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三原县北城中学高一数学导学案 必修四（试用）基本初等函数 1。1。1角的概念的推广一、复习： 角的概念：（1）在初中我们把有公共顶点的 组成的 叫做角，这个公共顶点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。(2)角可以看成是一条射线绕着它的从一个位置旋转到另一个位置所成的。二、自主学习：自学，回答：1。正角、负角、零角：一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向：方向和 方向，习惯上规定：按照 方向旋转而成的角为正角；按照 方向旋转而成的角为负角，当射线没有时为零角。注意：（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的和旋转的，旋转生成的角，又常叫做 角。（2）引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以化为 ，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的 。2.终边相同的角：设表示任意角，所有与终边相同的角以及本身组成一个集合，这个集合可记为S 。终边相同的角有个，相等的角终边一定，但终边相同的角不一定。3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与重合，角的始边与重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 属于任何象限。三、典型例题：1。自学、例1、例2、例4完成练习A2。自学例3完成下面填空：终边落在x轴正半轴上角的集合表示为 终边落在x轴负半轴上角的集合表示为 终边落在x轴上角的集合表示为终边落在y轴正半轴上角的集合表示为 终边落在y轴负半轴上角的集合表示为 终边落在坐标轴上角的集合表示为.第一象限角的集合表示为 第二象限角的集合表示为第三象限角的集合表示为 第四象限角的集合表示为3。补充例题： 例5。已知是第一象限的角，判断、分别是第几象限角？练习：练习B2、3、54。小结：5。作业： 1.在“1604809601600”这四个角中属于第二象限角的是（）A.B.C.D.2.下列命题中正确的是（）A.终边相同的角都相等B.第一象限的角比第二象限的角小C.第一象限角都是锐角D.锐角都是第一象限角3.射线OA绕端点O逆时针旋转120到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270到达OC位置，则AOC（）A.150B.150C.390D.3904.如果的终边上有一个点P（0，3），那么是（）A.第三象限角B.第四象限角C.第三或四象限角D.不属于任何象限角5.与405角终边相同的角（）A. k36045 kzB. k360405 kzC. k360+45 kzD. k180+45 kz6.（2005年全国卷）已知是第三象限角，则所在象限是（）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限15030x0y7.把1050表示成k360+（kz）的形式，使最小的值是8.（2005年上海抽查）已知角终边与120终边关于y轴对称，则的集合S.9.已知终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么10。在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们是哪个象限角：457604801.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算一、复习：（1）1度角是指把圆周 等份，其中每一份所对的圆心角的度数。这种用 来度量角的制度叫角度制。 （2）设圆心角为的圆弧长为，圆的半径为r，则= ；= 。二、自主学习：自学课本-回答： 1。1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角。这种用 来度量角的制度叫弧度制。 弧度记作 。 2。圆心角或弧长公式：在半径为r的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为rad，则= ；= 。3。角度与弧度的换算： 360= rad；1800 = rad； 1rad rad； n rad 1 rad ；rad4.完成下面的填空：度030456090120135150180弧度度210225240270300315330360弧度5。角的集合与实数集R之间是 对应关系。6. 设扇形的圆心角是rad，弧长为，半径为r，则扇形面积公式S三、典型例题：自学课本-例1-例5完成练习A、B四、小结：五、作业：1。