2019年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷.doc

2019年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷
一、选择题
1．7的平方根等于（　　）
A． B．49 C．±49 D．±
2．已知a＝（﹣3）×（﹣4），b＝（﹣4）2，c＝（﹣3）3，那么a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c
3．风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．正确的粘合方法是（　　）

A． B．
C． D．
4．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　）
A． B．
C． D．
5．解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
6．某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的重要性之比依次为3：5：2．小王经过考核后所得的分数依次为90、88、83分，那么小王的最后得分是（　　）
A．87 B．87.5 C．87.6 D．88
7．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图是边长为10cm的正方形纸片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
9．如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为 1：2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P（x，y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为（　　）

A．（﹣x，﹣y） B．（﹣2x，﹣2y） C．（﹣2x，2y） D．（2x，﹣2y）
10．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（　　）

A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30°
11．关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．﹣6＜a＜﹣ B．﹣6≤a＜﹣ C．﹣6＜a≤﹣ D．﹣6≤a≤﹣
12．如图，延长Rt△ABC的斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan∠A的值是（　　）

A．1 B． C．9 D．
二、填空题
13．港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，整个大桥造价超过720亿元人民币，720亿用科学记数法可表示为　 　元．
14．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是　 　．

15．如图，点A是反比例函数 图象上的点，分别过点A向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为　 　．

16．以边长为4的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值为　 　．

三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，且x为满足﹣2≤x＜2的整数．
19．小明学习电学知识后，用四个开关按键（每个开关按键闭合的可能性相等）、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图
（1）若小明设计的电路图如图1（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求任意闭合一个开关按键，灯泡能发光的概率；

（2）若小明设计的电路图如图2（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求同时时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．点D是AB中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF．
（1）△BCD的形状为　 　；
（2）随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由；
（3）当点F落在边AC上时，若AC＝6，请直接写出DE的长．

21．某专卖店有A、B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．A、B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，请问A、B两种商品打折前各多少钱？打了多少折？
22．如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．
（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；
（2）若EM＝MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；
（3）在（2）的条件下，若AD＝，求的值．

23．如图，B（2m，0）、C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB＝2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y＝ax2+bx+n（a≠0）过E、A′两点．
（1）填空：∠AOB＝　 　°，用m表示点A′的坐标：A′　 　；
（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；
（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M，过M作MN垂直y轴，垂足为N：
①求a、b、m满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5，请你探究a的取值范围．

2019年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．7的平方根等于（　　）
A． B．49 C．±49 D．±
【分析】根据平方根的定义，即可解答．
【解答】解：∵＝7，
∴7的平方根是±．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记正数的平方根有两个．
2．已知a＝（﹣3）×（﹣4），b＝（﹣4）2，c＝（﹣3）3，那么a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c
【分析】先根据有理数乘法和乘方运算得到a＝12，b＝16，c＝﹣27，然后根据正数大于0，负数小于0进行大小比较．
【解答】解：∵a＝12，b＝16，c＝﹣27，
∴c＜a＜b．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了有理数乘法和乘方．
3．风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．正确的粘合方法是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】抓住一点：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，结合选项进行判断即可．
【解答】解：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，
A、是中心对称图形，并且不是轴对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了利用旋转涉及图案，注意抓住解题的关键：风车的特点．
4．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图
5．解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：方程变形得：﹣＝3，
去分母得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1），
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的重要性之比依次为3：5：2．小王经过考核后所得的分数依次为90、88、83分，那么小王的最后得分是（　　）
A．87 B．87.5 C．87.6 D．88
【分析】将三个方面考核后所得的分数分别乘上它们的权重，再相加，即可得到最后得分．
【解答】解：小王的最后得分＝90×+88×+83×＝27+44+16.6＝87.6（分），
故选：C．
【点评】本题主要考查了加权平均数，数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
7．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
8．如图是边长为10cm的正方形纸片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为10≈14，由此即可判定D不正确．
【解答】解：选项D不正确．理由：
∵正方形的边长为10，
∴对角线＝10≈14，
∵16＞14，
∴这个图形不可能存在．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的对角线的长．
9．如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为 1：2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P（x，y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为（　　）

A．（﹣x，﹣y） B．（﹣2x，﹣2y） C．（﹣2x，2y） D．（2x，﹣2y）
【分析】由图中易得两对对应点的横纵坐标均为原来的﹣2倍，那么点P的坐标也应符合这个规律．
【解答】解：∵P（x，y），相似比为1：2，点O为位似中心，
∴P′的坐标是（﹣2x，﹣2y）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换，解决本题的关键是根据所给图形得到各对应点之间的坐标变化规律．
10．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（　　）

A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30°
【分析】连接OA，OB，AB及BC，由AB等于圆的半径，得到三角形AOB为等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AOB＝60°，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出∠ACB的度数，再由∠ACB为△SCB的外角，根据三角形的外角性质：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，可得∠ASB小于∠ACB，即可得到正确的选项．
【解答】解：连接OA，OB，AB，BC，如图所示：
∵AB＝OA＝OB，即△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°，
又∠ACB为△SCB的外角，
∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°．
故选：D．

