重庆市2018年重点中学中考数学模拟试卷(1)及答案解析.doc

2018年重庆市重点中学中考数学模拟试卷（1）

一．选择题：（每小题4分，共48分）
1．（4分）﹣的相反数的倒数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 016 D．﹣2 016
2．（4分）《习近平总书记系列重要讲话读本》中讲到“绿水青山就是金山银山”，我们要尊重自然、顺应自然、保护自然的理念，贯彻节约资源和保护环境的基本国策．在下列环保标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）++…+的整数部分是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．6
4．（4分）已知一组数据：x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是2，方差是3，则另一组数据：3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2，3x6﹣2的平均数和方差分别是（　　）
A．2，3 B．2，9 C．4，25 D．4，27
5．（4分）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≥﹣1且x≠2
7．（4分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（　　）

A． B． +1﹣ C．﹣ D．﹣1
8．（4分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣5）2+|b﹣12|+=0，则△ABC（　　）
A．不是直角三角形 B．是以a为斜边的直角三角形
C．是以b为斜边的直角三角形 D．是以c为斜边的直角三角形
9．（4分）如图，菱形ABCD的边长为2，且AE⊥BC，E、F、G、H分别为BC、CD、DA、AB的中点，以A、B、C、D四点为圆心，半径为1作圆，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．﹣π B．﹣2π C．2﹣π D．2﹣2π
10．（4分）13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数数，数到第13，该小朋友离开；这样继续下去，直到最后剩下一个小朋友．小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从（　　）小朋友开始数起．

A．7号 B．8号 C．13号 D．2号
11．（4分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（　　）

A．24m B．22m C．20m D．18m
12．（4分）若不等式组无解，则m的取值范围是（　　）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
二．填空题：（每小题4分，共24分）
13．（4分）改革开放30年以来，成都的城市化推进一直保持着快速、稳定的发展态势．据统计，到2008年底，成都市中心五城区（不含高新区）常住人口已达到4 410 000人，对这个常住人口数有如下几种表示：①4.41×105人；②4.41×106人；③44.1×105人．其中是科学记数法表示的序号为　 　．
14．（4分）计算：（﹣）﹣2+（﹣1）0﹣=　 　．
15．（4分）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD=　 　．

16．（4分）数学老师布置10道选择题作为课堂练习，科代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，根据图中信息，全班每位同学答对题数的中位数和众数分别为　 　和　 　．

17．（4分）已知点A（5，0），点A关于直线y=kx（k＞0）的对称点B正好落在反比例函数y=第一象限的图象，则k=　 　．

18．（4分）一个容器由上下竖直放置的两个圆柱体A，B连接而成．向该容器内匀速注水，容器内水面的高度h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系如图所示．若上面A圆柱体的底面积是300厘米2，下面圆柱体B的底面积是500厘米2．则每分钟向容器内注水　 　厘米3．

三．解答题：（每小题8分，共16分）
19．（8分）如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
探究：试判断BE和CN的位置关系和数量关系，并说明理由．
应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ=　 　．

20．（8分）典典同学学完统计知识后，随机调查了她家所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：

请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中a=　 　，b=　 　；并补全条形统计图；
（2）若该辖区共有居民3500人，请估计年龄在0～14岁的居民的人数．
（3）一天，典典知道了辖区内60岁以上的部分老人参加了市级门球比赛，比赛的老人们分成甲、乙两组，典典很想知道甲乙两组的比赛结果，王大爷告诉说，甲组与乙组的得分和为110，甲组得分不低于乙组得分的1.5倍，甲组得分最少为多少？

四．解答题（每小题10分，共50分）
21．（10分）计算：
（1）3a（a+1）﹣（3+a）（3﹣a）﹣（2a﹣1）2
（2）（﹣x+2）÷．
22．（10分）如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC=5．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞的解集；
（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y=图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．