等于（ ）rad A. B. C. D. 2. 等于 （ ） A。 B。 C。 D。3.2rad，则终边在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（）A. 1B. C.或D.或5.扇形圆心角为，半径为R，则扇形内切圆面积与扇形面积之比（）A.1：3B.2：3C.4：3D.4：96。= rad; = 度；= rad; = 度。7.一个扇形弧长为5cm，面积为5cm2,则这个扇形圆心角的弧度数8.在1小时15分时，时针和分针所成最小正角是弧度。 1。1任意角的概念及弧度制习题课一、复习：1。正角、负角、零角的概念 2。与终边相同的角如何表示？3。象限角是如何定义的？ 4。用弧度表示终边落在 x 轴上的角的集合表示为 终边落在y轴上的角的集合表示为 终边落在坐标轴上的角的集合表示为 5。用弧度表示终边落在第一象限的角的集合表示为 终边落在第二象限的角的集合表示为 终边落在第三象限的角的集合表示为 终边落在第四象限的角的集合表示为 6。= rad ；= rad rad；= 度；n rad1rad ；rad7。设扇形的圆心角是rad，弧长为，半径为r，则= ；扇形面积公式S二、典型例题：例1。已知1680（1）把改写成k360+（kz，0360）的形式。 （2）把改写成+2k(kz，02)的形式。（3）求，使与终边相同且360360并判断属第几象限。例2 .若集合A，B 求AB；AB例3ABO如图扇形AOB的面积为4cm2,周长为10cm，求AB弧的长及扇形中心角三、练习：习题1-1A、B 补充： 1.已知下列各角787-957-2891711，其中在第一象限的角是（） A. B. C. D. 2.已知集合M第一象限角，N锐角，P小于90的角，则下列关系式中正确的是（） A. MNPB. M PC. MP=ND. NPP 3.下列各组两个角中，终边不相同的一组角是（） A.43与677B.900与1260C.150与630D.120与9604.设集合M，N，则集合M与N关系是（） A.M NB.M NC.MND.MN 5.下列诸命题中，假命题是（） A.“度”与“弧度”是度量角两种不同的度量单位B.一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C.根据弧度定义，180一定等于弧度D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关6.三角形三个内角之比为2：5：8则各角的弧度数分别为。7。终边在直线y=x上的角表示为。 8。将下列各角化成2k+（kz，02）的形式，并确定其所在象限 四、小结：五、作业：1.若、终边相同，则的终边在（） A.x轴正半轴B.y轴正半轴C.x轴负半轴D.y轴负半轴 2. 已知是第四象限角，则是（） A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第二或第四象限角 3. .若，则的范围是（） A.0B.0C.D.4.终边在直线y=x上的角的集合为（） A.B.C.D.5.集合M，N，则MN等于（）A.B.C.D.6.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（）A.1B. C.或D.或7.扇形的圆心角为72，半径为5cm，圆心角= rad;它的弧长为;面积为。8.与496终边相同的角是；它是第象限角，它们中最小正角是,最大负角是。PQAOxy9.（2005吉林调研）如图动点P、Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转 弧度。点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P、Q第一次相遇时P、Q点各自走过的弧度为，。1.2.1任意角的三角函数一、复习：锐角三角函数的定义： 如图：设P(x,y)是角终边上不同于原点的任意一点，Px轴，r，当为锐角时sin= ;cos= ;tan= .二、自主学习：自学-完成下面的填空：。三角函数的定义：设P(x,y)是角终边上不同于原点的任意一点，r，(r=，r0)则：sin= ;cos= ;tan= . sec= ;csc= ;cot= .思考：三角函数是函数吗？2. 三角函数的定义域：完成下表三角函数定 义 域sincostan。三角函数符号：sin=：若y0，则sin 0;此时的终边在第 象限或第 象限 或在 上；若y0,则sin 0;此时的终边在第 象限或第 象限 或在 上.若y=0,则sin 0;此时的终边在 轴上。cos=：若x0，则cos 0;此时的终边在第 象限或第 象限 或在 上； 若x0，则cos 0;此时的终边在第 象限或第 象限 或在 上.若x=0,则cos 0;此时的终边在 轴上。