高中数学竞赛题1.doc

竞赛题1
2019年11月18日
一．填空题（共40小题）
1．设数列{an}满足，则数列{an}的前2020项之和为　 　．
2．正项数列{an}满足：，设Tn＝a1•a2•…•an，若，则λ的取值范围是　 　
3．记数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn﹣an+1＝n（an+1），且a2＝5，若m＞，则实数m的取值范围　 　．
4．已知数列{an}满足：，则a2019＝　 　
5．已知数列{an}的前n项和是Sn，且，则an＝　 　．（写出两个即可）
6．已知两个等差数列{an}、{bn}，它们的前n项和分别是Sn、Tn，若＝，则＝　 　．
7．已知数列{an}的通项公式，则|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|a3﹣a4|+…+|a9﹣a10|＝　 　．
8．若存在无穷数列{an}，{bn}满足：对于任意n∈N+，an+1，bn+1是方程x2﹣（an+bn）x+＝0的两根，且a10＝1，b1＞0，则b1＝　 　．
9．已知y＝f（x），，对任意实数x，y满足：f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣3
（Ⅰ）当n∈N*时求f（n）的表达式；
（Ⅱ）若b1＝1，bn+1＝，求bn；
（Ⅲ）记，试证c1+c2+…+c2014＜89．
10．设数列{an}满足：a4＝4，（an+1﹣an﹣2）•（2an+1﹣an）＝0（n∈N*），则a1的值小于4的概率为　 　．
11．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的个数是　 　．
12．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）+f（1﹣x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{an} 满足an＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），求数列{an} 的通项公式；
（Ⅲ）若数列 {bn} 满足bn＝2n+1•an，Sn是数列 {bn} 的前n项和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
13．在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏．这些同学编号依次为1，2，3，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）表示．规则如下：编号为k的同学看到的像为（ak，ak+1），且满足ak+1﹣ak＝k（k∈N*），已知编号为1的同学看到的像为（5，6），则编号为4的同学看到的像为　 　；某位同学看到的像为（195，q），其中q的值被遮住了，请你帮这位同学猜出q＝　 　．
14．已知数列{an}中，an＞0且an2﹣2anSn+1＝0，其中Sn为数列{an}的前n项和．
（1）求证：{Sn2}是等差数列；
（2）求证：an＞an+1（n∈N*）．
15．求和：＝　 　．
16．已知数列{an}中，a1＝2，n∈N*，an＞0，数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+1＝．
（1）求{Sn}的通项公式；
（2）设{bk}是{Sn}中的按从小到大顺序组成的整数数列．
①求b3；
②存在N（N∈N*），当n≤N时，使得在{Sn}中，数列{bk}有且只有20项，求N的范围．
17．正整数按下列所示的规律排列，则上起2007，左起2008列的数是　 　．

18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an+2＝则满足2019≤Sm≤3000的正整数m的所有取值为　 　．
19．数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，满足a1＝2，，且anbn＝n+1．若对任意n∈N*，λ≤T2n﹣Tn恒成立，则实数λ的最大值为　 　．
20．已知等差数列{an}满足a1+a6+a11＝2π，则cos（a3+a9）的值为　 　
21．已知数列{an}满足an+1＝3an+10，bn＝an﹣4（n+1），若bn+1＞bn，则数列{an}的首项的取值范围为　 　．
22．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且，则＝　 　．
23．已知函数，数列{an}满足an＝f（n）（n∈N*），且数列{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是　 　．
24．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，这个数列的前2n﹣1项和S2n﹣1＝　 　．
25．若数列{an}满足an+1＝，且对任意n∈N*，有an+1＞an，则a1的取值范围是　 　．
26．已知数列{an}，若an═﹣n2+kn+4，且对于任意n∈N*，都有an+1＜an，则实数k的取值范围是　 　．
27．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则a2019＝　 　．
