高一数学平面向量知识点及典型例题解析.doc

高一数学 第八章 平面向量
第一讲 向量的概念与线性运算
一．【要点精讲】
1．向量的概念
①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法，；坐标表示法。
向量的模（长度），记作||.即向量的大小，记作｜|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，规定平行于任何向量。（与0的区别）
③单位向量｜｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作∥
⑤相等向量记为。大小相等，方向相同
2．向量的运算
（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.
如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b
特殊情况：

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”。
②向量减法： 同一个图中画出
要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.
（3）实数与向量的积
3．两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。
二．【典例解析】
题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念
例1判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，，则；
(7)若，，则 (8) 的充要条件是且；
(9) 若四边形ABCD是平行四边形,则
练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律
例2 化简=
练习1.下列命题中正确的是
A． B．
C． D．
2.化简得
A． B． C． D．

3．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则(　　)
A.＋＋＝0 B.－＋＝0
C.＋－＝0 D.－－＝0

题型三: 结合图型考查向量加、减法
例3在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是( )
A． B． C． D．
例4重心、垂心、外心性质

A
B
C
D
E
练习: 1．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，．

2已知求证
3若为的内心，且满足，则的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝(　　)
A．2－ B．－＋2 C.－ D．－＋
5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0，则等于________．

6．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则(　　)
A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上 C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上

7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B. C．－ D．－
题型四: 三点共线问题
例4 设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值
例5已知A、B、C、P为平面内四点， A、B、C三点在一条直线上 =m+n，求证： m+n=1．

练习：1．已知：，则下列关系一定成立的是（ ）
A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线
C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线
2．(原创题)设a，b是两个不共线的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．

第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示
一．【要点精讲】
1．平面向量的基本定理
如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的_单位向量_ 、作为基底任作一个向量，有且只有一对实数、，使得…………，把叫做向量的（直角）坐标，记作…………其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示
与相等的向量的坐标也为特别地，，，
特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示
3．平面向量的坐标运算
（1）若，，则=，=
（2） 若，，则 （3）若和实数，则
4．向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中¹
B
C
A
O
M
D
∥ (¹)的充要条件是
二．【典例解析】
题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量
[例1] 在△OAB中，，AD与BC交于点M，
设=，=，用,表示.
练习:1．若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )
A．与— B．3与2 C．＋与— D．与2
2．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算
例3 已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且,,求点M、N的坐标及向量的坐标.

练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A．(2，) B．(2，－) C．(3,2) D．(1,3)

2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；

3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P在MN的延长线上，且 ,
求P点的坐标；

4.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
5．在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，
则点C的坐标是(　　)
A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2)

6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)
A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6)
7．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a 等于(　　)
A．2 B．1 C. D.
题型三: 平行、共线问题
例4已知向量，，若∥，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．

例5．（2009北京卷文）已知向量，
如果那么 ( )
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
练习：1．若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x

2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，
求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。
(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。

3．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为(　　)
A．－1 B．－ C. D．1

4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于(　　)
A．－ B．2 C. D．－2

5．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是(　　)
A．m≠－2 B．m≠ C．m≠1 D．m≠－1

6．已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。

题型四：平面向量综合问题
例6． 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，　， .
（1） 若//，求证：ΔABC为等腰三角形；
（2） 若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .

练习已知点A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求点C、D的坐标和的坐标．

第三讲 平面向量的数量积及应用
一．【要点精讲】
（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；
说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围0°≤q≤180°。
C

（2）数量积的概念
非零向量与， ·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定；
向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
（3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积.
注意：⑴只要⊥就有·=0，而不必=或=．
⑵由·=·及≠0却不能推出=．得||·||cosθ1=||·||cosθ2及||≠0，只能得到||cosθ1=||cosθ2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图)．
⑶ (·)≠(·)，向量的数量积是不满足结合律的．
⑷对于向量、，有|·|≤||·||，等号当且仅当∥时成立．
（4）向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系：。
②乘法公式成立
；；
③向量的夹角：cos==。
（5）两个向量的数量积的坐标运算
已知两个向量，则·=。
（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。
两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O
（7）平面内两点间的距离公式设，则或。
(平面内两点间的距离公式) .
二．【典例解析】
题型一：数量积的概念
例1．判断下列各命题正确与否：
（1）；（2）； （3）若，则；
（4）若，则当且仅当时成立；
（5）对任意向量都成立；
题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用
例2
；

题型三：向量垂直、平行的判定
例3．已知向量，，且，则 。
例4．已知，，，按下列条件求实数的值。
（1）；（2）；。

例5．已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（1） 若||，且，求的坐标；
（2）若||=且与垂直，求与的夹角.
练习1 若非零向量、满足，证明:

2 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值

3．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．

4.