tan=，若x、y号，则tan0，此时的终边在第 象限或第 象限若x、y号，则tan0. 此时的终边在第 象限或第 象限若y=0, 则tan 0;此时的终边在 轴上。若x=0, 则tan不存在，此时的终边在 轴上。 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 三、典型例题： 1。自学例1、例2，完成练习A1、2、3题 2。自学例3、例4，完成练习A4题、练习B 3。补充： 例：已知角的终边落在直线y=3x上，求sin、cos和tan的值。四、小结：五、作业： 1.已知的终边过点P（4，3），则下面各式中正确的是（）A.sin=B.cos=-C.tan=-D.cot=-2.若角的终边上有一点P（）（），则sintan的值是（） A.B.C.D.3.已知角的终边经过点P（a，b），其中a0，b0,在的六个三角函数中，符号为正的是（） A.sin与cscB.cos与secC.tan与cotD.sec与csc4.若角的终边与直线y=3x重合，且sin0，又P（m，n）是终边上一点，且，则mn（）A.2B.2C.4D.4 5.已知点P（3，y）在角的终边上，且满足y0，cos=，则tan的值为（）A.B.C.D.6若sincos0，则在第象限。7.若，则x的取值范围是。 则f()+f()=8.已知f(x)= cosx (x1) f(x1)1 (x1) 9. 函数y=值域是10. 5+2cos0+4tan0-3+10cos-2tan= . 11.已知角的终边上一点P（x，3）(x0)，且cos=. 求sin,tan1。2。2单位圆与三角函数线AO一、复习：1。什么是向量？数轴上向量的坐标或数量是如何定义的？ 如图：A（x）是数轴上一点，则的坐标OA= ；的坐标AO= 2。设P(x,y)是角终边上不同于原点的任意一点，r，(r=，r0) 则：sin= ;cos= ;tan= . 当r=1时sin= ;cos= 。 3. = ; = ; = ; = ; = ; = ; = ; 4。三角函数在各象限的符号如何？二、自主学习：自学-完成下面的填空： 1。单位圆：半径为 的圆叫单位圆。 2。正射影：如图示：单位圆的圆心在坐标原点O，设角的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x,y）过点P作Px轴于点，作PNy轴于点N，则点、N分别是点P在x轴、y轴上的 （简称 ）MP(cos,sin)xyB(0,-1)A(1,0)B(0,1)A(-1.0)MN0xyN0A(1,0)TyT(1,tan)（1）（2） 由三角函数定义可知：sin= ;cos= 。又r=1，所以sin= ;cos= 。即P点的坐标为（ ， ），其中OM= ；ON= 。由此可得：角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的 坐标和坐标。3。三角函数线：在上面图2中，向量 、 、 分别叫做角的余弦线、正弦线和正切线。思考：当=x(rad)且0x, 则、sin、tan的大小关系是 。三、典型例题：1。自学例，完成练习A、B2。补充例1。在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围，并由此写出角的集合： （1）sin；（2）cos.四、小结：五、作业： 1.已知角的正弦线的长度为单位长度，那么角的终边（）A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=x上2.下列判断中错误的是（） A.一定时，单位圆中的正弦线一定B.单位圆中，有相同正弦线的角相等C.和+具有相同的正切线D.具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上3.角（02）的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么的值为（） A.或B.或C.或D.或4.已知x()，则sinx与cosx的大小关系是（）A.sinxcosxB.sinxcosxC.sinxcosxD.sinxcosx5.若2sin=3cos，则的终边可能在（）xy0MPTA A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第二、四象限6.如图所，POx的正弦线为， 余弦线为，正切线为。7.设M，N，且MN. 8.在各坐标系内分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. （1）；（2）；（3）-；（4）.9.利用三角函数线解答下列各题：（1）已知0,2），且tansin,求角的范围。（2）已知0,2），且sincos，求角的范围。10.利用三角函数线证明.1。2。