【点评】此题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，以及等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，灵活运用圆周角定理是解本题的关键．
11．关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．﹣6＜a＜﹣ B．﹣6≤a＜﹣ C．﹣6＜a≤﹣ D．﹣6≤a≤﹣
【分析】先解x的不等式组，然后根据整数解的个数确定a的取值范围．
【解答】解：不等式组，
解得：，
∵不等式组只有5个整数解，即解只能是x＝15，16，17，18，19，
∴a的取值范围是：，
解得：﹣6＜a≤﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解确定关于a的不等式组．
12．如图，延长Rt△ABC的斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan∠A的值是（　　）

A．1 B． C．9 D．
【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，为此，过B作BE∥AC交CD于E，得到△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
【解答】解：如图，过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE＝90°，
∴BE∥AC．
∵AB＝BD，
∴AC＝2BE．
又∵tan∠BCD＝，设BE＝x，则BC＝3x，AC＝2x，
∴tanA＝＝＝．
故选：D．

【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．
二、填空题
13．港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，整个大桥造价超过720亿元人民币，720亿用科学记数法可表示为　7.2×1010　元．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：720亿＝72000000000＝7.2×1010．
故答案是：7.2×1010．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是　900　．

【分析】根据已知数据即可得出，最下面一行数字变化规律，进而得出答案．
【解答】解：根据下面一行数字变化规律为：
1×4＝4，
4×9＝36，
9×16＝144，
16×25＝400，
25×36＝a＝900，
故答案为：900．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
15．如图，点A是反比例函数 图象上的点，分别过点A向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为　2﹣π　．

【分析】可设A（﹣m，m），根据k＝﹣2，求得m为，可知圆的半径为，然后用正方形面积减去圆面积即可．
【解答】解：设A（﹣m，m），其中m＞0，
则﹣m2＝﹣2，
∴m＝±，
∴m＝，
∴S阴＝S正﹣S圆＝2﹣π•＝2﹣.π
故答案为2﹣π．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正确运用k的几何意义是解题的关键．
16．以边长为4的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值为　2　．

【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD＝∠ODB＝45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD＝90°，OC＝OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA＝∠DOB，再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答即可．
【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°，
∴∠COA＝∠DOB，
在△COA和△DOB中，，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB＝OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD＝OF，
∴CA＝DA，
∴OA＝CF＝2，
∴AB＝OA＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键．
三、解答题
17．计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4×﹣（2﹣3）﹣2+1
＝2+3﹣2﹣2+1
＝2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．先化简，再求值：，且x为满足﹣2≤x＜2的整数．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[+]÷
＝（+）÷
＝•
＝，
∵x≠0且x≠1，x≠﹣2，
∴在﹣2≤x＜2范围内符合分式的整数有x＝﹣1，
则原式＝＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
19．小明学习电学知识后，用四个开关按键（每个开关按键闭合的可能性相等）、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图
（1）若小明设计的电路图如图1（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求任意闭合一个开关按键，灯泡能发光的概率；

（2）若小明设计的电路图如图2（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求同时时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）
【分析】（1）直接利用概率公式计算得出答案；
（2）利用树状图列举出所有可能，进而求出答案．
【解答】解：（1）一共有四个开关按键，只有闭合开关按键K2，灯泡才会发光，
所以P（灯泡发光）＝

（2）用树状图分析如下：

一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光，
所以P（灯泡发光）＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．点D是AB中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF．
（1）△BCD的形状为　等边三角形　；
（2）随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由；
（3）当点F落在边AC上时，若AC＝6，请直接写出DE的长．

【分析】（1）由∠C＝90°、∠A＝30°，可得出AB＝2BC、∠CBD＝60°，结合点D是AB中点，可得出BD＝BC，进而即可得出△BCD为等边三角形；
（2）由（1）可得出∠ECD＝30°，根据∠BDF+∠FDC＝∠EDC+∠FDC＝60°可得出∠BDF＝∠CDE，再结合BD＝CD、DF＝DE即可得出△BDF≌△CDE（SAS），根据全等三角形的性质即可得出∠DBF＝∠DCE＝30°，即∠DBF的度数不变；
（3）易证△CDF、△ADE为等腰三角形，由等腰三角形及等边三角形的性质可得出CF＝DF＝EF＝DE＝AE，进而可得出DE＝AE＝AC＝2．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠CBD＝60°．
∵点D是AB中点，
∴BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形．
故答案为：等边三角形．

（2）∠DBF的度数不变，理由如下：
∵∠ACB＝90°，点D是AB中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠ECD＝30°．
∵△BDC为等边三角形，
∴BD＝DC，∠BDC＝60°．
又∵△DEF为等边三角形，
∴DF＝DE，∠FDE＝60°，
∴∠BDF+∠FDC＝∠EDC+∠FDC＝60°，
∴∠BDF＝∠CDE．
在△BDF和△CDE中，，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠DBF＝∠DCE＝30°，
即∠DBF的度数不变．

