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【精选】北师大版七年级数学下册 期末试卷测试题(Word版 含解析)
一、解答题
1.已知,AB∥CD,点E为射线FG上一点.
(1)如图1,若∠EAF=25°,∠EDG=45°,则∠AED= .
(2)如图2,当点E在FG延长线上时,此时CD与AE交于点H,则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系,请说明你的结论;
(3)如图3,当点E在FG延长线上时,DP平分∠EDC,∠AED=32°,∠P=30°,求∠EKD的度数.
2.如图,,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若,.
(1)= ;
(2)如图2,点C、D是、角平分线上的两点,且,求 的度数;
(3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若 ,,且,求n的值.
3.如图1,//,点、分别在、上,点在直线、之间,且.
(1)求的值;
(2)如图2,直线分别交、的角平分线于点、,直接写出的值;
(3)如图3,在内,;在内,,直线分别交、分别于点、,且,直接写出的值.
4.问题情境:
(1)如图1,,,.求度数.小颖同学的解题思路是:如图2,过点作,请你接着完成解答.
问题迁移:
(2)如图3,,点在射线上运动,当点在、两点之间运动时,,.试判断、、之间有何数量关系?(提示:过点作),请说明理由;
(3)在(2)的条件下,如果点在、两点外侧运动时(点与点、、三点不重合),请你猜想、、之间的数量关系并证明.
5.已知:如图(1)直线AB、CD被直线MN所截,∠1=∠2.
(1)求证:AB//CD;
(2)如图(2),点E在AB,CD之间的直线MN上,P、Q分别在直线AB、CD上,连接PE、EQ,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系,请直接写出你的结论;
(3)如图(3),在(2)的条件下,过P点作PH//EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平分∠EPH,∠QPF:∠EQF=1:5,求∠PHQ的度数.
二、解答题
6.如图1,E点在上,..
(1)求证:
(2)如图2,平分,与的平分线交于H点,若比大,求的度数.
(3)保持(2)中所求的的度数不变,如图3,平分平分,作,则的度数是否改变?若不变,请直接写出答案;若改变,请说明理由.
7.如图1,点O在上,,射线交于点C,已知m,n满足:.
(1)试说明//的理由;
(2)如图2,平分,平分,直线、交于点E,则______;
(3)若将绕点O逆时针旋转,其余条件都不变,在旋转过程中,的度数是否发生变化?请说明你的结论.
8.如图,已知是直线间的一点,于点交于点.
(1)求的度数;
(2)如图2,射线从出发,以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转,当垂直时,立刻按原速返回至后停止运动:射线从出发,以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动,若射线,射线同时开始运动,设运动间为t秒.
①当时,求的度数;
②当时,求t的值.
9.如图所示,已知,点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分和,分别交射线AM于点C、D,且
(1)求的度数.
(2)当点P运动时,与之间的数量关系是否随之发生变化?若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律.
(3)当点P运动到使时,求的度数.
10.已知直线,点分别为, 上的点.
(1)如图1,若,, ,求与的度数;
(2)如图2,若,, ,则_________;
(3)若把(2)中“,, ”改为“,, ”,则_________.(用含的式子表示)
三、解答题
11.(1)如图1,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,AB∥CD,∠ADC=50°,∠ABC=40°,求∠AEC的度数;
(2)如图2,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,∠ADC=α°,∠ABC=β°,求∠AEC的度数;
(3)如图3,PQ⊥MN于点O,点A是平面内一点,AB、AC交MN于B、C两点,AD平分∠BAC交PQ于点D,请问的值是否发生变化?若不变,求出其值;若改变,请说明理由.
12.(生活常识)
射到平面镜上的光线(入射光线)和变向后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图 1,MN 是平面镜,若入射光线 AO 与水平镜面夹角为∠1,反射光线 OB 与水平镜面夹角为∠2,则∠1=∠2 .
(现象解释)
如图 2,有两块平面镜 OM,ON,且 OM⊥ON,入射光线 AB 经过两次反射,得到反射光线 CD.求证 AB∥CD.