23．（10分）4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每千克猪肉的价格是原价格的，原来用120元买到的猪肉下调后可多买2kg．4月中旬猪肉价格开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每千克28.8元．
（1）求4月初猪肉价格下调后变为每千克多少元．
（2）求5、6月份猪肉价格的月平均增长率．
24．（10分）材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2．
例如：24=72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+72
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试证明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．
25．（10分）已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°．将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．
（1）如图（1），求证：△AGD≌△AEB；
（2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；
（3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积．

五．解答题（每小题12分，请按要求写出详细解答过程）
26．（12分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

2018年重庆市重点中学中考数学模拟试卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题：（每小题4分，共48分）
1．（4分）﹣的相反数的倒数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 016 D．﹣2 016
【解答】解：∵﹣的相反数是，
1÷=2016
∴﹣的相反数的倒数是2016．
故选：C．
2．（4分）《习近平总书记系列重要讲话读本》中讲到“绿水青山就是金山银山”，我们要尊重自然、顺应自然、保护自然的理念，贯彻节约资源和保护环境的基本国策．在下列环保标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项正确；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．
故选：B．
3．（4分）++…+的整数部分是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．6
【解答】解：原式=+…+
=++…+
=++…+
=++…+
=﹣1
=﹣1+10
=9．故选C．
4．（4分）已知一组数据：x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是2，方差是3，则另一组数据：3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2，3x6﹣2的平均数和方差分别是（　　）
A．2，3 B． 2，9 C．4，25 D．4，27
【解答】解：由题知，x1+x2+x3+x4+x5+x6=2×6=12，
S12= [（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2+（x6﹣2）2]
= [（x12+x22+x32+x42+x52+x62）﹣4（x1+x2+x3+x4+x5+x6）+4×6]=3，
∴（x12+x22+x32+x42+x52+x62）=42．
另一组数据的平均数= [3x1﹣2+3x2﹣2+3x3﹣2+3x4﹣2+3x5﹣2+3x6﹣2]= [3（x1+x2+x3+x4+x5+x6）﹣2×5]= [3×12﹣12]=×24=4，
另一组数据的方差= [（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+（3x3﹣2﹣4）2+（3x4﹣2﹣4）2+（3x5﹣2﹣4）2+（3x6﹣2﹣4）2]
= [9（x12+x22+x32+x42+x52+x62）﹣36（x1+x2+x3+x4+x5+x6）+36×6]= [9×42﹣36×12+216]=×162=27．
故选：D．
5．（4分）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
则的值在3和4之间，
故选：C．
6．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≥﹣1且x≠2
【解答】解：根据题意得：，解得x≥﹣1且x≠2，
故选：D．
7．（4分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（　　）

A． B． +1﹣ C．﹣ D．﹣1
【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，过点B作BG⊥CD于G，在Rt△BEG中，∠BED=45°，则GE=GB．
在Rt△AFC中，∠A=45°，AC=，则AF=CF==1，
在Rt△BFC中，∠ABC=30°，CF=1，则BC=2CF=2，BF=CF=，
设DF=x，CE=DE=y，则BD=﹣x，
∴△CDF∽△BDG，
∴==，
∴==，
∴DG=，BG=，
∵GE=GB，
∴y+=，
∴2y2+x（﹣x）=﹣x，
在Rt△CDF中，∵CF2+DF2=CD2，
∴1+x2=4y2，
∴+x（﹣x）=﹣x，
整理得：x2﹣（2+2）x+2﹣1=0，
解得x=1+﹣或1+﹣（舍弃），
∴BD=﹣x=﹣1．
故选：D．

