2019年全国各地中考数学试卷真题汇集：锐角三角函数与特殊角(含答案).doc

2019年中考数学真题汇集:
锐角三角函数与特殊角
一.选择题
1. （2019广西崇左第10题3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（　　）

A．
sinA=
B．
cosA=
C．
tanA=
D．
tanB=
　 A【解析】AC ==5.sinA=，故A正确；cosA=，故B错误；tanA=,故C错误；tanB=,故D错误.
点评：在Rt△ABC中，∠C=90º，则sinA=，cosA=，tan A=．求直角三角形中某锐角的三角函数值，常常利用勾股定理求出有关边长来解决．

2．（2019•滨州,第2题3分）下列运算：sin30°=，=2，π0=π，2﹣2=﹣4，其中运算结果正确的个数为（　　）
　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

考点： 特殊角的三角函数值；算术平方根；零指数幂；负整数指数幂．
分析： 根据特殊角三角函数值，可判断第一个；
根据算术平方根，可判断第二个；
根据非零的零次幂，可判断第三个；
根据负整数指数幂，可判断第四个．
解答： 解：sin30°=，
=2，
π0=1，
2﹣2=，
故选：D．
点评： 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，注意负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．

3．（2019•本溪，第9题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，则k的值为（　　）

　 A． 4 B． ﹣2 C． D． ﹣

考点： 翻折变换（折叠问题）；待定系数法求反比例函数解析式．.
分析： 设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，由折叠的性质易得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，用锐角三角函数的定义得CD，CE，得点C的坐标，易得k．
解答： 解：设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，
∵将△ABO沿直线AB翻折，
∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，
∴CD=y=AC•sin60°=2×=，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD=30°，
∵BC=BO=AO•tan30°=2×=，
CE=x=BC•cos30°==1，
∵点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，
∴k=x•y=﹣1×=﹣，
故选D．

点评： 本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．

4. （2019年浙江衢州9，3分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60长的绑绳，，则“人字梯”的顶端离地面的高度是【 】

A. B. 　　 C. 　　 D.
【答案】B．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】∵“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60长的绑绳，
∴.
∵，∴.∴.
∴，解得.
∵，即.
故选B．

5. （2019•温州第5题4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 锐角三角函数的定义．.
分析： 根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．
解答： 解：∵AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cosA==．
故选D．
点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边

6．（2019•甘肃庆阳，第7题，3分）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（　　）
　 A．45° B． 60° C． 75° D． 105°

考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．.
分析： 根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C的度数．
解答： 解：由题意得，cosA=，tanB=1，
则∠A=30°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．
故选D．
点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角

7. （2019•黄石第14题3分）如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为　　．

考点：
垂径定理；解直角三角形．.
分析：
如图，作辅助线；求出BC的长度；运用射影定理求出BM的长度，借助锐角三角函数的定义求出∠MBA的余弦值，即可解决问题．
解答：
解：如图，连接AM；
∵AB=8，AC=3CB，
∴BC=AB=2：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°；
由射影定理得：
BM2=AB•CB，
∴BM=4，cos∠MBA==，
故答案为．

点评：
该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论、射影定理等知识点来分析、判断、解答．

8.（2019•烟台,第7题3分） 如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，且点E是AB的中点，则的值是（ ）
A． B. 2 C. D.

考点：菱形的性质与锐角三角函数

分析：因为在菱形ABCD中，AB=BC，E为AB的中点，所以BE=，又因为CE⊥AB，所以△BCA为直角三角形，∠BCE=30°，∠EBC=60°，又因为菱形的对角线平分每一组对角，所以∠EBF=∠EBC=30°，所以∠BFE=60°，所以tan∠BFE=．

解答：故选D

点评：运用到的知识点有直角三角形的中线性质，以及菱形的性质，最后算出∠BFE后还用到特殊角的三角函数。

9. （2019•江苏南通，第6题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（　　）

A． B． C． D．2
考点：
解直角三角形；坐标与图形性质．.
分析：
设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C，根据三角函数的定义即可求解．
解答：
解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．
则OC=2，BC=1，
则tanα==．
故选C．

点评：本题考查了三角函数的定义，理解正切函数的定义是关键．

二.填空题
1．（2019•济南,第20题3分）如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y= （x＜0）的图象上，则k=　﹣4 　．

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
分析： 过点B作BD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式；
解答： 解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0），
∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，
∴OD= OB=2，BD=OB•sin60°=4× =2 ，
∴B（﹣2，2 ），
∴k=﹣2×2 =﹣4 ；
故答案为﹣4 ．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识，难度适中．

2．（3分）（2019•桂林）（第16题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是　　．

考点： 解直角三角形．
分析： 先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．
解答： 解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．
∴∠A=∠BCD．
∴tan∠BCD=tan∠A===．
故答案为
点评： 本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．

3.（2019•曲靖第12题3分）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=　　．

考点： 圆周角定理；解直角三角形．.
分析： 连接BC，根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A，在直角三角形ABC中，根据余弦的定义即可得到结果．
解答： 解：连接BC，
∴∠D=∠A，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=3×2=6，AC=2，
∴cosD=cosA===．
故答案为：．

点评： 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．

4.（2019•四川巴中,第18题3分）如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB=　　．

考点：
锐角三角函数的定义．
专题：
网格型．
分析：
先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值．
解答：
解：过点A作AD⊥OB垂足为D，
如图，在直角△ABD中，AD=1，OD=2，
则tan∠AOB==．
故答案为．