(尝试探究)
如图 3,有两块平面镜 OM,ON,且∠MON =55° ,入射光线 AB 经过两次反射,得到反射光线 CD,光线 AB 与 CD 相交于点 E,求∠BEC 的大小.
(深入思考)
如图 4,有两块平面镜 OM,ON,且∠MON = α ,入射光线 AB 经过两次反射,得到反射光线 CD,光线 AB 与 CD 所在的直线相交于点 E,∠BED=β , α 与 β 之间满足的等量关系是 .(直接写出结果)
13.如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:
(1)仔细观察,在图2中有 个以线段AC为边的“8字形”;
(2)在图2中,若∠B=96°,∠C=100°,求∠P的度数;
(3)在图2中,若设∠C=α,∠B=β,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系(用α、β表示∠P),并说明理由;
(4)如图3,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 .
14.如图1,已知AB∥CD,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC.
(1)求证:∠BED=90°;
(2)如图2,延长BE交CD于点H,点F为线段EH上一动点,∠EDF=α,∠ABF的角平分线与∠CDF的角平分线DG交于点G,试用含α的式子表示∠BGD的大小;
(3)如图3,延长BE交CD于点H,点F为线段EH上一动点,∠EBM的角平分线与∠FDN的角平分线交于点G,探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系,请直接写出结论: .
15.已知在中,,点在上,边在上,在中,边在直线上,;
(1)如图1,求的度数;
(2)如图2,将沿射线的方向平移,当点在上时,求度数;
(3)将在直线上平移,当以为顶点的三角形是直角三角形时,直接写出度数.
【参考答案】
一、解答题
1.(1)70°;(2),证明见解析;(3)122°
【分析】
(1)过作,根据平行线的性质得到,,即可求得;
(2)过过作,根据平行线的性质得到,,即;
(3)设,则,通过三角形内角和得到,由角平分线
解析:(1)70°;(2),证明见解析;(3)122°
【分析】
(1)过作,根据平行线的性质得到,,即可求得;
(2)过过作,根据平行线的性质得到,,即;
(3)设,则,通过三角形内角和得到,由角平分线定义及得到,求出的值再通过三角形内角和求.
【详解】
解:(1)过作,
,
,
,,
,
故答案为:;
(2).
理由如下:
过作,
,
,
,,
,,
;
(3),
设,则,
,,
又,,
,
平分,
,
,
,
即,解得,
,
.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定,正确做出辅助线是解决问题的关键.
2.(1)100;(2)75°;(3)n=3.
【分析】
(1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OB
解析:(1)100;(2)75°;(3)n=3.
【分析】
(1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°,即可求出∠AOB;
(2)如图:分别延长AC、CD交GH于点E、F,先根据角平分线求得,再根据平行线的性质得到;进一步求得,,然后根据三角形外角的性质解答即可;
(3)设BF交MN于K,由∠NAO=116°,得∠MAO=64°,故∠MAE=,同理∠OBH=144°,∠HBF=n∠OBF,得∠FBH=,从而,又∠FKN=∠F+∠FAK,得,即可求n.
【详解】
解:(1)如图:过O作OP//MN,
∵MN//GHl
∴MN//OP//GH
∴∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°
∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°
∵∠NAO=116°,∠OBH=144°
∴∠AOB=360°-116°-144°=100°;
(2)分别延长AC、CD交GH于点E、F,
∵AC平分且,
∴,
又∵MN//GH,
∴;
∵,
∵BD平分,
∴,
又∵
∴;
∴;
(3)设FB交MN于K,
∵,则;
∴
∵,
∴,,
在△FAK中,,
∴,
∴.
经检验:是原方程的根,且符合题意.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及应用,正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键.
3.(1) ;(2)的值为40°;(3).
【分析】
(1)过点O作OG∥AB,可得AB∥OG∥CD,利用平行线的性质可求解;
(2)过点M作MK∥AB,过点N作NH∥CD,由角平分线的定义可设∠BEM
解析:(1) ;(2)的值为40°;(3).