8．（4分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣5）2+|b﹣12|+=0，则△ABC（　　）
A．不是直角三角形 B．是以a为斜边的直角三角形
C．是以b为斜边的直角三角形 D．是以c为斜边的直角三角形
【解答】解：∵（a﹣5）2+|b﹣12|+=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
故选：D．
9．（4分）如图，菱形ABCD的边长为2，且AE⊥BC，E、F、G、H分别为BC、CD、DA、AB的中点，以A、B、C、D四点为圆心，半径为1作圆，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．﹣π B．﹣2π C．2﹣π D．2﹣2π
【解答】解：根据题意得：AB=BC=AC，
∴∠B=60°，
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，
∵AE⊥BC，
∴BE=CE=BC=1，
∴AE==，
∴S菱形ABCD=BC•AE=2，S扇形AGH+S扇形BEH+S扇形CEF+S扇形DGF==π，
∴S阴影=2﹣π．
故选：C．
10．（4分）13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数数，数到第13，该小朋友离开；这样继续下去，直到最后剩下一个小朋友．小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从（　　）小朋友开始数起．

A．7号 B．8号 C．13号 D．2号
【解答】根据题意分析可得：如果从1号数起，离开的分别为：13、1、3、6、10、5、2、4、9、11、12、7．最后留下的是8号．因此，想要最后留下1号，即将“8”倒推7位，那么数字“1”也应该倒推7位，得到的数是“7”．
故选：A．
11．（4分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（　　）

A．24m B．22m C．20m D．18m
【解答】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得：． （2分）
∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）． （1分）
∴GF=BD=CD=6m． （1分）
又∵． （2分）
∴AG=1.6×6=9.6（m）． （1分）
∴AB=14.4+9.6=24（m）． （1分）
答：铁塔的高度为24m．
故选：A．

12．（4分）若不等式组无解，则m的取值范围是（　　）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
【解答】解：∵不等式组无解．
∴m≤3．故选D．
二．填空题：（每小题4分，共24分）
13．（4分）改革开放30年以来，成都的城市化推进一直保持着快速、稳定的发展态势．据统计，到2008年底，成都市中心五城区（不含高新区）常住人口已达到4 410 000人，对这个常住人口数有如下几种表示：①4.41×105人；②4.41×106人；③44.1×105人．其中是科学记数法表示的序号为　②　．
【解答】解：①∵4 410 000一共有7位整数，∴n=7﹣1=6，错误；
②4 410 000=4.41×106，正确；
③∵44.1＞10，错误．
故选②．
14．（4分）计算：（﹣）﹣2+（﹣1）0﹣=　2　．
【解答】解：原式=4+1﹣3=2，
故答案为：2．
15．（4分）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD=　1：3　．

【解答】解：∵PAB、PCD为⊙O的两条割线，
∴∠BAC+∠BDC=180°，∠PAC+∠BAC=180°，
∴∠BDC=∠PAC，又∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PDB，∴=，
设PC=x，PD=y，且y﹣x=11，
解得x=4，y=15，
∴===，
故答案为．
16．（4分）数学老师布置10道选择题作为课堂练习，科代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，根据图中信息，全班每位同学答对题数的中位数和众数分别为　9　和　8　．

【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中8是出现次数最多的，故众数是8；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是9，9，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是
（9+9）÷2=9．
故填8，9．
17．（4分）已知点A（5，0），点A关于直线y=kx（k＞0）的对称点B正好落在反比例函数y=第一象限的图象，则k=　或　．
【解答】解：设B（a，），则， =，
所以，AB的中点坐标为（，），
∴k=，
∴k=，
∵A、B关于直线y=kx对称，
∴=﹣，
整理得，k=﹣，
∴=﹣，
整理得，a4﹣25a2+144=0，
解得a2=16或a2=9，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴a＞0，
∴a=4或3，
当a=4时，k==，
当a=3时，k==，
综上所述，k的值为或．
故答案为：或．
18．（4分）一个容器由上下竖直放置的两个圆柱体A，B连接而成．向该容器内匀速注水，容器内水面的高度h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系如图所示．若上面A圆柱体的底面积是300厘米2，下面圆柱体B的底面积是500厘米2．则每分钟向容器内注水　200　厘米3．