（3）∵△DEF为等边三角形，
∴∠DEF＝∠DFE＝60°．
∵∠A＝∠ECD＝30°，
∴∠ADE＝∠CDF＝30°，
∴△CDF、△ADE为等腰三角形，
∴CF＝DF＝EF＝DE＝AE，
∴DE＝AE＝AC＝2．

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）找出∠CBD＝60°、BD＝BC；（2）利用全等三角形的判定定理SAS找出△BDF≌△CDE；（3）根据等腰三角形及等边三角形的性质找出DE＝AE＝AC．
21．某专卖店有A、B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．A、B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，请问A、B两种商品打折前各多少钱？打了多少折？
【分析】设A商品打折前的单价为x元/件，B商品打折前的单价为y元/件，根据“买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用折扣率＝现价÷原价×10，即可求出结论．
【解答】解：设A商品打折前的单价为x元/件，B商品打折前的单价为y元/件，
依题意，得：，
解得：，
∴（16×500+4×450﹣1960）÷（16×500+4×450）×10＝8．
答：A商品打折前的单价为16元/件，B商品打折前的单价为4元/件，打了8折．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．
（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；
（2）若EM＝MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；
（3）在（2）的条件下，若AD＝，求的值．

【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB＝∠EBD＝α，∠CAD＝∠ACD，∠DCE＝∠DEC＝2α，再根据三角形内角和定理可得结论；
（2）设∠MBE＝x，同理得：∠MEB＝∠MBE＝x，根据切线的性质知：∠DEF＝90°，所以∠CED+∠MEB＝90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD＝45°；
（3）由（2）得：∠CAD＝45°；根据（1）的结论计算∠MBE＝30°，证明△CDE是等边三角形，得CD＝CE＝DE＝EF＝AD＝，求EM＝1，MF＝EF﹣EM＝﹣1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN＝CE＝，代入化简可得结论．
【解答】解：（1）连接CD、DE，⊙E中，∵ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD＝α，
∴∠CED＝∠EDB+∠EBD＝2α，
⊙D中，∵DC＝DE＝AD，
∴∠CAD＝∠ACD，∠DCE＝∠DEC＝2α，
△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD＝180°，
∴∠CAD＝＝；
（2）设∠MBE＝x，
∵EM＝MB，
∴∠MEB＝∠MBE＝x，
当EF为⊙D的切线时，∠DEF＝90°，
∴∠CED+∠MEB＝90°，
∴∠CED＝∠DCE＝90°﹣x，
△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD＝180°，
∴2∠CAD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CAD＝45°；
（3）由（2）得：∠CAD＝45°；
由（1）得：∠CAD＝；
∴∠MBE＝30°，
∴∠CED＝2∠MBE＝60°，
∵CD＝DE，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE＝EF＝AD＝，
Rt△DEM中，∠EDM＝30°，DE＝，
∴EM＝1，MF＝EF﹣EM＝﹣1，
△ACB中，∠NCB＝45°+30°＝75°，
△CNE中，∠CEN＝∠BEF＝30°，
∴∠CNE＝75°，
∴∠CNE＝∠NCB＝75°，
∴EN＝CE＝，
∴＝＝＝2+．

【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，B（2m，0）、C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB＝2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y＝ax2+bx+n（a≠0）过E、A′两点．
（1）填空：∠AOB＝　45　°，用m表示点A′的坐标：A′　（m，﹣m）　；
（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；
（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M，过M作MN垂直y轴，垂足为N：
①求a、b、m满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5，请你探究a的取值范围．

【分析】（1）由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC﹣OB表示出BC的长，由题意AB＝2BC，表示出AB，得到AB＝OB，即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即可确定出A′坐标；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由＝，表示出P坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E坐标代入整理得到m与n的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；
（3）①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y＝ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的关系式；
②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为5，求出此时a的值；若抛物线过点A（2m，2m），求出此时a的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围．
【解答】解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB＝2m，OC＝3m，即BC＝m，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2m＝0B，
∵∠ABO＝90°，
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即A′（m，﹣m）；
故答案为：45；m，﹣m；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：
由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），
∵＝，
∴P（2m，m），
∵A′为抛物线的顶点，
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2﹣m，
∵抛物线过点E（0，n），
∴n＝a（0﹣m）2﹣m，即m＝2n，
∴OE：OD′＝BC：AB＝1：2，
∵∠EOD′＝∠ABC＝90°，
∴△D′OE∽△ABC；
（3）①当点E与点O重合时，E（0，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+n过点E，A′，
∴，
整理得：am+b＝﹣1，即b＝﹣1﹣am；
②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，
∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，
若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为5，
∴a（3m）2﹣（1+am）•3m＝0，
整理得：am＝，即抛物线解析式为y＝x2﹣x，
由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y＝x，
联立抛物线与直线OA解析式得：，
解得：x＝5m，y＝5m，即M（5m，5m），
令5m＝5，即m＝1，
当m＝1时，a＝；
若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m＝2m，
解得：am＝2，
∵m＝1，
∴a＝2，
则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤2．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
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