28．已知数列{bn}是首项为﹣6，公差为1的等差数列，数列{an}满足an+1﹣an＝2n（n∈N*）且a1＝b9，则数列{}的最大值为　 　．
29．已知数列{an}满足，则{an}的前10项和为　 　．
30．正项等比数列{an}中，存在两项am，an（m，n∈N*）使得am，an＝16a12，且a7＝a6+2a5，则的最小值为　 　
31．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是　 　．
32．若数列{an}满足（n∈N，d为常数），则称数列{an}为调和数列，已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20＝200，则x5+x16＝　 　．
33．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若1≤a1≤3，3≤a1+S3≤6，则的取值范围是　 　．
34．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣1＜a4＜3，﹣3＜a10＜1，则S12的取值范围为　 　．
35．由正整数组成的数列{an}、{bn}中分别为递增的等差数列、等比数列．a1＝b1＝1，记cn＝an+bn，若存在正整数k（k≥2）满足ck﹣1＝100，ck+1＝1000，则ck＝　 　．
36．正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝．若对于任意的n∈N*，都有an＞k成立，则整数k的最大值为　 　．
37．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＞0，，若不等式．对任意的n∈N*恒成立，则k的取值范围是　 　．
38．已知点列P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），…，Pn+1（n+1，yn+1）在x轴的投影为Q1，Q2，…，Qn+1，且点Pn+1满足y1＝1，直线PnPn+1的斜率k＝2n．则多边形P1Q1Qn+1Pn+1的面积为　 　．
39．已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前项和，若{}也是公差为d的等差数列，则{an}的通项为　 　．
40．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题：
①数列{Sn}是等比数列；
②数列{Sn}是递增数列；
③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn＞2018；
④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn＜2018．
其中真命题的序号是　 　（请写出所有真命题的序号）．

竞赛题1
参考答案与试题解析
一．填空题（共40小题）
1．设数列{an}满足，则数列{an}的前2020项之和为　91010﹣1　．
【解答】解：由题意，
当n＝1时，a3＝2a2+3a1，即2a2+9＝19，
∴a2＝5．
将递推式两边同时加上an+1，可得：
an+2+an+1＝3an+1+3an＝3（an+1+an）．
构造数列bn＝an+1+an，
则有b1＝a2+a1＝5+3＝8，
很明显数列{bn}是以8为首项，3为公比的等比数列．
∴bn＝8•3n﹣1，n∈N*．
∴S2020＝a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2019+a2020
＝b1+b3+b5+…b2019
＝8+8•32+8•34+…+8•32018
＝8×（1+9+92+…+91009）
＝8×
＝91010﹣1．
故答案为：91010﹣1．
【点评】本题主要考查三项递推式的变形及构造新数列的问题，然后转化数列求和．考查了等比数列求和问题．本题属综合性较强的中档题．
2．正项数列{an}满足：，设Tn＝a1•a2•…•an，若，则λ的取值范围是　（﹣10，11）　
【解答】解：，
n＝2k（k∈N*）时，可得：a2k+1a2k＝22k．
n＝2k﹣1（k∈N*）时，可得：＝22k﹣1，
∴a2k﹣1a2k+1＝2，∴a1a3•…•a19＝25．
n＝2k+1（k∈N*）时，可得＝22k+1．
∴a2ka2k+2＝24k+1，
∴a2a3•…•a20＝25+13+…+37＝＝2105．
设Tn＝a1•a2•…•an，，
∴2110＞，化为：λ2﹣λ＜110，
解得：﹣10＜λ＜11．
则λ的取值范围是（﹣10，11）．
故答案为：（﹣10，11）．
【点评】本题考查了数列递推关系、分类讨论方法、方程与不等式的解法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．记数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn﹣an+1＝n（an+1），且a2＝5，若m＞，则实数m的取值范围　m＞2　．
【解答】解：∵当n＝2时，2（a1+a2）﹣a2+1＝2×（a2+1）；
∴解得a1＝3；
∵2Sn+1﹣an+1+1＝（n+1）（an+1+1）…①
2Sn﹣an+1＝n（an+1）…②
∴①﹣②，整理可得；
∵；
化简为，即an＝2n+1；
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列；；
令＝；
