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北师大版七年级上册数学各章节知识点总结
第一章 丰富的图形世界
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
3、生活中的立体图形

柱
圆柱
生活中的立体图形
(按名称分)
棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、„„
球
锥
圆锥
棱锥
4、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。
5、 正方体的平面展开图：11种
“1-4-1”

“2-3-1”

“2-2-2” “3-3”

6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

可能出现的：锐角三角形、等边、等腰三角形，正方形、矩形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形
不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形.
如果用一个平面截掉一个正方体的一个角，剩下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？

考点：
截一个几何体．菁优网版权所有
分析：
当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个顶点、12条棱、7个面；当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个顶点、13条棱、7个面；当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点、14条棱、7个面；当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点、15条棱、7个面．
解答：
解：剩下的几何体可能有：7个顶点、12条棱、7个面；
或8个顶点、13条棱、7个面；
或9个顶点、14条棱、7个面；
或10个顶点、15条棱、7个面．
如图所示：

7、其他常见图形的平面展开图：

侧面可以展开成长方形的是：圆柱和棱柱
侧面可以展开为扇形的是： 圆锥
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。
1.从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形。
弧：圆上A、B两点之间的部分叫做弧。
扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

第二章 有理数及其运算

1、有理数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
负有理数
或 有理数
整数
分数
2、 数轴：
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。
（2） 利用数轴比较大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
练习：1.利用数轴比较下列个数大小，用“>”连接起来
-，3.9, 0，，-3.3

3、 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
练习：1.求下列个数的绝对值：2，-6，-1.5,0
2.|x-28|=0,则x-20=（ ）
3.已知|a-1|+|b+2|=0,求a、b的值。
4、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。
注:数a的相反数是-a,因为a表示任意一个数,可以是正数，负数或0，所以-a不一定是负数。
练习：判断，数a的相反数为-a，-a一定是负数。（ ）
5、 有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
6、 练习1.已知|a|=,|b|=,且b<a,试求a,b的值。
2.已知a<0,b>0,|a|>|b|,试用a,b-a,-b连接起来。

7、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没
有倒数
8、科学记数法
一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤ a＜10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
9、有理数的运算 ：
（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方
（2）有理数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律 a+b=b+a+=+
加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律 ab= ba
乘法结合律 (ab)c=a(bc)
乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac

一、有理数的加法
（1）.有理数加法法则
a.同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。
b.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
c.一个数同0相加，仍得这个数。
练习 ：
（1）计算：
（-11)+(-32) = （-2.76）+（+1.25）
（2）有理数加法运算律
a.加法交换律： a+b=b+a
b.加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c)
练习：（+26）+（-14）+（-16）+（+18）
二、有理数的减法
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)
练习 ：

三、有理数的乘法
(1)乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。
法则推广：a.几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个是，积为负。
b.几个数相乘，有一个因数为0，积为0.
练习：1.（-2012）×（-2013）×（-0.5）×0 2.（-2）×3×4×(-1)
(2)乘法交换律：ab=bc
乘法结合律： (ab)*c=a*(bc)
乘法交换律：a*(b+c)=ab+ac
练习：1.计算 4×（-0.17）×（-25） 60×(1－－－ )

2. a、b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2，求（a+b）/2+xy-c/4的值
四、有理数的除法
法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0不能做除数。0除以任何不为0的数都得0。
五、有理数的乘方
(1)乘方的意义：一般的，n个相同的因数a相乘，记作。a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂或n次方。
(2)乘方运算符号法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的正整数幂都是0。任何数（除0之外）的0次幂都是1。
练习： 　

；　　

第三章 整式及其加减
1、 字母表示数
字母可以表示任何数。
2、代数式
用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
※代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。
3、整式：单项式和多项式统称为整式。
①单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；数字因数叫做这个单项式的系数。
注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个非零数的次数是0；3.当单项式的系数为1或-1时，这个“1”应省略不写，如-ab的系数是-1，a3b的系数是1。
②多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。
4、整式的加减
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
注意：①同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。
②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
③几个常数项也是同类项。
把同类项合并成一项叫做合并同类项
合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
去括号法则
①根据去括号法则去括号：
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。
②根据分配律去括号：
括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。
5、探索与表达规律
探索规律的常见类型及方法
(1)数字规律和代数式规律
常见的几种数字规律形式：
①

②

(2)新运算的规律
新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算．
新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序．
(3)图形规律
探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式．要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律．

第四章 基本平面图形
1、线段、射线、直线
名称
图形
表示方法
端点
长度
直线

直线AB(或BA)
直线l
无端点
无法度量
射线

射线OM
1个
无法度量
线段

线段AB(或BA)
线段l
2个
可度量长度
2、直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（两点确定一条直线。）
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
3、比较线段的长短
线段的性质
（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。（两点之间线段最短。）
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
4、线段的中点：
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。AM = BM =1/2AB （或AB=2AM=2BM）。
5、点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
6、角：
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
7、角的表示
角的表示方法有以下四种：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
8、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
9、角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’，1’=60”
10、角的比较
二种方法进行比较：一种是用量角器量出它们的度数，再进行比较；另一种是将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧就可以比较大小。
11、角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
12、角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较。
（3）角可以参与运算。
13、多边形和圆的初步认识
多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以画（n-3）条对角线，把这个n边形分割成（n-2）个三角形。
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形
圆：平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。固定的端点O称为圆心，线段OA的长称为半径的长（通常简称为半径）。
圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，简称弧，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA、OB所组成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。

第五章 一元一次方程
1、方程
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
5、解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。）（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为1 。
6、应用一元一次方程――水箱变高了
等积变形问题

变形前后体积相等

7、应用一元一次方程――打折销售
商品利润问题：售价=标价（或者：定价） ， ；
利润问题常用等量关系：售价-进价（或者：成本）=利润
8、应用一元一次方程――“希望工程”义演

(1)和、差、倍、分问题
①较大量＝较小量＋多余量②总量＝倍数×倍量
抓住关键性词语

9、应用一元一次方程――追赶小明
行程问题： 距离=速度· ；
环路上两人同时同地出发：相向（同向）：快的路程-慢的路程=一周长
背向：两者路程和=一周长
第六章 数据的收集与整理
1、数据的收集
2、普查和抽样调查
3、数据的表示
扇形统计图及其画法：
扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。 画法：
（1）计算不同部分占总体的百分比（在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360的比）。
（2）计算各个扇形的圆心角（顶点在圆心的角叫做圆心角）的度数。
（3）在圆中画出各个扇形，并标上百分比。
频数直方图频数直方图
频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行了分组画在横轴上，纵轴表示各组数据的频数。
制作频数直方图的步骤：
（1）确定所给数据的最大值和最小值；（2）将数据适当分组；（3）统计每组中数据出现的次数；

4、各种统计图的特点
条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。
扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。