湖北省武汉市武昌区2011届高三元月调研测试数学文.doc

湖北省武汉市武昌区
2011届高三年级元月调研测试
数学（文）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的定义域为 （ ）
A．[—4，1] B． C．D．
2．等比数列的前n项和为，且成等比数列，若，则=（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
3．已知集合等于 （ ）
A． B． C． D．R
4．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 （ ）
A． B．
C． D．
5．设非零向量则a与a-b的夹角为 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．设满足 （ ）
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
7．已知表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充在条件 D．既不充分也不必要条件
8．的展开式中有理项共有 （ ）
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
9．直线交抛物线 于A、B两点的横坐标为3，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．10 C． D．16
10．如图，已知点P是圆上的一个动点，点Q是直线上的一个动点，O为坐标原点，则向量上的投影的最大值是 （ ）
A．3
B．
C．
D．1
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。
11．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万远与营运年数x（）的关系为，则每辆客车营运 年可使营运年利润最大，最大值为 万元。
12．已知样本2，3，4，x，y的平均数是2，方差是3，则= .
13．在半径为3的球面上有A、B、C三点，，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是 。
14．有5个座位连成一排，现在2人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 种。
15．已知定义域为（0，+）的函数满足：（1）对任意，恒有成立；（2）当时，给出如下结论：
①对任意=0；
②函数的值域为；
③存在
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
中，A、B、C所对的边长分别为，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值。

17．（本小题满分12分）
袋中装有形状大小完全相同的2个白球和3个黑球。
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求至少摸出1个白球的概率。

18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面的正方形，侧棱底面ABCD，，点M在侧棱PC上，且CM=2MP。
（Ⅰ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅱ）求二面角A—PC—D的余弦值。

19．（本题满分12分）
已知点与点连线的斜率之积为1，点C的坐标为（1，0）。
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线与点P的轨迹交于E、F两点，求证为常数。

20．（本小题满分13分）
已知各项均为正实数的数列的前项和为，对于一切成立。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设为数列的前项和，求证

21．（本小题满分14分）
设函数
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间[1，2]上为减函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当方程有三个不等的正实数解时，求实数的取值范围。

参考答案

一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
D
A
B
A
C
B
A
二、填空题
11．5,2 12． 13． 14．12 15．①②
三、解答题：
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），
．…………4分
∴．………………6分
（Ⅱ） ………………8分
． ………………10分
当,即B=时，取得最大值2．…………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件 A．
摸出一球是白球的概率为．…………………2分
摸出一球得黑球的概率为． ……………………4分
∴=×＋×＝……………………5分
答：两球颜色不同的概率是…………………6分
（Ⅱ）摸出的两球均为黑球的概率为
．…………………9分
所以至少摸出1个白球的概率为．……………………11分
答：至少摸出1个白球的概率．………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：设．
（Ⅰ）过M作于N，则．
面，面．
则为直线与平面所成的角．………………2分

A
P
B
C
D
M
N
E
F
，．
易知，．
又,．
在中，求得．
所以，直线与平面所成的角正切值为2．…………………………6分
（Ⅱ）过A作于E．
面，面，．
,面．
面，．
面．
过A作于F，连结．
则为二面角的平面角．………………8分
易求得．
在中，求得．

所以，所求二面角的余弦值为．…………………………12分
19．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）直线和的斜率分别为与，…………2分
依题意，有，
即，………………………………………………………………………4分
所求点的轨迹方程为．…………………………5分
（Ⅱ）设，设过点的直线为，………6分
将它代入，得．…………………7分
由韦达定理，得…………………………………………………8分
…………………9分

． ………………………10分
当直线斜率不存在时，可得坐标为，
此时． …………………………………………12分
故为常数． …………………………………………12分
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当时，，得，
或，由条件，所以． ………………2分
（Ⅱ）当时，，
则，
所以，
， ………………4分
由条件，所以， ………………5分
故正数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以． ………………6分
（Ⅲ）由（Ⅰ），，………………8分
． ①………………9分
将上式两边同乘以，得
． ② ……………10分
①—②，得
．
即．…………12分

．………………13分

21．（本小题满分14分）
解：．
（Ⅰ）当时，．………………1分
令,得或．
所以在或上单调递增,在上单调递减．
当时，．
当时，．………………4分
（Ⅱ）依题意：在恒成立．………5分
因，，故在恒成立，
所以．……………………………8分
（Ⅲ）显然，是极值点．
依题意,当方程有三个不等的正实数解时，有：

即…………………………………12分
为所求．……………………………………14分