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2024年美国大学生数学建模竞赛培训课件
内容：2010年研究生数学建模竞赛D题
题目特殊工件磨削加工的数学建模

某科研单位和工厂研制了一种大型精密内外圆曲线磨床，用来加工具有复杂母线旋转体的特殊工件，如导弹天线罩等，这些工件具有硬度高、尺度大、加工精度高和母线为连续光滑曲线等特点。图1是几类加工工件示例，工件1的内外母线均为凸的，工件2的内母线是非单调凸的。这些工件的最后精密成形工艺采用磨削加工。

图1 几类特殊加工工件示例

该磨床主要由机床底座，下工作台，中工作台，上工作台（简称下台、中台和上台），工件工作箱和砂轮机箱等组成（见图2，其中仅画出砂轮而未显示砂轮机箱）。下台、中台可分别沿着设在底座和下台上的直导轨作直线运动，这两组导轨相互垂直；上台能沿中台上的圆导轨作转动。驱动砂轮高速旋转的砂轮机箱安装在机床底座上，砂轮的旋转轴线与底座导轨方向保持平行，且与工件工作箱的旋转主轴等高（即两旋转轴线位于同一水平面）。各工作台的移动量均可在机床控制面板上自动显示。图2所示为磨削工件外表面时的情况，更换砂轮后可加工内表面。

图2 大型数控精密内外圆磨床的结构示意图

工件工作箱固装在上台上，它通过专用夹具装夹工件，使工件绕工件工作箱主轴以较慢的转速旋转，同时随三个工作台的复合运动改变待加工工件与砂轮的相对位置。三个台的运动必须相互配合，使工件与砂轮相切磨削，加工出满足要求的旋转体。
三个工作台的运动分别由三组步进电机控制。步进电机是一种精密数控电动机，每输入一个控制脉冲，电机主轴转动一个精确的步进角度（正向或反向），它的大小与方向由电机结构和控制电路确定（改变电机诸绕组的通电顺序就可改变其旋转方向）；既可输入适当个数的脉冲控制电机主轴的角位移量；也可通过控制某时段中的脉冲频率或脉冲的分布使电机主轴转动速度达到某种要求：若某时段中的脉冲频率为常数（即脉冲为均匀分布），则电机主轴的转动可视为匀速，否则为变速，从而实现调速。电机主轴的转动通过变速器并由精密丝杠--螺母副的转换，变为螺母的平动，从而带动负载运动（即下，中台的直线运动和上台的转动）。由于步进电机的输出功率较小，在传动链路中需要专用电-液功率放大伺服机构将步进电机的转动功率放大。（图2中没有画出各组精密丝杠--螺母副和相应的功放伺服机构）
步进电机的输入脉冲则根据本题所研究的加工方案由机床主计算机控制分配。

图3 电机--伺服机构--丝杠--螺母副--负载之间传动链路

控制下台、中台运动的步进电机和相应的传动系统分别安装在机床底座、下台上，其传动链路如图3所示。控制上台的步进电机和相应的传动系统安装在中台上（见图4所示），因为上台作旋转，其传动链路需增加环节。中台的几何中心有一个垂直转轴，上台能绕以该转轴中心为圆心、固定在中台上的圆导轨转动；螺母通过上台的精密滑槽（虚线所示）带动上台转动。图4为上台、中台某时刻的状态，为工件工作箱的夹具基准面到中台转轴的距离，该基准实际上是工件母线的起点；为中台转轴到控制丝杠—螺母副中心线的距离。

图4 上台相对中台的转动示意关系
磨床的磨削工具是能磨削高硬度材质的金刚砂轮（指磨削表面含有超高硬度的金刚砂粒），磨外圆时根据工件母线的形状，砂轮可采用圆柱体式或轮式，作内圆磨削的砂轮为轮式。圆柱型砂轮的主要几何参数是砂轮直径和砂轮厚度。轮式砂轮的主要几何参数有砂轮最大纵截面（垂直于砂轮转轴的最大截面）的直径和砂轮厚度，以及其横截面（通过砂轮转轴的截面）的外端轮廓线参数（理论上它可以是任一凸光滑曲线，但工程上常选用半径为、张角不大于180的圆弧），合理的砂轮几何参数是加工能否实现的关键因素之一（见图5）。在整个加工过程中工件与砂轮不应脱离接触。

