初二数学(上册)期末考试卷和答案解析.doc

2013-2014学年八年级[上]数学期末考试试卷

一．选择题（共10小题）
1．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．
BC=EC，∠B=∠E
B．
BC=EC，AC=DC
C．
BC=DC，∠A=∠D
D．
∠B=∠E，∠A=∠D

2．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A．
11
B．
5.5
C．
7
D．
3.5

3．（2013•贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（　　）

A．
4cm
B．
6cm
C．
8cm
D．
9cm

4．（2010•海南）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（2013•珠海）点（3，2）关于x轴的对称点为（　　）

A．
（3，﹣2）
B．
（﹣3，2）
C．
（﹣3，﹣2）
D．
（2，﹣3）

6．（2013•十堰）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　）

A．
7cm
B．
10cm
C．
12cm
D．
22cm

7．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）

A．
12
B．
15
C．
12或15
D．
18

8．（2013•烟台）下列各运算中，正确的是（　　）

A．
3a+2a=5a2
B．
（﹣3a3）2=9a6
C．
a4÷a2=a3
D．
（a+2）2=a2+4

9．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（　　）

A．
3x2﹣6x=x（3x﹣6）
B．
﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）

C．
4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）
D．
4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2

10．（2013•恩施州）把x2y﹣2y2x+y3分解因式正确的是（　　）

A．
y（x2﹣2xy+y2）
B．
x2y﹣y2（2x﹣y）
C．
y（x﹣y）2
D．
y（x+y）2

二．填空题（共10小题）
11．（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　_________　．

12．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　_________　度．

13．（2013•枣庄）若，，则a+b的值为　_________　．

14．（2013•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=　_________　．

15．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2=　_________　．

16．（2013•盐城）使分式的值为零的条件是x=　_________　．

17．（2013•南京）使式子1+有意义的x的取值范围是　_________　．

18．（2012•茂名）若分式的值为0，则a的值是　_________　．

19．在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简：　_________　．

20．不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是
　_________　．

三．解答题（共8小题）
21．（2013•遵义）已知实数a满足a2+2a﹣15=0，求﹣÷的值．

22．（2013•重庆）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足．

23．（2007•资阳）设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．
（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．

24．在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD=180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明）

25．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

26．（2005•江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．

27．（2013•沙河口区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点M在AB边上以1单位长度/秒的速度从点A向点B运动，运动到点B时停止．连接CM，将△ACM沿着CM对折，点A的对称点为点A′．
（1）当CM与AB垂直时，求点M运动的时间；
（2）当点A′落在△ABC的一边上时，求点M运动的时间．

28．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　_________　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　_________　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　_________　；
（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　_________　（用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．

2013-2014学年八年级[上]数学期末考试试卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．
BC=EC，∠B=∠E
B．
BC=EC，AC=DC
C．
BC=DC，∠A=∠D
D．
∠B=∠E，∠A=∠D

考点：
全等三角形的判定．4387773
分析：
根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
解答：
解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

2．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A．
11
B．
5.5
C．
7
D．
3.5

考点：
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．4387773
专题：
计算题；压轴题．
分析：
作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
解答：
解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵DE=DG，DM=DE，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，
S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5
故选B．

点评：
本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．

3．（2013•贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（　　）

A．
4cm
B．
6cm
C．
8cm
D．
9cm

考点：
全等三角形的判定与性质．4387773
分析：
求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，证△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可．
解答：
解：∵F是高AD和BE的交点，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
在△DBF和△DAC中

∴△DBF≌△DAC（ASA），
∴BF=AC=8cm，
故选C．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△DBF≌△DAC．

4．（2010•海南）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
全等三角形的判定．4387773
分析：
根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．
解答：
解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；
C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；
D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．
故选B．
点评：
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．

5．（2013•珠海）点（3，2）关于x轴的对称点为（　　）

A．
（3，﹣2）
B．
（﹣3，2）
C．
（﹣3，﹣2）
D．
（2，﹣3）

考点：
关于x轴、y轴对称的点的坐标．4387773
分析：
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．
解答：
解：点（3，2）关于x轴的对称点为（3，﹣2），
故选：A．
点评：
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．

6．（2013•十堰）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　）

A．
7cm
B．
10cm
C．
12cm
D．
22cm

考点：
翻折变换（折叠问题）．4387773
分析：
首先根据折叠可得AD=BD，再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长．
解答：
解：根据折叠可得：AD=BD，
∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm，
∴AD+DC=17﹣5=12（cm），
∵AD=BD，
∴BD+CD=12cm．
故选：C．
点评：
此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