【分析】
(1)过点O作OG∥AB,可得AB∥OG∥CD,利用平行线的性质可求解;
(2)过点M作MK∥AB,过点N作NH∥CD,由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x,∠CFN=∠OFN=y,由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°,进而求解;
(3)设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K,根据平行线的性质即三角形外角的性质及,可得,结合,可得
即可得关于n的方程,计算可求解n值.
【详解】
证明:过点O作OG∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥OG∥CD,
∴
∴
即
∵∠EOF=100°,
∴∠;
(2)解:过点M作MK∥AB,过点N作NH∥CD,
∵EM平分∠BEO,FN平分∠CFO,
设
∵
∴
∴x-y=40°,
∵MK∥AB,NH∥CD,AB∥CD,
∴AB∥MK∥NH∥CD,
∴
∴
=x-y
=40°,
故的值为40°;
(3)如图,设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K,
∵AB∥CD,
∴
∵
∴
∵
∴
即
∵FK在∠DFO内,
∴ ,
∵
∴
∴
即
∴
解得 .
经检验,符合题意,
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质,角平分线的定义,灵活运用平行线的性质是解题的关键.
4.(1)见解析;(2),理由见解析;(3)①当在延长线时(点不与点重合),;②当在之间时(点不与点,重合),.理由见解析
【分析】
(1)过P作PE∥AB,构造同旁内角,利用平行线性质,可得∠APC=
解析:(1)见解析;(2),理由见解析;(3)①当在延长线时(点不与点重合),;②当在之间时(点不与点,重合),.理由见解析
【分析】
(1)过P作PE∥AB,构造同旁内角,利用平行线性质,可得∠APC=113°;
(2)过过作交于,,推出,根据平行线的性质得出,即可得出答案;
(3)画出图形(分两种情况:①点P在BA的延长线上,②当在之间时(点不与点,重合)),根据平行线的性质即可得出答案.
【详解】
解:(1)过作,
,
,
,,
,
,,
;
(2),理由如下:
如图3,过作交于,
,
,
,,
,,
又
;
(3)①当在延长线时(点不与点重合),;
理由:如图4,过作交于,
,
,
,,
,,
,
又,
;
②当在之间时(点不与点,重合),.
理由:如图5,过作交于,
,
,
,,
,,
,
又
.
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用,主要考查学生的推理能力,解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.
5.(1)见解析;(2)∠PEQ+2∠PFQ=360°;(3)30°
【分析】
(1)首先证明∠1=∠3,易证得AB//CD;
(2)如图2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°.作EH//AB.理由平行线
解析:(1)见解析;(2)∠PEQ+2∠PFQ=360°;(3)30°
【分析】
(1)首先证明∠1=∠3,易证得AB//CD;
(2)如图2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°.作EH//AB.理由平行线的性质即可证明;
(3)如图3中,设∠QPF=y,∠PHQ=x.∠EPQ=z,则∠EQF=∠FQH=5y,想办法构建方程即可解决问题;
【详解】
(1)如图1中,
∵∠2=∠3,∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AB//CD.
(2)结论:如图2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°.
理由:作EH//AB.
∵AB//CD,EH//AB,
∴EH//CD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠2+∠3=∠1+∠4,
∴∠PEQ=∠1+∠4,
同法可证:∠PFQ=∠BPF+∠FQD,
∵∠BPE=2∠BPF,∠EQD=2∠FQD,∠1+∠BPE=180°,∠4+∠EQD=180°,
∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE=2×180°,
即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°,
∴∠PEQ+2∠PFQ=360°.
(3)如图3中,设∠QPF=y,∠PHQ=x.∠EPQ=z,则∠EQF=∠FQH=5y,
∵EQ//PH,
∴∠EQC=∠PHQ=x,
∴x+10y=180°,
∵AB//CD,
∴∠BPH=∠PHQ=x,
∵PF平分∠BPE,
∴∠EPQ+∠FPQ=∠FPH+∠BPH,
∴∠FPH=y+z﹣x,
∵PQ平分∠EPH,
∴Z=y+y+z﹣x,
∴x=2y,
∴12y=180°,
∴y=15°,
∴x=30°,
∴∠PHQ=30°.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义等知识.(2)中能正确作出辅助线是解题的关键;(3)中能熟练掌握相关性质,找到角度之间的关系是解题的关键.