3同角三角函数的基本关系式一、复习： 倒数关系：sincsc= cossec= tancot=二、自主学习：利用学过的知识推导： 1。平方关系：sin2x+cos2x= 2。商数关系；三、典型例题：1。求值问题：（1）自学例1、例2、例3完成练习A。1（2） 思考：若把例1中“是第二象限的角”去掉，该题如何求解？ 练习：练习B。1 （3）“1”的妙用： 例：已知，求下列各式的值。（1）；（2）sin2-2sincos+1. 练习：练习B。2 2。化简：自学例4、例5 注意：化简时尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化为同角、同名，尽量化成最简形式等。 练习：练习A。2、4 B。3 3.证明：自学例6。完成练习A。3，练习B 4、5四、小结：五、作业； 1.已知cos=-,（0，），则tan等于（） A.B.-C.D.2.若（0，2），且，则的取值范围是（） A.0，）B.，C.，）D.，2） 3。函数y=的值域是（） A.3，1B.1，3C.3，1，1D.1，1，3 4。5.已知sin=，cos=，则m（） A.可取，9中的一切值B.等于0C.等于8D.等于0或85. tan=2，那么，1+sincos=（）A.B.C.D. 6. sin+cos=1则(sin)2006+(cos)2006. 7.已知sin=且tan0，则cos=.8.化简sin2+sin2sin2sin2+cos2cos2=.9。已知sin=，求cos、tan的值.10。已知sin+cos=，且0180，求tan的值.11。已知tan2=2tan2+1，求证：sin2=2sin2-1. 12.化简 若,化简；若，化简.1.2.4诱导公式（一）一、复习：与终边相同的角为 。二、自主学习：1。思考：（1）终边与-终边关于 对称。 （2）终边与+，（kZ）的终边互为 。 （3）设终边与单位圆的交点为P,则P（ ， ） 若-终边、+，（kZ）的终边与单位圆分别角于两点， 则P与关于 对称，因此（ ， ） P与关于 对称，因此（ ， ）2。诱导公式：（1）角与+k2(kZ)的三角函数间的关系 cos(+k2)=；sin(+k2)=；tan(+k2)=.由三角函数定义可知：（cos(-),sin(-)）, （cos(+）,sin(+)又由上面思考3可得：（2）角与的三角函数间的关系 cos(-)=； sin(-)=； tan(-)=.（3）角与+(2k+1)(kZ) cos+(2k+1)=；sin+(2k+1)= ；tan+(2k+1)=.三、典型例题： 1。自学、例1、例2完成练习A、B 2。自学例3、例4、例5完成练习A、B 3。证明：sin(-)=sin; cos(-)=-cos; tan(-)= -tan四、小结：五、作业： 1. tan600的值是（） A.B. C.D. 2. 对于R，下列等式中恒成立的是（） A.sin(2-)=sinB.cos(-)=-cosC.cos(-)=cos(2+)D.tan(+)=tan(2+)3.sin2(+)-cos(+)cos(-) +1的值是（） A.1B.2sin2C.0D.24.若sin(-)=，且（-），则cos(+)的值为（） A.B.- C.D.以上都不对5.化简的结果是（） A.sin3-cos3B.cos3-sin3C.(sin3-cos3)D.以上都不对 6. tan(5+)=m，则=（） A.B.C.-1D.1 7. 若，则a2+a+1的值等于（） A. 1B. sin2C. cos2D. 3 8.计算sin.9.设f(x)=和g(x)= Sinx (x0) cosx (x) f(x-1)+1, (x0) g(x-1)+1, (x) 则g()+f()+g()+f()的值为. 10求下列三角函数式的值.（1）sin495cos(-675)；（2）.11.化简.12.已知sin(+)=且sincos0 求1.2.4诱导公式（二）一、复习：1。完成下面填空： = ；= ；= 。 = ；= ；= 。 = ；= ；= 。2。公式一：cos(+k2)= ；sin(+k2)= ；tan(+k2)= .3。公式二： cos(-)= ； sin(-)= ； tan(-)= .4。公式三：cos+(2k+1)= ；sin+(2k+1)= ；tan+(2k+1)= 。(kZ)5。根据公式三完成下面填空：sin(+)=；cos(+)=；tan(+)=。 sin()=；cos()=；tan()=。 二、自主学习：自学完成下面填空： 1.与+的三角关系 sin(+)=； cos(+)=；tan(+)=。2.与-的三角关系 sin(-)=；cos(-)=；tan(-)=。三、典型例题：1. 自学例6、例7完成练习A。1、2、3；练习B。12。自学例8完成练习A。4；练习B。23。补充例： 证明：sin(+)=-cos； cos(+)=sin；tan(+)=-cot。 练习：完成下面填空： sin(-)= ； cos(-)= ；tan(-)= 。