7．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）

A．
12
B．
15
C．
12或15
D．
18

考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：
因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解答：
解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当3为腰时，
其它两边为3和6，
∵3+3=6=6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15．
故选B．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

8．（2013•烟台）下列各运算中，正确的是（　　）

A．
3a+2a=5a2
B．
（﹣3a3）2=9a6
C．
a4÷a2=a3
D．
（a+2）2=a2+4

考点：
同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．4387773
分析：
根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可．
解答：
解：A、3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误；
B、（﹣3a3）2=9a6，原式计算正确，故本选项正确；
C、a4÷a2=a2，原式计算错误，故本选项错误；
D、（a+2）2=a2+4a+4，原式计算错误，故本选项错误；
故选B．
点评：
本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．

9．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（　　）

A．
3x2﹣6x=x（3x﹣6）
B．
﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）

C．
4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）
D．
4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2

考点：
因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．4387773
专题：
计算题．
分析：
根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：
解：A、3x2﹣6x=3x（x﹣2），故本选项错误；
B、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故本选项正确；
C、4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误；
D、4x2﹣2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．
故选B．
点评：
本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．

10．（2013•恩施州）把x2y﹣2y2x+y3分解因式正确的是（　　）

A．
y（x2﹣2xy+y2）
B．
x2y﹣y2（2x﹣y）
C．
y（x﹣y）2
D．
y（x+y）2

考点：
提公因式法与公式法的综合运用．4387773
分析：
首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
解答：
解：x2y﹣2y2x+y3
=y（x2﹣2yx+y2）
=y（x﹣y）2．
故选：C．
点评：
本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

二．填空题（共10小题）
11．（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　1+　．

考点：
轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．4387773
专题：
压轴题．
分析：
连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．
解答：

解：连接CE，交AD于M，
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，
∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=60°，DE=1，
∴BE=，BD=，
即BC=1+，
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+，
故答案为：1+．
点评：
本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．

12．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　15　度．

考点：
等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
解答：
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为：15．
点评：
本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．

13．（2013•枣庄）若，，则a+b的值为　　．

考点：
平方差公式．4387773
专题：
计算题．
分析：
已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．
解答：
解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a﹣b=，
∴a+b=．
故答案为：．
点评：
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

14．（2013•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=　3　．

考点：
因式分解-运用公式法．4387773
分析：
将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值．
解答：
解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，
故m+n=3．
故答案为：3．
点评：
本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．

15．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2=　3（a﹣2b）2　．

考点：
提公因式法与公式法的综合运用．4387773
分析：
先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．
解答：
解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．
故答案为：3（a﹣2b）2．
点评：
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．

16．（2013•盐城）使分式的值为零的条件是x=　﹣1　．

考点：
分式的值为零的条件．4387773
分析：
分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．
解答：
解：由题意，得
x+1=0，
解得，x=﹣1．
经检验，x=﹣1时，=0．
故答案是：﹣1．
点评：
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

17．（2013•南京）使式子1+有意义的x的取值范围是　x≠1　．

考点：
分式有意义的条件．4387773
分析：
分式有意义，分母不等于零．
解答：
解：由题意知，分母x﹣1≠0，即x≠1时，式子1+有意义．
故填：x≠1．
点评：
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

18．（2012•茂名）若分式的值为0，则a的值是　3　．

考点：
分式的值为零的条件．4387773
专题：
探究型．
分析：
根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．
解答：
解：∵分式的值为0，
∴，
解得a=3．
故答案为：3．
点评：
本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

19．在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简：　　．

考点：
最简分式．4387773
专题：
开放型．
分析：
在这几个式子中任意选一个作分母，任意另选一个作分子，就可以组成分式．因而可以写出的分式有很多个，把分式的分子分母分别分解因式，然后进行约分即可．
解答：
解：==，
故填：．
点评：
本题主要考查分式的定义，分母中含有字母的有理式就是分式．并且考查了分式的化简，首先要把分子、分母分解因式，然后进行约分．

20．不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是
　　．

考点：
最简分式．4387773
分析：
首先将分子、分母均乘以100，若不是最简分式，则一定要约分成最简分式．本题特别注意分子、分母的每一项都要乘以100．w W w .
解答：
解：分子、分母都乘以100得，，
约分得，．
点评：
解题的关键是正确运用分式的基本性质．