二、解答题
6.(1)见解析;(2)100°;(3)不变,40°
【分析】
(1)如图1,延长交于点,根据,,可得,所以,可得,又,进而可得结论;
(2)如图2,作,,根据,可得,根据平行线的性质得角之间的关系,再
解析:(1)见解析;(2)100°;(3)不变,40°
【分析】
(1)如图1,延长交于点,根据,,可得,所以,可得,又,进而可得结论;
(2)如图2,作,,根据,可得,根据平行线的性质得角之间的关系,再根据比大,列出等式即可求的度数;
(3)如图3,过点作,设直线和直线相交于点,根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数.
【详解】
解:(1)证明:如图1,延长交于点,
,,
,
,
,
,
,
;
(2)如图2,作,,
,
,
,,
平分,
,
,
,
,
,
,
平分,
,
,
,
,
设,
,
比大,
,
解得
的度数为;
(3)的度数不变,理由如下:
如图3,过点作,设直线和直线相交于点,
平分,平分,
,
,
,,
,
,
,
,
由(2)可知:,
,
,
,
,
,
.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质.
7.(1)见解析;(2)45;(3)不变,见解析;
【分析】
(1)由可求得m及n,从而可求得∠MOC=∠OCQ,则可得结论;
(2)易得∠AON的度数,由两条角平分线,可得∠DON,∠OCF的度数,也
解析:(1)见解析;(2)45;(3)不变,见解析;
【分析】
(1)由可求得m及n,从而可求得∠MOC=∠OCQ,则可得结论;
(2)易得∠AON的度数,由两条角平分线,可得∠DON,∠OCF的度数,也易得∠COE的度数,由三角形外角的性质即可求得∠OEF的度数;
(3)不变,分三种情况讨论即可.
【详解】
(1)∵,,且
∴,
∴m=20,n=70
∴∠MOC=90゜-∠AOM=70゜
∴∠MOC=∠OCQ=70゜
∴MN∥PQ
(2)∵∠AON=180゜-∠AOM=160゜
又∵平分,平分
∴,
∵
∴
∴∠OEF=∠OCF+∠COE=35゜+10゜=45゜
故答案为:45.
(3)不变,理由如下:
如图,当0゜<α<20゜时,
∵CF平分∠OCQ
∴∠OCF=∠QCF
设∠OCF=∠QCF=x
则∠OCQ=2x
∵MN∥PQ
∴∠MOC=∠OCQ=2x
∵∠AON=360゜-90゜—(180゜-2x)=90゜+2x,OD平分∠AON
∴∠DON=45゜+x
∵∠MOE=∠DON=45゜+x
∴∠COE=∠MOE-∠MOC=45゜+x-2x=45゜-x
∴∠OEF=∠COE+∠OCF=45゜-x+x=45゜
当α=20゜时,OD与OB共线,则∠OCQ=90゜,由CF平分∠OCQ知,∠OEF=45゜
当20゜<α<90゜时,如图
∵CF平分∠OCQ
∴∠OCF=∠QCF
设∠OCF=∠QCF=x
则∠OCQ=2x
∵MN∥PQ
∴∠NOC=180゜-∠OCQ=180゜-2x
∵∠AON=90゜+(180゜-2x)=270゜-2x,OD平分∠AON
∴∠AOE=135゜-x
∴∠COE=90゜-∠AOE=90゜-(135゜-x)=x-45゜
∴∠OEF=∠OCF-∠COE=x-(x-45゜)=45゜
综上所述,∠EOF的度数不变.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义,平行线的判定与性质,角的和差关系,注意分类讨论,引入适当的量便于运算简便.
