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逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科，基本的逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具，因此，高考对本章内容的考查以考查四种命题、逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定为主，以及以充要条件为载体考查函数、数列等知识．在难度上以容易题为主，题型主要是选择题和填空题．
原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的：同真同假．一般来说，命题p⇒q的四种形式之间有如下关系：
(1)互为逆否的两个命题是等价的(同真同假)．因此，证明原命题也可以改证它的逆否命题．
(2)互逆或互否的两个命题是不等价的．
(2014·陕西卷)原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：从原命题的真假入手，由于＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.
答案：A
变式训练
1．(2013·广东湛江“十校”一模)下列有关命题的说法正确的是(D)
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝6”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“对任意x∈R，均有x2－x＋1＞0”的否定是“存在x∈R，使得x2－x＋1＜0”
D．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为真命题
解析：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故A不正确；“x＝6”⇒“x2－5x－6＝0”，但“x2－5x－6＝0”⇒“x＝6”，故“x＝6”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B不正确；命题“对任意x∉R，均有x2－x＋1＞0”的否定是“存在x∉R，使得x2－x＋1≤0”，故C不正确；命题“若x＝y，则cos x＝cos y”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，故D正确．故选D.
有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，因此是高考的热点，与函数、不等式等重要知识的联系密切，是历年命题者考虑的重要题型．
判断充分条件和必要条件的方法有：①定义法；②等价法；③集合的包含关系，要注意传递性的应用．
(1)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>b
B．p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)的图象不过第二象限
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
解析：B选项中，当b＝1，a>1时，q推不出p成立，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，不能够推出p成立，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因而p为q的充要条件．故本题选A.
答案：A
方程3x2－10x＋k＝0(k∈R)有相异的两个同号实根的充要条件是________．
解析：设方程的两相异同号实根为x1，x2则
∴ ∴0<k<.
答案：0<k<
变式训练
2．(1)(2013·深圳二模)设x、y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的(A)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2013·茂名一模)已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充分条件是(D)
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
解析：(1)由不等式性质知：当x≥1且y≥2时，x＋y≥3；而当x＝2，y＝1.5时满足x＋y≥3，但不满足x≥1且y≥2，故“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的充分不必要条件．
(2)a⊥b⇔2(x－1)＋2×1＝0⇔2x－2＋2＝0⇔x＝0，故选D.
由逻辑联结词联结组成的复合命题的结构判断和命题的真假判断是本专题的重点内容，结构的判断不能只看是否含有逻辑联结词，还要从结构上去判断能否用逻辑联结词联结．命题真假的判断根据真值表即可．
已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，那么实数a的取值范围是( )
A．(－12，－4]∪[4，＋∞)
B．[－12，－4]∪[4，＋∞)
C．(－∞，12)∪(－4，4)
D．[－12，＋∞)
解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．
答案：C
点评：根据命题真假求参数步骤：
(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
(2)判断命题p，q的真假性；
(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
变式训练
3．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数ƒ(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．
解析：∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0＜c＜1，即p：0＜c＜1.
∵c＞0且c≠1，∴綈p：c＞1.
又∵ƒ(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，∴c≤.
即q：0＜c≤，∵c＜0且c≠1，∴綈q：c＞且c≠1.
又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假。
①当p真，q假时，
{c|0＜c＜1}∩＝.
②当p假，q真时，{c|c＞1}∩＝∅.
综上所述，实数c的取值范围是.
全称命题与特称命题真假的判定及含一个量词的命题的否定是高考的另一个重点，多以客观题为主．
全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．
特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题为假．
在下列四个命题中，真命题的个数是( )
①∀x∈R，x2＋x＋3>0；
②∃x0∈Q，x＋x0＋1不是有理数；
③∃x0，β0∈R，使sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0；
④∃x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①中x2＋x＋3＝＋>0，故①是真命题．
②中x0∈Q，则x∈Q，x0∈Q.所以∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数，故②是假命题．
③中α0＝，β0＝－时，sin(x0＋β0)＝sin x0＋sin β0＝0，故③是真命题．
④中x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故④是真命题．
答案：C
写出下列命题的否定，并判断其真假；
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)p：有些三角形的三条边相等；
(3)p：菱形的对角线互相垂直；
(4)p：存在一个实数x，使得3x<0.
解析：(1)这一命题可表述为p：对任意的实数m，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．其否定为綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．
(2)所有三角形的三条边不全相等．
显然綈p为假命题．
(3)綈p：有的菱形对角线不垂直．
显然綈p为假命题．
(4)綈p：对于所有的实数x，都满足3x≥0.
显然綈p为真命题．
变式训练
4．已知下列4个命题：
p1：∃x∈(0，＋∞)，＜；
p2：∃x∈(0，1)，logx＞logx；
p3：∀x∈(0，＋∞)，＞logx；
p4：∀x∈，＜logx.
其中的真命题是(D)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：对于p1：∵x∈(0，＋∞)，＞，
∴＞，故p1为假命题；对于p3；x＝，＜1＝log，故p3为假命题．正确的命题有p2，p4.
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