则；
当n＝1时，可知T2＞T1；
当n≥2时，可知Tn+1＜Tn；
∴数列{Tn}的最大项为T2＝2；
∴实数m的取值范围是：m＞2．
【点评】本题考查了通过递推式求通项公式，判断数列的递增递减，涉及累加法，作差法，属中档题．
4．已知数列{an}满足：，则a2019＝　　
【解答】解：由得
，
∴为等差数列，
又＝1，＝1，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查数列递推公式，等差数列知识，属于中档题．
5．已知数列{an}的前n项和是Sn，且，则an＝　（﹣1）n﹣1或2n﹣1．　．（写出两个即可）
【解答】解：由已知，得
4S1＝（a1+1）2，
∴（a1﹣1）2＝0，
∴a1＝1．
又由得
4Sn＝（an+1）2﹣（an﹣1+1）2，
即（an﹣1）2＝，
∴an﹣1＝an﹣1+1或an﹣1＝﹣（an﹣1+1），
即an﹣an﹣1＝2（常数）或（常数），
当an﹣an﹣1＝2（常数）时，数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
当（常数）时，数列{an}是以1为首项，﹣1为公比的等比数列，所以．
故答案为：（﹣1）n﹣1或2n﹣1．
【点评】此题是常规题型，考察了递推关系以及等差和等比数列定义，属于较容易的题目．
6．已知两个等差数列{an}、{bn}，它们的前n项和分别是Sn、Tn，若＝，则＝　　．
【解答】解：因为＝，所以设Sn＝（2n2+3n）k，Tn＝（3n2﹣n）k，
则＝＝＝＝＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列前n项和与二次函数的关系．属于基中档题．
7．已知数列{an}的通项公式，则|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|a3﹣a4|+…+|a9﹣a10|＝　101　．
【解答】解：令bn＝|an﹣an+1|＝|4n﹣11|，
则所求式子为{bn}的前9项和s9．
其中b1＝7，b2＝3，
从第三项起，是一个以1为首项，4为公差的等差数列，
∴，
故答案为：101．
【点评】本题考查的是数列求和，关键在于把所求式子转换成为等差数列的前n项和，另外，带有绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项．
8．若存在无穷数列{an}，{bn}满足：对于任意n∈N+，an+1，bn+1是方程x2﹣（an+bn）x+＝0的两根，且a10＝1，b1＞0，则b1＝　512　．
【解答】解：an+1，bn+1是方程x2﹣（an+bn）x+＝0的两根，可得
an+1+bn+1＝（an+bn），an+1bn+1＝，
即有an+1+bn+1＝（a1+b1），an+1bn+1＝（a1b1），
若a1，b1＞0，可得an，bn＞0，
由an+1+bn+1≥2，可得（a1+b1）≥2（a1b1），
对于给定的a1，b1，这显然是不可能的对于任意的n成立；
同样可以证明an＞0，bn＞0，也不可能同时成立，所以a10＝1，可得b10＝0，
倒推可得a1+b1＝29（a10+b10），a1b1＝（a10b10），所以a1＝0，b1＝29＝512．
故答案为：512．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
9．已知y＝f（x），，对任意实数x，y满足：f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣3
（Ⅰ）当n∈N*时求f（n）的表达式；
（Ⅱ）若b1＝1，bn+1＝，求bn；
（Ⅲ）记，试证c1+c2+…+c2014＜89．
【解答】（I）解：令x＝y＝，则f（1）＝2﹣3＝2×4﹣3＝5．
∴f（n+1）﹣f（n）＝5﹣3＝2．
∴f（n）＝f（1）+2（n﹣1）＝2n+3．
（II）解：∵bn+1＝，∴＝2n+1．
∴＝+++…+＝1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2．
∴（n∈N*）．
（III）证明：cn＝＝．∵＝，
∴c1+c2+…+c2014＜1++2+…+
＝﹣1＜2×45﹣1＝89．
【点评】本题考查了抽象函数的性质、等差数列的通项公式、“累加求和”，考查了放缩法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．设数列{an}满足：a4＝4，（an+1﹣an﹣2）•（2an+1﹣an）＝0（n∈N*），则a1的值小于4的概率为　　．
【解答】解：若，（an+1﹣an﹣2）•（2an+1﹣an）＝0，
则an+1﹣an﹣2＝0或2an+1﹣an＝0，
即an+1﹣an＝2或2an+1＝an，
分别取n＝1，2，
则a3﹣a2＝2，a2﹣a1＝2或a2＝2a3，a1＝2a2，
当a3＝8时，a2＝6或a2＝16，
当a2＝6时，a1＝4或a1＝12，
当a2＝16时，a1＝14或a1＝32，
则a1的值小于4的概率为，
故答案为：
【点评】本题主要考查数列的递推公式的应用，以及古典概型的概率计算，综合性较强．
11．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的个数是　7　．
【解答】解：∵＝＝＝，
∴＝＝＝＝＝5+．
∴要使∈Z，只要∈Z即可，