图5 轮式砂轮加工具有凸凹母线的工件时的示意图

为使研究生集中精力解决主要的几个问题，（在解决复杂工程问题的初始阶段也应该如此）
不考虑各组步进电机、变速器，功放伺服机构和精密丝杠--螺母副的各种误差；
认为控制脉冲宽度的时间尺度不大于ms级(秒）；
三工作台的可移动范围足够大，能保证被加工工件的加工；
工件在预加工后留给磨削的加工余量可确保一次磨削成形，砂轮尺寸可任意选择；
砂轮与工件开始接触磨削前，工作台应有一小段预运动，以便与后续的磨加工运动平稳衔接，称这一小段运动为预动。题目要求的加工方案从预动后开始；

本题的研究内容是：运用数学建模的方法，根据旋转体工件的光滑母线方程，给出一个合理的加工方案，在尽可能短的时间内完成磨削，并作加工误差分析。
加工方案指为了完成加工任务的各个步骤（含具体内容）以及相应的数据，包括如何确定加工基准，如何选择加工次序，如何选择砂轮几何尺寸，如何确定三组控制步进电机在各时间段（自主进行时间分段）中各自应发的脉冲数和这些脉冲在该时段的分布等，以及你们认为应给出的其他内容。
误差方析主要包括实际加工曲线与理论曲线在整体与局部的误差，误差的来源分析，你们采用什么数学量来表示上述误差，你们采取的措施在减少加工误差方面的实际效果等，以及你们认为应给出的其他内容。
加工方案的合理性主要指加工几何误差和加工表面光滑性要求。实践表明相邻两时间段的脉冲频率和(,分别指前后时段中的脉冲频率)相差大，是造成工作台运动的不平稳，加工表面的质量下降的重要原因。可以采取措施，要求（一般取），你们也可以进行机理分析提出其他言之成理的方法。
本题的具体数据如下：
各组步进电机的步进角度（每输入一个控制脉冲的主轴转动角）均为1；
对步进电机的控制脉冲的最高工作频率不大于每秒100脉冲；
各组变速器的传动比为10：1（即步进电机转1，则变速器输出0.1）；丝杆的螺距为12mm；
中台转轴到上工作台的控制丝杠—螺母副中心线的距离 mm，工件工作箱的夹具基准面到中台转轴的距离 mm；
为保证表面的加工质量，要求工件每转动100转，工件与砂轮的切点在工件工作箱的旋转轴方向上的移动量不超过4 mm；
工件工作箱主轴转动速度设定为每分钟250--300转。

请依次研究下列4个问题（单位：mm）：
问题1：加工外表面母线为
的某旋转体工件，采用圆柱型砂轮加工，给出一个加工方案；对你的方案作误差分析。
问题2：加工外表面母线为
的某旋转体工件，采用轮式砂轮加工，给出一个加工方案；对你的方案作误差分析；

问题3：在整个加工过程中，若各个瞬时砂轮与加工工件的相切点是固定在底座和砂轮旋转轴的坐标系中同一个点（实际是点的一个邻域），随砂轮旋转形成一个圆周，那么砂轮在该圆周上的磨损会加大，从而影响加工质量。为此，希望在加工过程中使砂轮表面的磨损尽量均匀，请结合上述第1问题，提出一个修整策略，给出一个合理的加工方案，作相应的误差分析。

