中考数学总复习(北师大版)基础讲练-第28讲解直角三角形.doc

第28讲　解直角三角形

考纲要求
备考指津
1.理解锐角三角函数的定义，会运用锐角三角函数解直角三角形．
2.掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．
3.了解直角三角形的定义，掌握边角之间的关系，并能进行有关计算．
4.利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.
　　中考中主要以锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形．试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点．

考点一　锐角三角函数定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．

sin A==；
cos A＝＝；
tan A＝＝.
考点二　特殊角的三角函数值

考点三　解直角三角形
1．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝.
2．解直角三角形的几种类型及解法：
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝)；
(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A(或b＝)；
(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝，
由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A；
(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝，由sin A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A．
考点四　解直角三角形的应用
1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．

2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是(　　)．

A．sin A＝ B．tan A＝ C．cos B＝ D．tan B＝
2．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为(　　)．[来源:]

A．　　　　　　　 B． C． D．
3．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cos B＝，则AC＝__________.

4．首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演．如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？(结果精确到0.1米)
(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73)

一、锐角三角函数的定义
【例1】 在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B＝__________.
A． B． C． D．
解析：∵sin A＝，∴＝，于是设BC＝4a，AB＝5A．在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AC＝3A．
∴tan B＝＝＝.故选B．
答案：B

求锐角三角函数值时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的前提是在直角三角形中；如果题目中无直角时，我们必须想法构造一个直角三角形．
二、特殊角的三角函数值
【例2】 计算：|－2|＋2sin 30°－(－)2＋(tan 45°)－1.
解：原式＝2＋2×－3＋1－1＝1.

牢记特殊角的三角函数值，理解绝对值、负整数指数的意义是解题的关键．
三、解直角三角形
【例3】 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cos A＝.

求(1)DE，CD的长；(2)tan∠DBC的值．
解：(1)∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.在Rt△AED中，cos A＝，即＝.
∴AD＝10.根据勾股定理得DE＝＝＝8.又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DC＝DE＝8.
(2)∵AC＝AD＋DC＝10＋8＝18，在Rt△ABC中，cos A＝，即＝，∴AB＝30.根据勾股定理得BC＝＝＝24.
∴在Rt△BCD中，tan∠DBC＝＝＝.

解这类问题主要是综合运用勾股定理、锐角三角函数定义、直角三角形的两个锐角互为余角．解题时应尽量使用原始数据，能用乘法算就尽量不用除法．[来源:]
四、解直角三角形在实际中的应用
【例4】 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼的高度AB．

解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，
∴FG＝＝.
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，
∴CG＝＝AG.
又CG－FG＝40，即AG－＝40，
∴AG＝20.∴AB＝20＋1.5(米)．
答：这幢教学楼的高度AB为(20＋1.5)米．

利用解直角三角形的知识解决实际问题时，其步骤是：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)．
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形．
为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造．如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B，C，在点B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200米，请你求出该河段的宽度．(结果保留根号)

1．(2012四川乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sin B的值为(　　)．

A． B． C． D．1
2．(2011山东日照)在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.则下列关系式中不成立的是(　　)．

A．tan A·cot A＝1 B．sin A＝tan A·cos A C．cos A＝cot A·sin A D．tan2A＋cot2A＝1
3．(2012湖南株洲)数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米．

4．(2012山东济宁)在△ABC中，若∠A，∠B满足＋2＝0，则∠C＝__________.
5．(2011广东湛江)如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向36海里处．另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距18海里，求：

(1)军舰N在雷达站P的什么方向？
(2)两军舰M，N的距离．(结果保留根号)

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值等于(　　)．
A． B． C． D．
2．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是(　　)．

A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
3．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是(　　)．

A．sin 30°＜x＜sin 60° B．cos 30°＜x＜cos 45°
C．tan 30°＜x＜tan 45° D．cot 45°＜x＜cot 30°
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的值是(　　)．
[来源:]
A．3 B．6 C．8 D．9
5．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于__________．

6．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝，则河堤的高BE为__________米．

7．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处(如图)，上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是__________海里．(结果保留根号)

8．如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30 m，则电梯楼的高BC为__________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414，≈1.732)

9．某商场为缓解我市“停车难”的问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5 m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮则认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果(结果用三角函数表示)．

参考答案
基础自主导学
自主测试
1．D　2.B　3.5
4．解：如图，过A作AD⊥CB，垂足为点D.
在Rt△ADC中，[来源:]
∵CD＝36，∠CAD＝60°.
∴AD＝＝＝12≈20.76(米)．

在Rt△ADB中，
∵AD≈20.76，∠BAD＝37°.
∴BD＝AD×tan 37°≈20.76×0.75＝15.57≈15.6(米)．
答：气球应至少再上升15.6米．
规律方法探究
变式训练　解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D.

据题意，∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°.
∴∠CAD＝45°，∴∠ACD＝∠CAD，
∴AD＝CD，
∴BD＝BC－CD＝200－AD.
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan 60°＝(200－AD)．
∴AD＋AD＝200(米)．
∴AD＝＝(300－100)米．
答：该河段的宽度为(300－100)米．
知能优化训练
中考回顾
1．C　2.D
3．10　4.75°
5．解：如图，过点P作PQ⊥MN，交MN的延长线于点Q.
(1)在Rt△PQM中，由∠MPQ＝60°，
得∠PMQ＝30°，又PM＝36，
∴PQ＝PM＝×36＝18(海里)．

在Rt△PQN中，cos∠QPN＝＝＝，
∴∠QPN＝45°，
即军舰N在雷达站P的东南方向(或南偏东45°方向)．[来源:]
(2)由(1)知Rt△PQN为等腰直角三角形，
∴PQ＝NQ＝18(海里)．
在Rt△PQM中，MQ＝PQ·tan∠QPM＝18·tan 60°＝18(海里)，
∴MN＝MQ－NQ＝18－18(海里)．
答：两军舰的距离(18－18)海里．
模拟预测
1．B　2.A　3.D　4.B
5.　6.12　7.20
8．82.0
9．解：小亮说法正确．
在△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，BA＝10，
∴tan∠BAD＝，
∴BD＝10×tan 18°，
∴CD＝BD－BC＝10×tan 18°－0.5.
在△ABD中，∠CDE＝90°－∠BAD＝72°.
∵CE⊥ED，
∴sin∠CDE＝，
∴CE＝CD×sin∠CDE＝(10×tan 18°－0.5)×sin 72°(m)．
答：限制高度CE约为(10×tan 18°－0.5)×sin 72° m.