∴n+1为24的正约数，即2，3，4，6，8，12，24，共有7个．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查等差数列通项公式以及前n项和公式的应用，利用等差数列的性质进行转化是解决本题的关键．
12．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）+f（1﹣x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{an} 满足an＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），求数列{an} 的通项公式；
（Ⅲ）若数列 {bn} 满足bn＝2n+1•an，Sn是数列 {bn} 的前n项和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）∵数，
∴f（x）+f（1﹣x）
＝+
＝+＝1
（Ⅱ）∵an＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），①
∴，②
由（Ⅰ），知f（x）+f（1﹣x）＝1
∴①+②，得2an＝（n+1），∴．
（Ⅲ）∵bn＝2n+1•an，∴bn＝（n+1）•2n，
∴Sn＝2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，③
2Sn＝2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1，④
③﹣④，得﹣Sn＝4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1，
即，要使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立，
即kn2﹣2n﹣2＞0对于一切的n∈N*恒成立．
∴k对一切的n∈N*恒成立，
令f（n）＝＝＝，
∵（n+1）+在n∈N*是单调递增的，
∴（n+1）+的最小值为2+＝，
∴f（n）min＝＝4，
∴k＞4．
【点评】本题考查数列通项公式的求法，探索满足条件的实数的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意倒序相加法、错位相减法的合理运用．
13．在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏．这些同学编号依次为1，2，3，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）表示．规则如下：编号为k的同学看到的像为（ak，ak+1），且满足ak+1﹣ak＝k（k∈N*），已知编号为1的同学看到的像为（5，6），则编号为4的同学看到的像为　（11，15）　；某位同学看到的像为（195，q），其中q的值被遮住了，请你帮这位同学猜出q＝　215　．
【解答】解：（1）由题意规律，编号为1的同学看到的像是（5，6），
∴编号为2的同学看到的像是（6，8），
编号为3的同学看到的像是（8，11），
编号为4的同学看到的像是（11，15）．
（2）设编号为n的同学看到的像是（bn，an），
则b1＝5，a1＝6，当n≥2时，bn＝an﹣1．
由题意an﹣bn＝n，∴an﹣an﹣1＝n（n≥2）．
∴an﹣a1＝（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）
＝2+3+…+n＝．
，
，
当＝195时，n＝20，
＝．
故答案为：（11，15），215．
【点评】本题以QQ作为背景、以数字哈哈镜面游戏规则形式给出信息，考查学生阅读信息、搜集信息、加工信息的能力．考查灵活运用数列知识分析问题与解决问题的能力．
14．已知数列{an}中，an＞0且an2﹣2anSn+1＝0，其中Sn为数列{an}的前n项和．
（1）求证：{Sn2}是等差数列；
（2）求证：an＞an+1（n∈N*）．
【解答】证明：（1）∵an2﹣2anSn+1＝0，an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）
∴（Sn﹣Sn﹣1）2﹣2（Sn﹣Sn﹣1）Sn+1＝0⇒Sn2﹣Sn﹣12＝1
故{Sn2}成等差数列．
（2）∵a12﹣2a12+1＝0，a1＞0
∴a1＝S1＝1
∴Sn2＝1+（n﹣1）＝n
故
∴＝（n∈N*）
【点评】本题是中档题，考查数列的判断，数列通项公式的求法，放缩法的应用，对通项公式的理解能力的考查，是本题的难点．
15．求和：＝　　．
【解答】解：，
∴Sn＝a1+a2+a3+…+an
＝2（）
＝2×
＝2（1﹣）＝．
故答案：．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
16．已知数列{an}中，a1＝2，n∈N*，an＞0，数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+1＝．
（1）求{Sn}的通项公式；
（2）设{bk}是{Sn}中的按从小到大顺序组成的整数数列．
①求b3；
②存在N（N∈N*），当n≤N时，使得在{Sn}中，数列{bk}有且只有20项，求N的范围．
【解答】解：（1）∵an+1＝Sn+1﹣Sn，
∴（Sn+1﹣Sn）（Sn+1+Sn﹣2）＝2；
即（Sn+1）2﹣（Sn）2﹣2（Sn+1﹣Sn）＝2，
∴（Sn+1﹣1）2﹣（Sn﹣1）2＝2，且（S1﹣1）2＝1，