问题4：请结合上述第2问题，提出一个修整策略，给出一个使轮式砂轮表面的磨损尽量均匀的合理加工方案，作相应的误差分析。

命题作者 上海交通大学 周国标
参考答案
一.本题背景
本题是从一个科研项目中提炼而成 ,该项目是一个工程项目,为加工我国独立自主研制的新型地空导弹的天线罩,需要研制一台大型精蜜内外圆数控磨床,由某航天科研院与善长于磨床研究生产的上海机床厂合作研制.这个工程包括研制一台能磨削天线罩这样工件的磨床,并调试机床数字控制系统.该工程的研制成功,不仅解决了当时国内加工导弹天线罩这类特殊工件采用靠模式机床无法保证精度的问题,也提供了加工大型旋转体工件的设备(这是该工程的一个副产品),同时为当时国产机床的计算控制积累了经验.
数控机床加工曲线的常规方法是挿补,这对于车床、铣床都是可以实现的,但对磨床来说,由于切削工具是砂轮,直接套用x—y插补技术有不可逾越的障碍,那就是砂轮外形对曲线的“干涉”！所以，曲线磨床无法直接采用x—y插补技术。为此，该机床的总体设置放弃了两个相互垂直的工作台x—y插补实现曲线加工的传统结构方式，有创意地加人第三个工作台，这个工作台就是本题中的上工作台，它在前两个工作台运动的基础上（即跟随下台和中台提供的x—y向运动）,再做旋转运动,构成了有3个自由度的复合运动.这样就可以与砂轮的外形配合,加工出(理论上)任何曲线来。
该机床的控制系统也有不少值得称道的国内首创的技术突破。应该说,这是可以编入机械专业教科书的精彩内容(不知道现有的机床教科书有没有编进？)。
有了机床，就要编制出计算机控制程序，其前提是如何根据要加工的曲线（实际上是旋转体的母线）方程，确定三个工作台相互配合的运动。
这是适合于研究生数学建模竞赛的适当素材，本题就是围绕对这一素材，去除许多工程处理的细节，集中了数学建模及其求解提炼出来的。
二。D题命题的指导思想
研究生数学建模竞赛是国内研究生中较为优秀的一部分学生的竞赛,在朱道元先生为代表的一批有识之士长期坚持和努力下,已经成为国内有重要影响的数学奥林匹克。既然是竞赛,就要比高低和好坏。但本命题人认为,各地和各校拿几个奖,不应是我们这项赛事的主要目标(虽然已经出现了有的学校以此为教学水平甚至领导政绩的标致的现象),我们的根本目标应是坚忍不拔地引导和影响国内高等数学教育走上正确健康之路,使一批研究生能打下灵活应用学到的数学理论和方法,解决较高难度的实际问题的基础。D题命题的指导思想是：
1. 考核高等数学最基本的观念和最常用的方法。就D题而言,涉及到建立坐标系,向量运算,坐标变换,导数(曲线的切线),曲率,线性空间的基,动态系统的运动分析等等属于最基本的概念。希望研究生们通过本题,认识到再前沿的科学研究,再复杂的工程技术,大部分都将分解或转化为最基本最基础的问题。
2. 考核学生在解决复杂问题的过程中,根据研究的进展,不断提炼或提出子问题的能力,或深化问题的研究能力。本题的目标是研究三个工作台相互配合的运动,是工程层面的问题,如何把它转化为一个平面运动的点的运动方程和轨迹方程,是第一层深化;如何运用坐标变换,实现逼近是第二层深化;为保证机床各个工作台运动平稳,则是第三层深化,等等。在每次深化中,都可以提炼出相应的数学问题。对于本题，可以提出解析儿何的坐标变换模型，微分方程模型，甚至最优控制模型，而且各问题环环相扣，层层深化，数学的含量也逐步提高。提到什么层次的问题取决于你的研究的角度和深度，也取决于你的数学功底。