【解答】解：设圆柱体B的高为h，设注水速度为v厘米3/分钟，
由题意得，10v=500h，
则v=50h，
∵9分钟后容器内水位上升（10﹣h）厘米，
∴50h×9=300（10﹣h），
解得：h=4，
故可得v=50h=200厘米3/分钟．
故答案为：200．
三．解答题：（每小题8分，共16分）
19．（8分）如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
探究：试判断BE和CN的位置关系和数量关系，并说明理由．
应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ=　3　．

【解答】解：CN=BE，BE⊥NC，
理由如下：
∵四边形ANMB和四边形ACDE都是正方形，
∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，
∴∠NAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠NAC=∠BAE．
在△ANC和△ABE中，
，
∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴CN=BE，
设CN交AB于H，交BE于P，

∵△ANC≌△ABE，
∴∠ABE=∠ANC，
∵∠PHB=∠AHN，
∴∠HPB=∠HAP=90°，
∴BE⊥NC．
∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB=90°，
∴∠ANC+∠AON=90°，
∵∠BHP=∠AHN，∠ANC=∠ABE，
∴∠ABP+∠BHP=90°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BHP=90°，
∵Q为BC中点，BC=6，
∴PQ=BC=3，
故答案为：3
20．（8分）典典同学学完统计知识后，随机调查了她家所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：

请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中a=　20%　，b=　12%　；并补全条形统计图；
（2）若该辖区共有居民3500人，请估计年龄在0～14岁的居民的人数．
（3）一天，典典知道了辖区内60岁以上的部分老人参加了市级门球比赛，比赛的老人们分成甲、乙两组，典典很想知道甲乙两组的比赛结果，王大爷告诉说，甲组与乙组的得分和为110，甲组得分不低于乙组得分的1.5倍，甲组得分最少为多少？
【解答】解：（1）总人数：230÷46%=500（人），
100÷500×100%=20%，
60÷500×100%=12%；
500×22%=110（人），
如图所示：
（2）3500×20%=700（人）；
（3）设甲组得x分，则乙组得（110﹣x）分，由题意得：
x≥1.5（110﹣x），
解得：x≥66．
答：甲组最少得66分．

四．解答题（每小题10分，共50分）
21．（10分）计算：
（1）3a（a+1）﹣（3+a）（3﹣a）﹣（2a﹣1）2
（2）（﹣x+2）÷．
【解答】解：（1）原式=3a2+3a﹣9+a2﹣4a2﹣1+4a
=7a﹣10．
（2）原式=（﹣x+2）÷
=×
=﹣．
22．（10分）如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC=5．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞的解集；
（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y=图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．

【解答】解：（1）把A（2，m），B（n，﹣2）代入y=得：k2=2m=﹣2n，
即m=﹣n，
则A（2，﹣n），
过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，
∵A（2，﹣n），B（n，﹣2），
∴BD=2﹣n，AD=﹣n+2，BC=|﹣2|=2，
∵S△ABC=•BC•BD
∴×2×（2﹣n）=5，解得：n=﹣3，
即A（2，3），B（﹣3，﹣2），
把A（2，3）代入y=得：k2=6，
即反比例函数的解析式是y=；
把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入y=k1x+b得：，
解得：k1=1，b=1，
即一次函数的解析式是y=x+1；