∴{（Sn﹣1）2}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴Sn＝1+．
（2）①n＝1时，S1＝1+1＝2＝b1，n＝5时，S5＝1+3＝4＝b2，n＝13时，S13＝1+5＝6＝b3．
②∵2n﹣1是奇数，Sn＝1+为有理数，则＝2k﹣1，
∴n＝2k2﹣2k+1，
当k＝20时，n＝761；当k＝21时，n＝841；
∴存在N∈[761，840]，当n≤N时，使得在{Sn}中，数列{bk}有且只有20项．
【点评】本题考查了变形转化为等差数列的方法，考查了等差数列的通项公式、分类讨论的思想方法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．
17．正整数按下列所示的规律排列，则上起2007，左起2008列的数是　4030056（即2007×2008）　．

【解答】解：这些数字排成的是一个正方形
上起2007，左起2008列的数是一个2008乘以2008的正方形的倒数第二行的最后一个数字
所以这个数是2008×（2008﹣1）＝4030056．
答案：4030056．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意培养观察能力和分析能力．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an+2＝则满足2019≤Sm≤3000的正整数m的所有取值为　20，21　．
【解答】解：由an+2＝知，
数列{an}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，
所有偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
则当n为奇数时，，当n为偶数时，．
当m为偶数时，Sm＝（a1+a3+…+am﹣1）+（a2+a4+…+am）
＝＝，
由2019≤≤3000，解得m＝20；
当m为奇数时，Sm＝Sm﹣1+am＝
＝．
由2019≤≤3000，解得m＝21．
故答案为：20，21．
【点评】本题考查数列的分组求和，正确求出数列通项是关键，是中档题．
19．数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，满足a1＝2，，且anbn＝n+1．若对任意n∈N*，λ≤T2n﹣Tn恒成立，则实数λ的最大值为　　．
【解答】解：当n＝1时，3S1＝（1+m）a1＝3a1，则m＝2，3Sn＝（n+2）an，
当n≥2时，3Sn﹣1＝（n+1）an﹣1，
∴3an＝（n+2）an﹣（n+1）an﹣1，
∴，∴，
∴，
∴（当且仅当n＝1时等号成立），
∴
故答案为：．
【点评】本题主要考查已知Sn求an，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题．
20．已知等差数列{an}满足a1+a6+a11＝2π，则cos（a3+a9）的值为　﹣　
【解答】解：由等差数列{an}满足a1+a6+a11＝2π，
∴3a6＝2π，解得a6＝，
又a3+a9＝2a6＝，
则cos（a3+a9）＝cos＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了等差数列的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．已知数列{an}满足an+1＝3an+10，bn＝an﹣4（n+1），若bn+1＞bn，则数列{an}的首项的取值范围为　（﹣3，+∞）　．
【解答】解：数列{an}满足an+1＝3an+10，bn＝an﹣4（n+1），
由于bn+1＞bn，
所以3an+10﹣4n﹣8＞an﹣4n﹣4，
整理得2an＞﹣6，
当n＝1时，a1＞﹣3．
故答案为：（﹣3，+∞）
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
22．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且，则＝　　．
【解答】解：正项数列{an}的前n项和为Sn，且，①
当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，，②
①﹣②得：，
整理得an﹣an﹣1＝2（常数），
所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
所以，
所以，
故＝＝1﹣．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23．已知函数，数列{an}满足an＝f（n）（n∈N*），且数列{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是　　．
【解答】解：依题意，∵数列{an}满足an＝f（n）且an+1＞an，n∈N*，∴分段函数f（x）在N*上单调递增，
所以，解得，
故答案为：（，8）．
【点评】本题考查了分段函数的应用、一次函数和指数函数的单调性，属于中档题．
24．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，这个数列的前2n﹣1项和S2n﹣1＝　（k∈N+）　．
【解答】解：根据题中的信息，已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，
所以当n为偶数时Sn＝2+3+2+3+…+2+3+2＝．