3。考核学生阅读能力和理解实际问题情景的能力。D题后面2/3的篇幅是介绍加工任务的由来,机床特点,砂轮等文字与图的内容。希望学生能在头脑里显示机床的空间概念,理清众多数据之间的联系和区别,为建模做好准备。如果连起码的空间想象能力都缺乏,那么后面的工作就很难展开。如果面对一堆数据,弄不清联系与区别,你不知道先用哪个后调哪个,模型应怎么建立？这常是影响学生解决实际问题的第一道障碍。这种能力的缺损是很大部分国内学生的通病,属于综合素养的问题,而不单单数学素养问题。
4. 考核学生从读题中抓住其中关键的信息能力。建立三个工作台的运动与被加工曲线之间的定量关系是求解本题的核心,而这样理解这个定量关系的基础是能否数学描述三个工作台构成的复合运动的方程,这也是建立误差理论的关键。另外的关键信息是能否透过众多数据,分好类,弄清什么数据与什么数据有关。这个能力也非单单属于数学。
5. 考核学生对动态系统的处理能力。三个工作台的运动是一个动态过程,而非静态的坐标变换的计算。目前学生对静态问题的处理要好于对动态问题的处理,相应的训练也不够。
6. 考核学生的计算能力。这是大多数研究生较强的部分,计算机玩得比较好。
7. 考核学生的空间想象能力和文字表述能力。
三。题目分析
本题在数学上属于一类“数值逼近问题”，即使得砂轮与工件的切点的轨迹形成的曲线尽量与理论曲线重合，因此逼近的主要指标首先是精度要高或误差要小。处理数值逼近问题的基本数学思想之一是“用空间换精度”，也就是把整体分成若干局部，在每个局部区域上用较筒单的曲线来近似理论曲线，然后汇合成整体。所以，整体近似曲线是所有局部简单曲线的集成，当局部足够小时，逼近精度将越来越高。在“数值计算”的课程中，介绍了用事先选定的简单函数（如多项式）作为局部逼近函数的基函数，采用有关准则来建立逼近方程，于是具体的计算就转化为求解方程。如果考生一开始就认识到本题的属性，容易想到上述思路。
但是，本题很难找到事先选定的简单函数，所以要想套用现成的逼近方法是困难的。不过，“把整体分成局部，用局部逼近整体”的数学思想却是“放之四海而皆准的”。不能随便套用的是教科书上现成的数学方法和相应公式。这是必须打破多数学生的“思维定势”的第一点。
这样。具体实施这个逼近的第一步是“分段”。将被逼近曲线f(x),x∈［0,600］划分为若干子段。以后我们考虑的局部误差就在每一子段上计算。
第二, 本题的逼近是对平面曲线的逼近,如果记砂轮旋转轴线和工件工作箱的旋转主轴线构成的平面为π,那么工件母线就在π内,所以我们的逼近在π内实现。局部逼近是靠三个工作台的运动实现的。为了使局部逼近曲线也是一条光滑连续曲线,三个工作台必须同时运动,而且要相互配合,而非相继先后运动！这是一个动态的逼近过程。由于上台带动工件运动,也就是带动工件的母线运动,或更确切些,是带动函数y=f(x)在平面π内运动。y=f(x)是不变的,故可视y=f(x)为刚体。因此,认识到y=f(x)在整个逼近过程中作刚体的平面运动。这是决定我们建立模型成败的第2个关键。
所谓刚体的平面运动是指刚体这样的运动：在其运动过程中,刚体的任一点到某一个固定平面的距离始终不变。下面简称为平面运动。不难知道,刚体的平面运动可用截刚体的一个行于那个固定平面的平面图形在其自身平面内的运动来代替。记此平面图形为S。
现研究图形S在固定坐标系O－xy内运动。若图形内的任意两点A,B固定,则整个图形就固定,因此,图形S的运动可用直线段AB的运动来代替。直线段AB的自由度显然等于3,因此可选用A点的坐标和AB与x轴的夹角作为独立变量(这样的选法当然不唯一)。当图形S运动时,这3个变量是时间t的函数：
……………(3.1)