四、小结：五、作业：1。若sin(180+)+cos(90+)=a，则cos(270)+2sin(360)的值是（）A.B.C.D.2.已知sin()+cos()=，（0，），则的值为（）A.B.C.-D.-3.已知f(x)=3sin()，则下列不等式中正确的是（）A.f(1)f(2)f(3)B.f(2)f(1)f(3)C.f(2)f(3)f(1)D.f(3)f(2)f(1)4.sin21+sin22+sin23+sin289=（）A.89B.C.45D5.已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30)的值是（）A.1B.C.0D.16.（2006.全国卷）f(sinx)=3cos2x 则f(cosx)（）A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x7.已知sin(+)=，且(,)，则tan(-)的值为 。8。已知： sin(-)- cos(+)=,则sincos= 。9。已知cos(75+)=，且-180-90，求cos(15-)的值.10。化简： （1） （2）1.3.1正弦函数的图象一、复习：1。正弦函数y=sinx的定义域是 2。正弦线是如何定义的？二、自主学习；自学课本完成下面填空： 1。用正弦线画出正弦函数y=sinx（x0.2）的图象： 正弦函数ysinx，（）图象叫做 2。作正弦函数ysinx（）的简图的一般方法是运用。3作正弦函数的简图一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后在描点作图时要注意到被这五个点分隔的区间上函数变化情况，在x附近函数上升或下降快一些，曲线“陡”一些，在x附近函数变化的慢一些，曲线变得“平缓”。4“五点法”作正弦函数ysinx的图象上的五个点是、。三、典型例题：1。自学课本例题2。补充： 例1：用五点作图法作出y2-sinx，的图象例2：在同一坐标系中作出ysinx和ylgx的图象，根据图象判断出方程sinxlgx的解得个数。四、学生练习：课本练习A、B五、小结：六、作业： 1ysinx的图象的大致形状是图中的（）xy01-12xy01-12A Bxy01-1xy01-1 C Dxy01222函数y1-sinx的大致图象是（）xy0122A Bxy01-122xy01-12 C. D.yx10-1yx10-1yx10-1yx10-13函数ycosx的图象是（）ABCD4函数ysinx与yx的图象在（-，）上的交点个数有（）个A4B3C2D15函数ysinx与yx的图象在（）上交点有（）个A4B3C2D1 6。用“五点法”作出下列函数的图象： （1）y=1-sinx (2)y=sinx+2 (3)y=2sinx (4)y=0.5sinx 1.3.1正弦函数的性质（一）一、复习：1。作正弦函数y=sinx图象的五个关键点分别是 ， ， ， ， 。2. 正弦函数的定义域是 。 3。Sin(2k+x)= (kZ)二、自主学习：自学回答正弦函数的性质：1定义域2值域3周期性：一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T使得定义域内的每一个x值都满足 ，那么函数f(x)就叫做.叫做这个函数的周期。对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的，正弦函数ysinx的最小正周期是。思考：是否所有的周期函数都有最小正周期？4奇偶性：ysinx是函数，正弦曲线关于对称。三、典型例题： 1。自学课本例2、例3、例4 2。变式：(1) 求下列函数的最大值和最小值，并写出函数取得最值时x的集合： （）y=sin2x-2sinx+3 ()y=cos2x-2sinx(2)求函数y=Asin() (其中A0，xR)的周期。四、学生练习：练习A、B（1）、（5）五、小结：六、作业： 1函数y的奇偶性为（）函数A奇B偶C即奇且偶D非奇非偶2（04天津）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是且当时f(x)=sinx则f()的值为（ ）A-BC-D3函数f(x)7sin（）是（）A周期为3的偶函数B周期为2的奇函数C周期为3的奇函数 D周期为的偶函数4在0，2上满足sinx的x的取值范围（）ABCD5若则函数f(x)=2cos2x+sinx-1的值域是（）A-1，2B-2，0CD6函数y2sin()的最小正周期是4则7若f(x)是奇函数，当x0时f(x)x2-sinx则当x0时，f(x) 8。求函数y=-sin2x-2sinx+1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合。1.3.1正弦函数的性质（二）一、复习： 1定义域 2值域 3周期性：T= ；函数y=Asin() (其