当n为奇数时，Sn＝2+3+2+3+…+2+3＝．
所以（k∈N+）．
故答案为：（k∈N+）
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
25．若数列{an}满足an+1＝，且对任意n∈N*，有an+1＞an，则a1的取值范围是　　．
【解答】解：数列{an}满足an+1＝，对任意n∈N*，有an+1＞an，
所以，
当n＝1时，，整理得，
所以，
解得①．
当n＝2时，a3＞a2，
所以，整理得，
化简得，
解得②，
由①②得
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的单调性的应用，高次不等式的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
26．已知数列{an}，若an═﹣n2+kn+4，且对于任意n∈N*，都有an+1＜an，则实数k的取值范围是　k＜3　．
【解答】解：数列{an}，若an═﹣n2+kn+4，则：数列{an}，若an+1═﹣（n+1）2+k（n+1）+4，
所以an+1＜an，整理得﹣（n+1）2+k（n+1）+4﹣（﹣n2+kn+4）＜0，
化简得：k＜2n+1，
由于对于任意n∈N*，都有an+1＜an恒成立，
所以k＜（2n+1）min，
即当n＝1时，k＜3．
故答案为：k＜3．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，数列的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
27．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则a2019＝　4037　．
【解答】解：依题意，数列{an}是等差数列，所以S2n﹣1＝（2n﹣1）an，
所以S3＝3a2＝9，所以a2＝3，S5＝5a3＝25，所以a3＝5，
所以数列{an}的公差d＝a3﹣a2＝5﹣3＝2，
所以a2019＝a2+（2019﹣2）×d＝3+2017×2＝4037．
故答案为：4037．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
28．已知数列{bn}是首项为﹣6，公差为1的等差数列，数列{an}满足an+1﹣an＝2n（n∈N*）且a1＝b9，则数列{}的最大值为　　．
【解答】解：已知数列{bn}是首项为﹣6，公差为1的等差数列，则bn＝﹣6+（n﹣1）＝n﹣7．
由于且a1＝b9，所以a1＝2．
数列{an}满足an+1﹣an＝2n（n∈N*）
所以，
…，
，
所以，
则：＝，
则．
当n＝8时．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，叠加法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
29．已知数列{an}满足，则{an}的前10项和为　﹣　．
【解答】解：∵数列{an}满足，
∴a2＝＝，a3＝0，a4＝，
∴数列{an}是周期为3的周期数列，
∵则{an}的前10项和为：﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查数列的前63项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．
30．正项等比数列{an}中，存在两项am，an（m，n∈N*）使得am，an＝16a12，且a7＝a6+2a5，则的最小值为　6　
【解答】解：∵正项等比数列{an}中，存在两项am，an（m，n∈N*）使得am•an＝•qm﹣1•qn﹣1＝16a12，
∴qm+n﹣2＝16＝，即qm+n＝24•q2．
且a7＝a6+2a5，∴a1q6＝a1q5+2a1q4，即 q2＝q+2，
∴正整数 q＝2，m+n＝6．
∴＝•（+）＝（1+++25）＝+（+）≥+•10＝6，
当且仅当 ＝时，等号成立，
故的最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于中档题．
31．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是　5　．
【解答】解：＝＝＝＝＝2+．
n＝1，3，7，15，31时，
∴使得为整数的正整数n的个数是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
32．若数列{an}满足（n∈N，d为常数），则称数列{an}为调和数列，已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20＝200，则x5+x16＝　20　．
【解答】解：由数列{}为调和数列，
可得﹣＝xn+1﹣xn＝d（n∈N，d为常数），
∴{xn}是公差为d的等差数列，
又x1+x2+…+x20＝200＝（x1+x20），
∴x1+x20＝20，
又x5+x16＝x1+x20，
∴x5+x16＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的定义和性质，以及求和公式，考查运算能力，属于基础题．
33．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若1≤a1≤3，3≤a1+S3≤6，则的取值范围是　[0，]　．