这组函数称为平面运动方程式。
运动可以分解和合成。平面运动可分解为平动和转动。如图2所示，设平面图形的位移使直线段移动到。这个运动可以通过两个分位移来实现：先使移到，再使绕点旋转角度与重合。在这样的情况下，称点为基点。当然我们也可先使移到，在使绕转动角度与重合，此时称为基点。容易看出，当以为基点时，平动从移到；当以为基点时，平动从移到，两者不同。但是，以为基点的转动位移与以为基点的转动位移大小却完全相同，都是，而且转动方向都一样（在本例中为逆时向）。因此，平动位移与基点的选择有关，而转动位移与基点的选择无关。
上述分析对于位移是有限还是微小的，都有效。所以，方程(3.1)中的前2个，描述的是图形平动的规律，第3个描述的是图形绕基点转动的规律。围形平动可由方程组

……… (3.2)
描述平动的速度和加速度。
转动也可由
………… (3.3)
描述转动的角速度和角加速度，一般取逆时针方向为正向。
所以，平面运动可以视为选定基点的平动和图形（刚体）绕基点的转动的合成。在整个基础上，不难推出作平面运动的图形内各点的速度。
下面推导平面图形内任一点的速度。设固定坐标系为，在图形上取点为基点，并取与图形固连的动坐标系，轴与轴的夹角为。点在系中的坐标是，点在两个坐标系中的坐标分别为和。那么不难知道它们之间的关系为
………… (3.4)

在动坐杯系中是定值，但是注意到和实质上都是时间t的函数。所以(3.4)就是B点的运动方程，描述了B点随着平面图形(或刚体)的运动得到的在固定坐标系O—xy中两亇坐标方向的分运动。
(3.4)也可以用向量方法推出。记A点，B点在固定坐标系中的向量分别为，而B在动坐杯系中的向量为。显然有 ……… (3.5)
其中分别是的两个基向量，分别是动坐标系的两个基向量。于是，B点在固定坐标系为中的坐标分量为
，
。
我们有时更希望知道点的运动轨迹，其实只须从（3.4）中消去时间，就可得到点的运动轨迹。将（3.4）的两式各平方之：
,
。
将上2式相加，并记，则有点的运动轨迹
， …………（3.6）
注意，由于是点在固定坐标系中的坐标，是时间的函数，也是时间的函数，所以（3.4）不能直接视为一个圆的方程。
再看点的速度。对（3.4）的两边关于时间求导数，即得的速度在固定坐标系中的投影分量：

其中为图形的转动角速度。代入（3.4）有
。 ………… (3.7)
如果记角速度向量，其中为垂直于固定坐标系的基向量的由右手系统决定的基向量，那么点的速度可写成向量形式
………（3.8）
这就是说，图形上任一点的速度等于基点的速度与相对于基点的转动速度的向量和。
同理，也可以推出点的加速度公式。因为本题希望工作台平稳运动（即速度尽量变动小），所以，这套公式在此省略。
第三，要认识到本题的逼近是靠三个工作台的运动是实现的，系统是一个动态系统。研究动态系统的定量分析（包括建立方程，计算和求解）都在坐标系中进行。所以建立合理的坐标系统是本题的第3个要点。如前所述，砂轮旋转轴线和工件工作箱的旋转主轴线构成的平面为，我们的所有坐标系和分析工作都在这个平面内进行。
首先是固定坐标系（或绝对坐标系），显然应选固定的机床本身，记为。取内某固定点为坐标原点，取下台导轨方向为轴，规定向右为正向，按右手准则确定轴。
再建立与工件工作箱固联的工件坐标系。取工件工作箱旋转主轴与夹具基准面交点为该系原点，沿工件工作箱旋转主轴方向为轴，以离开工件工作箱方向为正向，同理按右手准则确定轴。由于工件工作箱固装在上台上，随上台的运动相对机床身（即固定坐标系）而动，工件坐标系是动坐标系。工件母线的方程实际是在此坐标系中建立的，现记此母线方程为。
最后建立旋转坐标系（或上台坐标系)，原点即为上台旋转中心，轴与相同，显然轴与平行，相距（中台转心到夹具基准面的距离）。