三．解答题（共8小题）
21．（2013•遵义）已知实数a满足a2+2a﹣15=0，求﹣÷的值．

考点：
分式的化简求值．4387773
分析：
先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a2+2a﹣15=0进行配方，得到一个a+1的值，再把它整体代入即可求出答案．
解答：
解：﹣÷=﹣•=﹣=，
∵a2+2a﹣15=0，
∴（a+1）2=16，
∴原式==．
点评：
此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值．

22．（2013•重庆）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足．

考点：
分式的化简求值；解二元一次方程组．4387773
专题：
探究型．
分析：
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a、b的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式=÷﹣
=×﹣
=﹣
=﹣，
∵，
∴，
∴原式=﹣=﹣．
点评：
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

23．（2007•资阳）设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．
（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．

考点：
因式分解-运用公式法．4387773
专题：
规律型．
分析：
（1）利用平方差公式，将（2n+1）2﹣（2n﹣1）2化简，可得结论；
（2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律．
解答：
解：（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1=8n，（3分）
又n为非零的自然数，
∴an是8的倍数．（4分）
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（5分）
说明：第一步用完全平方公式展开各（1），正确化简（1分）．

（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．（7分）
n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数（8分）
说明：找完全平方数时，错一个扣（1），错2个及以上扣（2分）．
点评：
本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力．

24．在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD=180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明）

考点：
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．4387773
专题：
证明题．
分析：
（1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DM=DN，再根据∠AED+∠AFD=180°，平角的定义得∠AFD+∠DFN=180°，可以推出∠DFN=∠AED，然后利用角角边定理证明△DME与△DNF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）不一定成立，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段上或垂线段与点A的两侧，则成立，若是同侧则不成立．
解答：
解：（1）DE=DF．
理由如下：
过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠AED+∠AFD=180°，∠AFD+∠DFN=180°，
∴∠DFN=∠AED，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DE=DF；

（2）不一定成立．
如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立，
经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，
所以不一定成立．

点评：
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，从题目提供信息找出求证的思路是解题的关键，读懂题目信息比较重要．

25．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．4387773
专题：
压轴题；动点型．
分析：
（1））由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
解答：
解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，
∴AP=2；

（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

点评：
本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．

26．（2005•江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．w W w .
（1）求证：AB⊥ED；
（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．

考点：
翻折变换（折叠问题）；直角三角形全等的判定．4387773
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
做此题要理解翻折变换后相等的条件，同时利用常用的全等三角形的判定方法来判定其全等．
解答：
证明：（1）由题意得，∠A+∠B=90°，∠A=∠D，
∴∠D+∠B=90°，
∴AB⊥DE．（3分）

（2）∵AB⊥DE，AC⊥BD
∴∠BPD=∠ACB=90°，
∴在△ABC和△DBP，
，
∴△ABC≌△DBP（AAS）．（8分）
说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：
△APN≌△DCN、△DEF≌△DBP、△EPM≌△BFM．
点评：
此题考查了翻折变换及全等三角形的判定方法等知识点，常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、HL等．

27．（2013•沙河口区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点M在AB边上以1单位长度/秒的速度从点A向点B运动，运动到点B时停止．连接CM，将△ACM沿着CM对折，点A的对称点为点A′．
（1）当CM与AB垂直时，求点M运动的时间；
（2）当点A′落在△ABC的一边上时，求点M运动的时间．

考点：
翻折变换（折叠问题）．4387773
分析：
（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，CM与AB垂直，易证得△ACM∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AM的长，即可得点M运动的时间；
（2）分别从当点A′落在AB上时与当点A′落在BC上时去分析求解即可求得答案．
解答：
解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB，
∴∠A=∠A，∠AMC=∠ACB=90°，
∴△ACM∽△ABC，
∴，
∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∴AM==，
∴点M运动的时间为：；

（2）①如图1，当点A′落在AB上时，
此时CM⊥AB，
则点M运动的时间为：；
②如图2，当点A′落到BC上时，CM是∠ACB平分线，
过点M作ME⊥BC于点E，作MF⊥AC于点F，
∴ME=MF，
∵S△ABC=S△ACM+S△BCM，
∴AC•BC=AC•MF+BC•ME，
∴×3×4=×3×MF+×4×MF，
解得：MF=，
∵∠C=90°，
∴MF∥BC，
∴△AMF∽△ABC，
∴，
即，
解得：AM=，
综上可得：当点A′落在△ABC的一边上时，点M运动的时间为：或．

点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．

28．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　120°　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　90°　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　60°　；
（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　180°﹣α　（用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．

考点：
等边三角形的判定与性质．4387773
专题：
证明题；探究型．
分析：
（1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数．
如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°．
如图3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°．
（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°﹣α．
（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，