5．知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（ ）
A． B． C． D．

题型四：向量的夹角
例6已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，求与的夹角

练习1已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。

2．| |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°

3．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝(　　)
A．150°　　 　B．120° C．60° D．30°

4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为(　　)
A．30°或150° B．60°或120° C．120° D．150°

5.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
解析：取△ABC为正三角形易得＝3．选B．
4. 设向量与的夹角为，，，则　　　　　．

5．在△ABC中，(＋)·＝||2，则三角形ABC的形状一定是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
.

6已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．

题型五：求夹角范围
例7已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是
A.[0,] B. C. D.

练习1．设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围
2．已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是

3．设两个向量、，满足，，、的夹角为60°，若向量与向量 的夹角为钝角，求实数的取值范围.

4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
A
B
C
a
的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.
（以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系）

题型六：向量的模
例8．已知向量与的夹角为，则等于（ ）
A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1
练习1平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于 （ ）
A. B.2 C.4 D.12

2．已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证：⊥；（2）若，求的取值范围.

3．平面向量中，已知，且，则向量______.
4．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的投影为 。

5．设向量满足，则 。

6．已知向量的方向相同，且，则___ ___。

7、已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （ )
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心

题型七：向量的综合应用
例9．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上一点P，使·有最小值，则P点的坐标是________．

练习1．已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则的值为(　　)
A. B. C．2 D.

2．已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则·＝(　　)
A.a2 B．－a2 C.a2 D．－a2

4．(原创题)三角形ABC中AP为BC边上的中线，||＝3，·＝－2，则||＝________.

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m＝(cos，sin)，n＝(cos，sin)，且满足|m＋n|＝.
(1)求角A的大小；

6．在中，，的面积是，若，，则( )

7．已知为原点，点的坐标分别为，，其中常数，点在线段上，且有，则的最大值为（ ）

8．已知向量， 。
（1）当，求；
（2）若≥对一切实数都成立，求实数的取值范围。

9. 若正方形边长为1，点在线段上运动，则的取值范围是　　　 　　．[-2，]

10. 已知是两个互相垂直的单位向量, 且,,,则对任意的正实数,的最小值是　　 　.

各区期末试题
A
B
C
D
E
10. 在矩形中，，，是上一点，且，则的值为（ ）

A
B
P

O
19.如图，点是以为直径的圆上动点，是点关于的对称点，.
（Ⅰ）当点是弧上靠近的三等分点时，求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值.

（6）如图所示，点在线段上，且，则 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
(16) 在平面直角坐标系中，已知点，，，点是直线上的一个动点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若四边形是平行四边形，求点的坐标；
（Ⅲ）求的最小值.

3已知、、三点的坐标分别为、、，且.
⑵ 若，求角的值；
⑵ 若，求的值.

2已知二次函数对任意，都有成立，设向量
，当时，求不等式的解集.
2.若点是所在平面内一点，且满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
6.已知为一平面上的定点，，，为此平面上不共线的三点，若， 则的形状是 .
8.已知向量，.
（1）当∥时，求的值；
（2）设，为函数的两个零点，求的最小值．

(5)如图，用向量e1，e2表示向量a-b为 ( )
(A)-2e 2-4e 1
(B)-4e 2-2e 1
(C)e 2-3e 1
(D)-e 2+3e1

(12)已知=+，设=λ，那么实数λ的值是____________．
(16)已知向量a=(1，)，b=(-2，0)．
(Ⅰ)求向量a-b的坐标以及a-b与a的夹角；(Ⅱ)当t∈[-1，1]时，求|a-tb|的取值范围．