线,A为切点,⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C,PA=8cm,PB=4cm,求⊙O的半径.
3.(河北省)已知:如图,BC是⊙O的直径,AC切⊙O于点C,AB交⊙O于点D,若AD︰DB=2︰3,AC=10,求sinB的值.
4.(北京市海淀区)如图,PC为⊙O的切线,C为切点,PAB是过O的割线,CD⊥AB于点D,若tanB=,PC=10cm,求三角形BCD的面积.
5.(宁夏回族自治区)如图,在两个半圆中,大圆的弦MN与小圆相切,D为切点,且MN∥AB,MN=a,ON、CD分别为两圆的半径,求阴影部分的面积.
6.(四川省)已知,如图,以△ABC的边AB作直径的⊙O,分别并AC、BC于点D、E,弦FG∥AB,S△CDE︰S△ABC=1︰4,DE=5cm,FG=8cm,求梯形AFGB的面积.
7.(贵阳市)如图所示:PA为⊙O的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,
PA=10,PB=5,求:
(1)⊙O的面积(注:用含π的式子表示);
(2)cos∠BAP的值.
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