资源描述
►基础梳理
1．全称量词与全称命题．
短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
2．存在量词和特称命题．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．
3．全称命题的否定．
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．
全称命题的否定是特称命题．
4．特称命题的否定．
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．
特称命题的否定是全称命题．,►自测自评
1．命题“有理数的平方仍是有理数”，用符号“∀”写成全称命题为∀x∈{有理数}，x2∈{有理数}．
2．给出下列命题：①所有的偶数都不是素数；②∀x>5且x∈R，都有x>3；③有的奇数不是素数；④存在x∈R，x既能被5整数也能被3整除．其中是全称命题的命题序号是①②．
1．下列命题是特称命题的是(D)
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在无理数大于等于3
2．有下列命题：
(1)所有的素数是奇数；
(2)∀x∈R，(x－1)2＋1≥1；
(3)有的无理数的平方是无理数；
(4)∃x0∈R，使2x＋x0＋1＝0；
(5)存在两条相交直线垂直于同一个平面；
(6)∃x0∈R，x≤0.
其中是真命题的为________________(填序号)．
答案：(2)(3)(6)
3．给下列四个结论：
①“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x∈R，2x＞0”；
②“∀x∈N，(x－1)2＞0”的否定是“∃x∈N，(x－1)2≠0”；
③“∃x∈R，lg x＜1”的否定是“∀x∈R，lg x≥1”；
④“∃x∈R，tan x＝2”的否定是“∀x∈R，tan x＞2或tan x＜2”．
其中正确结论的序号是______．
答案：③④
4．判断下列命题的真假．
(1)有的正方形不是矩形；
(2)有理数是实数；
(3)存在一个数，它的相反数是它本身；
(4)∀x∈N，x2＞0；
(5)∀a，b∈R，a2＋b2≥；
(6)∃x∈R，x2＋1＜0.
解析：(1)是假命题，所有的正方形都是矩形；
(2)是真命题，所有的有理数都是实数；
(3)是真命题，0的相反数就是它本身；
(4)是假命题，自然数0的平方不大于0；
(5)是真命题，因为对于任意实数a，b，都有a2＋b2≥2ab，从而有a2＋b2≥恒成立；
(6)是假命题，任何一个实数x都不满足x2＋1＜0.
5．命题p：∀x∈[－1，2]，4x－2x＋1＋2－a＜0，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
解析：依题意，∀x∈[－1，2]，4x－2x＋1＋2－a＜0恒成立．
令t＝2x，由x∈[－1，2]，得t∈，
则4x－2x＋1＋2－a＜0，
可化为a＞t2－2t＋2，即a＞(t－1)2＋1，
∴命题p等价于∀t∈.
a＞(t－1)2＋1恒成立，令y＝(t－1)2＋1.
当t∈时，ymax＝(4－1)2＋1＝10，
所以只须a＞10，即可得p为真命题，
故所求实数a的取值范围是(10，＋∞)．
1．下列是全称命题且是真命题的是(B)
A．∀x∈R，x2＞0
B．∀x∈Q，x2∈Q
C．∃x∈Z，x＞1
D．∀x，y∈R，x2＋y2＞0
2．下列命题中，真命题是(A)
A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
解析：∵当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)，
∴f(x)是偶函数．
又∵当m＝1时，f(x)＝x2＋x(x∈R)，
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
∴A对，B、C、D错．故选A.
3．(2013·广州二模)命题“∃x0∈R，x＋4x0＋5≤0”的否定是(C)
A．∃x0∈R，x＋4x0＋5＞0
B．∃x0∈R，x＋4x0＋5≤0
C．∀x∈R，x2＋4x＋5＞0
D．∀x∈R，x2＋4x＋5≤0
4．命题“原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称”的否定是(C)
A．原函数与反函数的图象关于直线y＝－x对称
B．原函数不与反函数的图象关于直线y＝x对称
C．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称
D．存在原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称
5．下列命题中的真命题是(D)
A．∃x0∈R使得sin x0＋cos x0＝1.5
B．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x
C．∃x0∈R使得x＋x0＝－1
D．∀x∈(0，＋∞)，ex＞x＋1
6．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)
A．∃x0∈R，f(x)≤f(x0)
B．∃x0∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)
D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
7．命题∀x∈R，x2－x＋≥0的否定是________________________________________________________________________．
答案：∃x0∈R，x－x0＋＜0.
8．有以下三个命题：
①∀α∈R，在[α，α＋π]上函数y＝sin x都能取到最大值1；②若∃a∈R，且a≠0，f(x＋a)＝－f(x)时∀x∈R成立，则f(x)为周期函数；③∃x∈，使sin x＜cos x.
其中正确命题为______(填序号)．
解析：①为假，如α＝π，ɑ∈[π，2π]时y＝sin x最大值为0；
②为真，f(x＋2a)－f(x＋a)＝f(x)，x∈R恒成立，T＝2a；
③为假，sin x＞cos x.
答案：②
9．已知命题：“存在x∈[1，2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围________．
答案：[－8，＋∞)
10．(2013·揭阳二模)已知函数f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命题：“∃x0∈(0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，则实数a的取值范围为________．
答案：
11．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，判断否命题的真假：
(1)直线与x轴都有交点；
(2)正方形都是菱形；
(3)梯形的对角线相等；
(4)存在一个三角形，它的内角和大于180°.
答案：(1)全称命题，否命题为：有些直线与x轴没有交点．真命题．
(2)全称命题，否命题为：有些正方形不是菱形，假命题．
(3)全称命题，否命题为：有些梯形对角线不相等．真命题．
(4)特称命题，否命题为：所有三角形内角和小于或等于180°.真命题．
12．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解析：命题p：x2－a≥0，即a≤x2，∵x∈[1，2]时，上式恒成立，而x2∈[1，4]，∴a≤1.
命题q：Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.
∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题，∴a＝1或a≤－2.
即实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－2}．
►体验高考
1．(2014·湖北卷)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(D)
A．∀x0∉R，x≠x0
B．∀x0∈R，x＝x0
C．∃x∉R，x≠x0
D．∃x0∈R，x＝x0
2．(2014·天津卷)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则綈p为(B)
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．∀x＞0，总有(x＋1)ex0≤1
D．∀x≤0，总有(x＋1)ex0≤1
解析：已知命题中含有“∀”，所以该命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式可知，其否定是一个特称命题，把全称量词改为存在量词，然后把“(x＋1)ex＞1”改为“(x0＋1)ex≤1”即可得到该命题的否定为：“∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1”，故选B.
3．(2013·重庆卷)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(A)
A．存在x0∈R，使得x＜0
B．对任意x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．不存在x∈R，使得x＜0
4．(2013·四川卷)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(C)
A．綈p：∃x∈A，2x∈B
B．綈p：∃x∉A，2x∈B
C．綈p：∃x∈A，2x∉B
D．綈p：∀x∉A，2x∉B
5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题綈p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(B)
A．p∧q B．綈p∧q
C．p∧綈q D．綈p∧綈q
解析：对于命题p，由于x＝－1时，2－1＝＞＝3－1，所以是假命题，故綈p是真命题；对于命题q，设f(x)＝x3＋x2－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以f(x)＝0在区间(0，1)上有解，即存在x∈R，x3＝1－x2，故命题q是真命题．
综上，綈p∧q是真命题，故选B.
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