金融的数学模型与方法试题A评分标准.doc

莆田学院期末考试试卷参考答案及评分标准20102011学年 第 1学期 （A）卷 课程名称： 金融的数学模型与方法 适用年级/专业 08金融 试卷类别：开卷（ ）闭卷（） 学历层次： 本科 考试用时： 120 分钟考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分一、填空题（每小题3分，共12分）1. 一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约2. 3.在相反方向交易份额的原生资产，使得构成的投资组合：4.其中为正常数，表示标准的Brown运动，为风险的市场价格。二、计算题（30分）1、（15分）设今日为1月1日，现股价为70元，无风险利率为4%，若在三个月期间，每一个月股价有两种可能：或上升5%或下降5%. 若购买一张3月31日到期的敲定价为70元的看跌期权，如按合约规定，第2个月月底持有人有权提前实施期权，问期权金为多少？解：依题意得，,令 5分经计算可得， 10分2、（15分）若随机过程分别适合随机微分方程： 其中，表示相应的期望回报率，表示相应的波动率，表示标准的Brown运动。求解：由公式可得， 8分 7分三、证明题（共30分）1、（15分）证明欧式看跌期权的价格是敲定价格的凸函数，即设，则有。证：在时刻构造两个投资组合在期权的到期日当时，当时，； 8分当时，即；当时，；因此在，而由无套利原理立得，。 7分2、（15分）设是利率为，红利率为，敲定价为的欧式看涨期权价格，这里。证明：当时，。证：记当时，当时，由于，则，又根据看涨期权关于敲定价格递减，可知，即。10分假设当时，成立，则当时，即由归纳法，可证命题成立。 5分四、综合题（共28分）1、（12分）若股票不付红利，对于美式看跌股票期权，试说明股价下跌到一定程度，提前实施是必要的原因？答：若在时刻，那么持有人必须提前实施。 4分因为持有人在期权到期日的收益在任何情况下一定不会超过。但若在时刻提前实施，当时获益把这个收益存入银行，它在的总收入将超过。因此此时提前实施是必要的。 8分 2、（16分）叙述认股权证的定义以及与欧式看涨期权的异同点，并建立认股权证的数学模型。答：认股权证的定义：持有人在确定的时间，按确定的价格按规定的股数买入一特定公司的股票。 与欧式看涨期权的异同点：共同点：两者均保证持有人有权在未来确定时刻购买股票不同点：（1）认股权证所买入的股票是上市公司所发行的新股票，而欧式看涨期权所购买的股票不一定是新发行的；（2）认股权证有效期一般为几年，而看涨期权有效期一般为几个月6分认股权证的数学模型：基本假定：（1）假定公司有股普通股股票和份已发行的认股权证W；（2）认股权证的有效期为，且每份认股权证授权持有者以元购买一股股票；（3）假定公司资产价值过程演化服从几何Brown运动， 这里，表示期望收益率表示波动率，为标准的Brown运动过程认股权证数学模型：（1）当时，由于执行认股权证，公司总价值为，股票的数量为，每份股票的价值为，因此当时，而当时，即当时，。.（2）当时，在时刻，构造投资组合，选取适当的使得在内，是无风险的。由公式，可知选取使得是无风险的，并推得满足的偏微分方程为因此在定解区域上所满足的定解问题为 10分