8.(1);(2)①或;②秒或或秒
【分析】
(1)通过延长作辅助线,根据平行线的性质,得到,再根据外角的性质可计算得到结果;
(2)①当时,分两种情况,Ⅰ当在和之间,Ⅱ当在和之间,由,计算出的运动时间
解析:(1);(2)①或;②秒或或秒
【分析】
(1)通过延长作辅助线,根据平行线的性质,得到,再根据外角的性质可计算得到结果;
(2)①当时,分两种情况,Ⅰ当在和之间,Ⅱ当在和之间,由,计算出的运动时间,根据运动时间可计算出,由已知可计算出的度数;
②根据题意可知,当时,分三种情况,
Ⅰ射线由逆时针转动,,根据题意可知,,再平行线的性质可得,再根据三角形外角和定理可列等量关系,求解即可得出结论;
Ⅱ射线垂直时,再顺时针向运动时,,根据题意可知,,,,可计算射线的转动度数,再根据转动可列等量关系,即可求出答案;
Ⅲ射线垂直时,再顺时针向运动时,,根据题意可知,,,根据(1)中结论,,,可计算出与代数式,再根据平行线的性质,可列等量关系,求解可得出结论.
【详解】
解:(1)延长与相交于点,
如图1,
,
,
,
;
(2)①Ⅰ如图2,
,,
,
射线运动的时间(秒,
射线旋转的角度,
又,
;
Ⅱ如图3所示,
,,
,
射线运动的时间(秒,
射线旋转的角度,
又,
;
的度数为或;
②Ⅰ当由运动如图4时,
与相交于点,
根据题意可知,经过秒,
,,
,
,
又,
,
解得(秒;
Ⅱ当运动到,再由运动到如图5时,
与相交于点,
根据题意可知,经过秒,
,
,
,,
运动的度数可得,,
解得;
Ⅲ当由运动如图6时,,
根据题意可知,经过秒,
,,
,,
,,
又,
,
,
解得(秒),
当的值为秒或或秒时,.
【点睛】
本题主要考查平行线性质,合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键.
9.(1);(2)不变化,,理由见解析;(3)
【分析】
(1)结合题意,根据角平分线的性质,得;再根据平行线的性质计算,即可得到答案;
(2)根据平行线的性质,得,;结合角平分线性质,得,即可完成求解
解析:(1);(2)不变化,,理由见解析;(3)
【分析】
(1)结合题意,根据角平分线的性质,得;再根据平行线的性质计算,即可得到答案;
(2)根据平行线的性质,得,;结合角平分线性质,得,即可完成求解;
(3)根据平行线的性质,得;结合,推导得;再结合(1)的结论计算,即可得到答案.
【详解】
(1)∵BC,BD分别评分和,
∴,
∴
又∵,
∴
∵,
∴
∴;
(2)∵,
∴,
又∵BD平分
∴,
∴;
∴与之间的数量关系保持不变;
(3)∵,
∴
又∵,
∴,
∵
∴
由(1)可得,
∴.
【点睛】
本题考查了角平分线、平行线的知识;解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线的性质,从而完成求解.
10.(1)120º,120º;(2)160;(3)
【分析】
(1)过点作,,根据 ,平行线的性质和周角可求出,则 ,再根据 , ,可得 , ,可求出 ,,根据 即可得到结果;
(2)同理(1)的求法,
解析:(1)120º,120º;(2)160;(3)
【分析】
(1)过点作,,根据 ,平行线的性质和周角可求出,则 ,再根据 , ,可得 , ,可求出 ,,根据 即可得到结果;
(2)同理(1)的求法,根据,, 求解即可;
(3)同理(1)的求法,根据,, 求解即可;
【详解】
解:(1)如图示,分别过点作,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,,
∴.
(2)如图示,分别过点作,,
∵,∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,,
∴.
故答案为:160;
(3)同理(1)的求法
∵,∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴, ,
∴.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和角度的运算,熟悉相关性质是解题的关键.
三、解答题
11.(1)∠E=45°;(2)∠E=;(3)不变化,
【分析】
(1)由三角形内角和定理,可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,由角平分线的性质,可得∠ECD=∠ECB=∠
解析:(1)∠E=45°;(2)∠E=;(3)不变化,
【分析】
(1)由三角形内角和定理,可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,由角平分线的性质,可得∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,则可得∠E= (∠D+∠B),继而求得答案;
(2)首先延长BC交AD于点F,由三角形外角的性质,可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D,又由角平分线的性质,即可求得答案.