【解答】解：依题意，数列{an}是等差数列，所以S3＝3a2，
因为3≤a1+S3≤6，
∴3≤a1+3a2≤6，
又1≤a1≤3，所以1≤6，
所以0≤≤，
故答案为：[0，]．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和，等差中项的性质，不等式的解法，属于基础题．
34．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣1＜a4＜3，﹣3＜a10＜1，则S12的取值范围为　（﹣22，26）　．
【解答】解：∵S12＝＝7a4+5a10，
又﹣1＜a4＜3，﹣3＜a10＜1，
∴S12∈（﹣22，26）．
故答案为：（﹣22，26）．
【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查不等式的性质，是基础题．
35．由正整数组成的数列{an}、{bn}中分别为递增的等差数列、等比数列．a1＝b1＝1，记cn＝an+bn，若存在正整数k（k≥2）满足ck﹣1＝100，ck+1＝1000，则ck＝　262　．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d＞0，d∈Z），等比数列{bn}的公比为q（q＞1，q∈Z）．
由a1＝b1＝1，cn＝an+bn，且ck﹣1＝100，ck+1＝1000，
可得ck﹣1，ck，ck+1为相邻三项，
则an＝1+（n﹣1）d，bn＝qn﹣1，n∈N*，
d＝，
若q＝2，可得{bn}：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，…，
考虑{bn}的前三项，d＝不为整数，显然不成立；
若{bn}的第2，3，4项，可得d＝，显然不满足{an}的通项公式；
若{bn}的第3，4，5项；第4，5，6项；第5，6，7项；第6，7，8项；第7，8，9项；都不成立；
若q＝3，可得{bn}：1，3，9，27，81，243，729，2187，…，
考虑{bn}的前三项，d＝，显然不满足{an}的通项公式；
若{bn}的第2，3，4项，检验显然不满足{an}的通项公式；
若{bn}的第3，4，5项；第4，5，6项；第5，6，7项；检验都不成立；
若q＝4，可得{bn}：1，4，16，64，256，1024，…，
考虑{bn}的前三项，d＝不为整数，显然不成立；
若{bn}的第2，3，4项，检验显然不满足{an}的通项公式；
若{bn}的第3，4，5项；检验都不成立；
若q＝5，可得{bn}：1，5，25，125，625，…，
考虑{bn}的前三项，d＝，检验显然不满足{an}的通项公式；
若{bn}的第2，3，4项，检验显然不满足{an}的通项公式；
若{bn}的第3，4，5项；检验都不成立；
若q＝6，可得{bn}：1，6，36，216，1296，…，
考虑{bn}的前三项，d＝不为整数，显然不成立；
若{bn}的第2，3，4项，检验显然不满足{an}的通项公式；
若q＝7，可得{bn}：1，7，49，343，…，
考虑{bn}的前三项，d＝不为整数，显然不成立；
若{bn}的第2，3，4项，检验显然不满足{an}的通项公式；
若q＝8，可得{bn}：1，8，64，512，…，
考虑{bn}的前三项，d＝不为整数，显然不成立；
若{bn}的第2，3，4项，检验显然不满足{an}的通项公式；
若q＝9，可得{bn}：1，9，81，729，…，
考虑{bn}的前三项，d＝＝410，检验不成立；
若{bn}的第2，3，4项，d＝＝90，
可得a2＝91，a3＝181，a4＝271，
可得k＝3，ck＝a3+b3＝181+81＝262．
故答案为：262．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和性质，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．
36．正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝．若对于任意的n∈N*，都有an＞k成立，则整数k的最大值为　1　．
【解答】解：当n＝1时，，解得，
当n≥2且n∈N*时，
由得：，
即，
整理得：⇒，
即＝，
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝＝＝，
因为满足，
∴，则，
∴
＝
＝
＝，
∵，
∴，
即，
∴an+1﹣an＜0，
即数列{an}为递减数列，
又＝＝1，
∴an＞1，
则整数k的最大值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查数列综合应用问题，关键是能够利用Sn求得an的通项公式，进一步证明得到数列为递减数列，从而通过极限求得结果，难点是对于数列是递减数列的证明上，对计算能力要求较高．
37．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＞0，，若不等式．对任意的n∈N*恒成立，则k的取值范围是　[﹣7，7.25]　．
【解答】解：依题意得当n＝1时，2a1＝a12+a1，
由于an2＞0，解得a1＝1；
当n≥2时，2Sn﹣1＝an﹣12+an﹣1，
因此有：2an＝an2﹣an﹣12+an﹣an﹣1；
整理得：an﹣an﹣1＝1，所以数列{an}是以a1＝1为首项，公差d＝1的等差数列，
因此an＝n，Sn＝，
由2Sn+9≥（﹣1）nk