点评：
本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

三.解答题
1．（2019•永州，第19题6分）计算：cos30°﹣+（）﹣2．

考点：
实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项化为最简二次根式，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解答：
解：原式=﹣+4=4．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2.(2019年浙江省义乌市中考,17,4分)计算：；
考点：特殊角的三角函数值．.
专题：计算题．
分析：原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用算术平方根定义计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．（2019•东营,第19题7分）（1）计算：（﹣1）2019﹣+（3﹣π）0+|3﹣|+（tan30°）﹣1
（2）解方程组：．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
解答： 解：（1）原式=﹣1﹣3+1+3﹣+=0；
（2），
①+②得：3x=15，即x=5，
把x=5代入①得：y=1，
则方程组的解为．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（2019•怀化，第15题8分）计算：．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣1+4×﹣2﹣1+3=+1．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．（2019•娄底，第19题6分）计算：（﹣1.414）0+（）﹣1﹣+2cos30°．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答： 解：原式=1+3﹣+2×
=4．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．（2019•娄底，第22题8分）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）

考点： 勾股定理的应用．
分析： 根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．
解答： 解：此车没有超速．
理由：过C作CH⊥MN，
∵∠CBN=60°，BC=200米，
∴CH=BC•sin60°=200×=100（米），
BH=BC•cos60°=100（米），
∵∠CAN=45°，
∴AH=CH=100米，
∴AB=100﹣100≈73（m），
∵60千米/小时=m/s，
∴=14.6（m/s）＜≈16.7（m/s），
∴此车没有超速．

点评： 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是解题关键．

7.（2019•营口，第19题10分）先化简，再求值：﹣÷（1﹣）．其中m满足一元二次方程m2+（5tan30°）m﹣12cos60°=0．

考点： 分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出m的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=﹣÷=﹣•=﹣==，
方程m2+（5tan30°）m﹣12cos60°=0，化简得：m2+5m﹣6=0，
解得：m=1（舍去）或m=﹣6，
当m=﹣6时，原式=﹣．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8.（2019•青海西宁第21题7分）计算：2sin60°+|﹣2|+．
考点： 实数的运算；特殊角的三角函数值．.
分析： 分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答： 解：原式=2×+2﹣+2
=2+2．
点评： 本题考查的是实数的运算，熟知特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的开方法则是解答此题的关键．

9.（2019•四川凉山州第18题6分）计算：﹣32÷×+|﹣3|
考点： 二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．.
分析： 分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．
解答： 解：﹣32÷×+|﹣3|
=﹣9××+3﹣
=﹣．
点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．

10.（2019•四川遂宁第16题7分）计算：﹣13﹣+6sin60°+（π﹣3.14）0+|﹣|
考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．.
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用乘方的意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣1﹣3+6×+1+=．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11．（2019•甘肃庆阳，第21题，8分）计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
解答： 解：原式=1+3+4×﹣2
=4．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（2019•甘肃天水，第13题，4分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为　　．

考点： 圆周角定理；锐角三角函数的定义．
专题： 网格型．
分析： 根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，然后求出tan∠ABC的值即可．
解答： 解：由图可得，∠AED=∠ABC，
∵⊙O在边长为1的网格格点上，
∴AB=2，AC=1，
则tan∠ABC==，
∴tan∠AED=．
故答案为：．
点评： 本题考查了圆周角定理和锐角三角形的定义，解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等．

13．（2019•湖南湘西州，第19题，5分）计算：32﹣20190+tan45°．
考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．.
分析： 分别进行乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等运算，然后合并．
解答： 解：原式=9﹣1+1
=9．
点评： 本题考查了实数的运算，涉及了乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．

14．（2019•江苏镇江，第18题，8分）（1）计算：﹣（﹣π）0﹣2sin60°
考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．.
分析： （1）先化简二次根式，计算0指数幂与特殊角的三角函数，再算加减；
解答： 解：（1）原式=4﹣1﹣2×
=4﹣1﹣3
=0；
此题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．

15.（2019•黄石第17题7分）计算：﹣+|﹣|+2sin45°+π0+（）﹣1．
考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.
专题：
计算题．
分析：
原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解答：
解：原式=﹣2++2×+1+2=3．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（2019•青岛,第19题6分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）
（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）

考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：
作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
解答：
解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，
由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=x，
在Rt△ADC中，∠ACD=35°，
∴tan∠ACD=，
∴=，
解得，x≈233m．

点评：
本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．

17. （2019·江苏连云港，第25题10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
(1）求BD•cos∠HBD的值；
(2）若∠CBD=∠A，求AB的长．

考点： 相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
分析： （1）首先根据DH∥AB，判断出△ABC∽△DHC，即可判断出=3；然后求出BH的值是多少，再根据在Rt△BHD中，cos∠HBD=，求出BD•cos∠HBD的值是多少即可．
(2）首先判断出△ABC∽△BHD，推得；然后根据△ABC∽△DHC，推得，所以AB=3DH；最后根据，求出DH的值是多少，进而求出AB的值是多少即可．
解答： 解：（1）∵DH∥AB，
∴∠BHD=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△DHC，
∴=3，
∴CH=1，BH=BC+CH，
在Rt△BHD中，
cos∠HBD=，
∴BD•cos∠HBD=BH=4．

(2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD，
∴△ABC∽△BHD，
∴，
∵△ABC∽△DHC，
∴，
∴AB=3DH，
∴，
解得DH=2，
∴AB=3DH=3×2=6，
即AB的长是6．
点评： （1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
(2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．

18. （2019•江苏宿迁，第17题6分）计算：cos60°﹣2﹣1+﹣（π﹣3）0．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用二次根式性质化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣+2﹣1
=1．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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