初中数学新人教版八上期考压轴题总汇编.doc

标准
初中数学新人教版八上期考压轴题汇编（三角形部分）
一、动点问题：
例1（1）如图10，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M为AB中点，AF=CE，请判断△MEF的形状.
　　（2）已知：如图11在Rt△ABC中, AC=BC, ∠C=90°，点D为AB上任一点，DF⊥AC于F， DE⊥BC于E，M为BC的中点.
　　① 判断△MEF是什么形状的三角形并证明你的结论.
　　② 当点D在AB上运动时，四边形FMEC的面积是否会改变,并证明你的结论．
　　③ 当点D在BA的延长线上运动时，如图12，①中的结论还成立吗？

　　思路点拨：在等腰三角形中，M为底边AB的中点，连结CM是常用的辅助线．
　　解析：（1）△MEF是等腰直角三角形．
　　　　　（2）①△MEF是等腰直角三角形．理由如下：
　　　　　　　　 连结CM，如图13
　　　　　　　　 ∵DF⊥AC于F， DE⊥BC于E，∠ACB=90°
　　　　　　　　 ∴四边形CEDF为长方形，∴DF=CE
　　　　　　　　 ∵在Rt△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，
　　　　　　　　 M为AB中点，
　　　　　　　　 ∴∠A=∠1=45°，CM⊥AB，AM=BM=CM．　　　　　　　　　　　图 13
　　　　　　　　 ∵在Rt△ADF中，∠A=45°
　　　　　　　　 ∴AF=DF，∴AF=CE
　　　　　　　　 ∵在△AMF和△CME中

　　　　　　　　 ∴△AMF≌△CME（SAS）
　　　　　　　　 ∴MF=ME，∠2=∠3
　　　　　　　　 ∵∠2+∠CMF=90°，∴∠3+∠CMF=90°，即∠EMF=90°
　　　　　　　　 ∴△MEF是等腰直角三角形．
　　　　　　　 ②当点D在AB上运动时，四边形FMEC的面积不会改变，证明如下：
　　　　　　　　 由①可知，△AMF≌△CME，∴S△AMF=S△CME．
　　　　　　　　 ∵S△ACM=S△BCM，∴S△CMF=S△BME，
　　　　　　　　 ∴S四边形FMEC=S△CMF+ S△CME=S△ABC．
　　　　　　　　 ∴四边形FMEC的面积不会改变．
　　　　　　　 ③成立，理由如下：连结CM，如图14
　　　　　　　　 ∵DF⊥AC于F， DE⊥BC于E，∠ACB=90°
　　　　　　　　 ∴四边形CEDF为长方形，∴DF=CE
　　　　　　　　 ∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M为AB中点，
　　　　　　　　 ∴∠BAC=∠1=45°，CM⊥AB，AM=BM=CM．
　　　　　　　　 ∴∠MAF=∠MCE=135°．
　　　　　　　　 ∵在Rt△ADF中，∠DAF=∠BAC=45°
　　　　　　　　 ∴AF=DF，∴AF=CE
　　　　　　　　 ∵在△AMF和△CME中

　　　　　　　　 ∴△AMF≌△CME（SAS）
　　　　　　　　 ∴MF=ME，∠AMF=∠CME
　　　　　　　　 ∵∠CME+∠AME=90°，∴∠AMF+∠AME=90°，即∠EMF=90°
　　　　　　　　 ∴△MEF是等腰直角三角形．
　　总结升华：对比（2）中的①与③，都是先证明四边形CEDF是长方形，从而得到AF=CE，接着证△AMF≌△CME，得到MF=ME，且∠EMF=90°，可以看出这两问的证明思路大体上是相同的．也就是说，在这类问题中，可以通过第一问的解决来推测下面问题的推理方法，从而达到解题的目的．

　　举一反三
　　【变式1】已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．当绕点旋转到时（如图15），易证．当绕点旋转到时，在图16和图17这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

　　【答案】
　　图16，延长EA到O，使得OA=CF，连结OB，易证△ABO≌△CBF，OB=BF，进而证明△BEF≌△BEO，即可得到EF=AE+CF．
　　图17中，在AE中取一点O，使得OA=CF，连结OB，易证△ABO≌△CBF ，OB=BF，进而证明△BEF≌△BEO，即可得到EF=AE-CF．

　　【变式2】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图18），易证．
　　（1）当绕点旋转到时（如图19），线段和之间有怎样的数量
　 　　　关系？写出猜想，并加以证明．
　　（2）当绕点旋转到如图20的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

　　【答案】此题与第1题方法相同．
　　（1）BM+DN=MN；（2）DN-BM=MN．

21．如图1，点O是边长为1的等边△ABC内的任一点，设∠AOB=°，∠BOC=°
（1）将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD,如图2所示. 求证：OD=OC。
（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，连结DE，如图3所示. 求证：OA=DE
（3）在（2）的基础上， 当、满足什么关系时，点B、O、D、E在同一直线上。并直接写出AO+BO+CO的最小值。

27．已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）与的大小关系如何？试证明你的结论．

21、（8分） 已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点 H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．

25.(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°,AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF 的形状并说明理由。

21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．
（1）求证：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．

考点：
等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
专题：
探究型。
分析：
（1）根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明△AED≌△DFA即可；
（2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长．
解答：
（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，
而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，
AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，
∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，
∴△AED≌△DFA（SAS），
∴AF=DE；

（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK，
∵∠BAD=45°，
∴∠HAB=∠KDC=45°，
∴AB=BH=AH，
同理：CD=CK=KD，
∵S梯形ABCD=，AB=a，
∴S梯形ABCD==，
而S△ABE=S△DCF=a2，
∴=2×a2，
∴BC=a．

点评：
本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式，属于中档题目．

15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　50°　．

考点：
翻折变换(折叠问题)；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。
分析：
利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可．
解答：
解：连接BO，
∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB＝∠ABO＝25°，
∵等腰△ABC中， AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠OBC＝65°－25°＝40°，
∵，
∴△ABO≌△ACO，
∴BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB＝40°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，
∴∠CEF＝∠FEO＝＝50°，
故答案为：50°．

点评：
此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．

【9. 2012泰安】
26．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．

考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
解答：证明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，
∵在△DBH和△DCA中
∵∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD，
∴△DBH≌△DCA，
∴BH=AC．
（2）连接CG，
∵F为BC的中点，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
在△ABE和△CBE中
∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：BG2﹣GE2=EA2．

26．（12分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形．
专题：
压轴题．
分析：
（1）①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC，从而得到∠F=∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；
②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；
（2）连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，从而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，全等三角形对应角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可．
解答：
（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∴∠F=∠BEF，
∴BF=BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF=BE，∠FBC=90°，
∴∠F=∠BEF=45°，
∵G是EF的中点，
∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，
∵∠FAD=90°，
∴AF=AD，
又∵AD=BC，
∴AF=BC，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∴∠FAG=∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，
即∠GAC+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；

（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG=BG，∠FBG=60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠AFG=∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD=∠FDC，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣60°=120°，
∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，
∴△AGC是等边三角形．

点评：
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

文案