（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴不等式k1x+b＞的解集是﹣3＜x＜0或x＞2；
（3）分为两种情况：当点P在第三象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是P≤﹣2，
当点P在第一象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是P＞0，
即P的取值范围是p≤﹣2或p＞0．
23．（10分）4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每千克猪肉的价格是原价格的，原来用120元买到的猪肉下调后可多买2kg．4月中旬猪肉价格开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每千克28.8元．
（1）求4月初猪肉价格下调后变为每千克多少元．
（2）求5、6月份猪肉价格的月平均增长率．
【解答】解：（1）设4月初猪肉价格下调后变为每千克x元．
根据题意，得﹣=2，
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解．
答：4月初猪肉价格下调后变为每千克20元．
（2）设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y．
根据题意，得20（1+y）2=28.8．
解得y1=0.2=20%，y2=﹣2.2（舍去）．
答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%．
24．（10分）材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2．
例如：24=72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+72
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试证明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．
【解答】解：（1）112=112﹣32，40=72﹣32；
（2）若10是“雪松数”，
则可设a2﹣b2=10（a，b均为正整数，且a≠b），
则（a+b）（a﹣b）=10，又∵10=2×5=10×1，
∵a，b均为正整数，
∴a+b＞a﹣b，∴，或，解得：或，
与a，b均为正整数矛盾，
故10不是雪松数；
（3）设t=（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′=（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），则t=（10m+n）2﹣（10n+m）2=99（m2﹣n2）=99（m+n）（m﹣n），
∴99（m+n）（m﹣n）=1000a+100b+10b+a=1001a+110b，
整理得，（m+n）（m﹣n）=10a+b+，
∵a，b，m，n均为正整数，
∴a+b=9，
经探究，，符合题意，
∴t的值分别为：2772，5445，
t′的值分别为：8668，8338，
由材料一可知，F（t）的最大值为：862+682=12020．
25．（10分）已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°．将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．
（1）如图（1），求证：△AGD≌△AEB；
（2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；
（3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积．

【解答】解：（1）∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，
∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α．
∵四边形AEFG是菱形，
∴AD=AB．
∴AG=AE．
∴△AGD≌△AEB．（3分）
（2）解法一：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）

作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5．
∴∠CDH=∠CDF=60°，CH=CF．
在Rt△CDH中，
∵CH=DCsin60°=5×=，（6分）
∴CF=2CH=5．（7分）
解法二：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）
连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O．
由题意，知AF=AC，∠FAC=60°．
∴△AFC是等边三角形．
∴FC=AC．
由已知，∠DAO=∠BAD=30°，AC⊥BD，
∴AO=ADcos30°=．（6分）
∴AC=2AO=5．
∴FC=AC=5．（7分）
（3）如图（2），当∠CEF=90°时，（8分）
延长CE交AG于M，连接AC．
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG．
∵∠CEF=90°，
∴∠GME=90°．
∴∠AME=90°．（9分）
在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°，
∴AM=AEcos60°=，EM=AEsin60°=．
在Rt△AMC中，易求AC=5，
∴MC==．
∴EC=MC﹣ME=﹣，
=（﹣）．（11分）
∴S△CEF=•EC•EF=．（12分）
五．解答题（每小题12分，请按要求写出详细解答过程）
26．（12分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

【解答】解：（1）当x=0，y=3，
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣）．
将C（0，3）代入得：﹣a=3，解得：a=﹣2，
∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+x+3．
（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N．

∵OC=3，AO=1，
∴tan∠CAO=3．
∴直线AC的解析式为y=3x+3．
∵AC⊥BM，
∴BM的一次项系数为﹣．
设BM的解析式为y=﹣x+b，将点B的坐标代入得：﹣×+b=0，解得b=．
∴BM的解析式为y=﹣x+．
将y=3x+3与y=﹣x+联立解得：x=﹣，y=．
∴MC=BM═=．
∴△MCB为等腰直角三角形．
∴∠ACB=45°．
（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点F．

∵∠ACB=45°，点D是第一象限抛物线上一点，
∴∠ECD＞45°．
又∵△DCE与△AOC相似，∠AOC=∠DEC=90°，
∴∠CAO=∠ECD．
∴CF=AF．
设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2，解得a=4．
∴F（4，0）．
设CF的解析式为y=kx+3，将F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k=﹣．
∴CF的解析式为y=﹣x+3．
将y=﹣x+3与y=﹣2x2+x+3联立：解得：x=0（舍去）或x=．
将x=代入y=﹣x+3得：y=．
∴D（，）．