(3)由三角形内角和定理,可得,利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案.
【详解】
解:(1)∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E,
∴∠E=(∠D+∠B),
∵∠ADC=50°,∠ABC=40°,
∴∠AEC= ×(50°+40°)=45°;
(2)延长BC交AD于点F,
∵∠BFD=∠B+∠BAD,
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D,
∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-∠BCD
=∠B+∠BAE-(∠B+∠BAD+∠D)
= (∠B-∠D),
∠ADC=α°,∠ABC=β°,
即∠AEC=
(3)的值不发生变化,
理由如下:
如图,记与交于,与交于,
①,
②,
①-②得:
AD平分∠BAC,
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义.此题难度较大,注意掌握整体思想与数形结合思想的应用.
12.【现象解释】见解析;【尝试探究】ÐBEC = 70°;【深入思考】 b = 2a.
【分析】
[现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2,∠3=∠4,再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠
解析:【现象解释】见解析;【尝试探究】ÐBEC = 70°;【深入思考】 b = 2a.
【分析】
[现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2,∠3=∠4,再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即可得出∠DCB+∠ABC=180°,即可证得AB∥CD;
[尝试探究]根据三角形内角和定理求得∠2+∠3=125°,根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2,∠3=∠4,再利用平角的定义得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°,即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°,根据三角形内角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°;
[深入思考]利用平角的定义得出∠ABC=180°-2∠2,∠BCD=180°-2∠3,利用外角的性质∠BED=∠ABC-∠BCD=(180°-2∠2)-(180°-2∠3)=2(∠3-∠2)=β,而∠BOC=∠3-∠2=α,即可证得β=2α.
【详解】
[现象解释]
如图2,
∵OM⊥ON,
∴∠CON=90°,
∴∠2+∠3=90°
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠DCB+∠ABC=180°,
∴AB∥CD;
【尝试探究】
如图3,
在△OBC中,∵∠COB=55°,
∴∠2+∠3=125°,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°,
∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°,
∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°,
∴∠BEC=180°-110°=70°;
【深入思考】
如图4,
β=2α,
理由如下:∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠ABC=180°-2∠2,∠BCD=180°-2∠3,
∴∠BED=∠ABC-∠BCD=(180°-2∠2)-(180°-2∠3)=2(∠3-∠2)=β,
∵∠BOC=∠3-∠2=α,
∴β=2α.
【点睛】
本题考查了平行线的判定,三角形外角的性质以及三角形内角和定理,熟练掌握三角形的性质是解题的关键.
13.(1)3;(2)98°;(3)∠P=(β+2α),理由见解析;(4)360°.
【分析】
(1)以M为交点的“8字形”有1个,以O为交点的“8字形”有2个;
(2)根据角平分线的定义得到∠CAP=∠
解析:(1)3;(2)98°;(3)∠P=(β+2α),理由见解析;(4)360°.
【分析】
(1)以M为交点的“8字形”有1个,以O为交点的“8字形”有2个;
(2)根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B,即∠P=(∠C+∠B),然后把∠C=100°,∠B=96°代入计算即可;
(3)与(2)的证明方法一样得到∠P=(2∠C+∠B).
(4)根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1,∠C+∠D=∠2,再根据四边形内角和为360°可得答案.
【详解】
解:(1)在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”,
故答案为3;
(2)∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,
∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,
∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B,
即∠P=(∠C+∠B),
∵∠C=100°,∠B=96°
∴∠P=(100°+96°)=98°;
(3)∠P=(β+2α);
理由:∵∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,
∴∠BAP=∠BAC,∠BDP=∠BDC,
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,
∴∠C﹣∠P=∠BDC﹣∠BAC,∠P﹣∠B=∠BDC﹣∠BAC,
∴2(∠C﹣∠P)=∠P﹣∠B,
∴∠P=(∠B+2∠C),
∵∠C=α,∠B=β,
∴∠P=(β+2α);
(4)∵∠B+∠A=∠1,∠C+∠D=∠2,
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2,
∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
故答案为360°.
14.(1)见解析;(2)∠BGD=;(3)2∠BGD+∠BFD=360°.
【分析】
(1)根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB=(∠ABD+∠BDC),根据平行线的性质∠ABD+∠BDC=180°
解析:(1)见解析;(2)∠BGD=;(3)2∠BGD+∠BFD=360°.
【分析】
(1)根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB=(∠ABD+∠BDC),根据平行线的性质∠ABD+∠BDC=180°,从而根据∠BED=180°﹣(∠EBD+∠EDB)即可得到答案;
(2)过点G作GP∥AB,根据AB∥CD,得到GP∥AB∥CD,从而得到∠BGD=∠BGP+∠PGD=∠ABG+∠CDG,然后根据∠EBD+∠EDB=90°,∠ABD+∠BDC=180°,
得到∠ABE+∠EDC=90°,即∠ABE+α+∠FDC=90°,再利用角平分线的定义求出2∠ABG+2∠CDG=90°﹣α即可得到答案;
(3)过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB,从而得到AB∥GM∥FN∥CD,得到∠BGD=∠BGM+∠DGM=∠4+∠6,根据BG平分∠FBP,DG平分∠FDQ,∠4=∠FBP=(180°﹣∠3),∠6=∠FDQ=(180°﹣∠5),即可求解.
【详解】
解:(1)证明:∵BE平分∠ABD,
∴∠EBD=∠ABD,
∵DE平分∠BDC,
∴∠EDB=∠BDC,
∴∠EBD+∠EDB=(∠ABD+∠BDC),
∵AB∥CD,
∴∠ABD+∠BDC=180°,
∴∠EBD+∠EDB=90°,
∴∠BED=180°﹣(∠EBD+∠EDB)=90°.
(2)解:如图2,
由(1)知:∠EBD+∠EDB=90°,
又∵∠ABD+∠BDC=180°,
∴∠ABE+∠EDC=90°,
即∠ABE+α+∠FDC=90°,
∵BG平分∠ABE,DG平分∠CDF,
∴∠ABE=2∠ABG,∠CDF=2∠CDG,
∴2∠ABG+2∠CDG=90°﹣α,
过点G作GP∥AB,
∵AB∥CD,
∴GP∥AB∥CD
∴∠ABG=∠BGP,∠PGD=∠CDG,
∴∠BGD=∠BGP+∠PGD=∠ABG+∠CDG=;
(3)如图,过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥GM∥FN∥CD,
∴∠3=∠BFN,∠5=∠DFN,∠4=∠BGM,∠6=∠DGM,
∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠3+∠5,
∠BGD=∠BGM+∠DGM=∠4+∠6,
∵BG平分∠FBP,DG平分∠FDQ,
∴∠4=∠FBP=(180°﹣∠3),
∠6=∠FDQ=(180°﹣∠5),
∴∠BFD+∠BGD=∠3+∠5+∠4+∠6,
=∠3+∠5+(180°﹣∠3)+(180°﹣∠5),
=180°+(∠3+∠5),
=180°+∠BFD,
整理得:2∠BGD+∠BFD=360°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定,角平分线的性质和三角形内角和定理,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15.(1)60°;(2)15°;(3)30°或15°
【分析】
(1)利用两直线平行,同旁内角互补,得出,即可得出结论;
(2)先利用三角形的内角和定理求出,即可得出结论;
(3)分和两种情况求解即可得
解析:(1)60°;(2)15°;(3)30°或15°
【分析】
(1)利用两直线平行,同旁内角互补,得出,即可得出结论;
(2)先利用三角形的内角和定理求出,即可得出结论;
(3)分和两种情况求解即可得出结论.
【详解】
解:(1),
,
,
,
,
;
(2)由(1)知,,
,
,
,
;
(3)当时,如图3,
由(1)知,,
;
当时,如图4,
,
点,重合,
,
,
由(1)知,,
,
即当以、、为顶点的三角形是直角三角形时,度数为或.
【点睛】
此题是三角形综合题,主要考查了平行线的性质,三角形的内角和定理,角的和差的计算,求出是解本题的关键.
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