第四．现考虑磨削问题1时的情况，这个问题的处理是全题的基础。
在下图中，假设集中研究加工工件母线的弧段，这个弧段在分段时已经确定。图示正在磨削的为点，母线与砂轮的接触点，理论上就是点；而砂轮的切削点与重合。注意到砂轮仅作高速旋转，砂轮机座与机床底座是固联的，所以切削点始终不动，它在固定坐标系中的坐标为定值。而，点在工件坐标系中的坐标是定值，从而在上台坐标系中的坐标也是定值，只差工件工作箱主轴方向上的一个常量，即
………… (3.9)

还注意到，在磨削点时，由于工件母线的切线与砂轮的圆柱形母线是重合的，此时上台坐标系相对于固定坐标系已经旋转了角度，这个角度大小正好等于工件母线方程在工件坐标系中于点处的切线与轴正方向之间的夹角，由高等数学知，
， …………（3.10）
当时，是锐角；当时，是钝角。根据我们所设立的坐标系的关系，可以建立与的关系：
。 …………（3.11）
现在我们用刚体平面运动的观点，考虑加工工件母线的弧段的过程中，三个工作台的运动量。这个过程的初始点是磨削点，终止点是磨削点。注意到磨削点时，点必到达砂轮的切削点，且工件母线在点处的切线与砂轮的圆柱形母线重合。这是三个工作台协调复合运动的结果。从刚体平面运动的观点看，我们若选择点（上台的旋转中心，或上台坐标系的原点）为平面运动的基点，那么在加工工件母线的弧段的过程中，下台与中台的运动结果等于平面运动的基点的运动。说得具体些，在固定坐标系中，记基点的初始点位置为，而其终止点位置为，则基点的方向的平移运动量和分别为：

。 …………（3.12）
实际上就是下台的相对平移量，则是中台的相对平移量。
描述平面运动的第3个运动是该平面的转动角增量，即上台的相对转动量。由（3.11）直接可得：
。 …………（3.13）
所谓“加工工件母线的弧段”，是指确定下台与中台的相对平移运动量和，以及上台的相对转动角。看起来有3个待求的未知量，但是实际上，第3个量在工件母线的分段确定后，直接可通过计算曲线在指定点的导数不难得出，因此不用归入未知量。也就是说，只需要确定和。应用平面运动的方程式(3.4)，注意到曲线上的点“被运动”到
一开始点原来的位置，或砂轮切削点处，即在该加工的终止点处点的坐标就等于点的坐标，这样就建立方程

……… (3.14)
从而有
………(3.15)
至此，我们可以在已知“工件母线的弧段”的初始基点的基础上，计算出加工该段的下台与中台的相对运动量，而上台的相对转角则直接从工件母线方程上通过简单计算得出。
第五．现在可考虑三个步进电机应发的脉冲数。这是简单的。不难计算出下台和中台的脉冲当量——发一个脉冲使工作台的移动量：
（mm）, ……… (3.16)
同理，上台的脉冲当量——发一个脉冲使工作台的转动量：
(弧度) ……… (3.17)
因此，下台和中台应发的脉冲个数分别为
，； ………（3.18）
上台应发的脉冲个数为
， ………… (3.19)
其中记号表示用四舍五入方式取整数。
到这里，我们已经完成第一层面的建模以及计算方法的工作，即求出子段上的三个工作台的运动量。不过，就题目要求而言，还没有结束，后面关于运动平稳性的建模与计算，我认为更加有挑战性，需要的数学内容和工具也要深一点。
四．两条母线函数的数学性态
这两条曲线是模拟函数，第一条简单些，为探索求解整道题做准备，第二条复杂些，考核学生灵活应用的能力。两条母线函数的数学性态的分析是必须的，因为加工方案的设计与曲线的性态密切相关，分段逼近的分段点的选择也取决于曲线的极值点和拐点的位置。从能看到的15篇考生论文看，能意识到必须要做这样常规分析的队还不多。虽然这样的分析只能算是微积分起码的练习，不存在难度，但也可看出很多考生的数学思维意识还不强，基本功还不扎实。
（1）；其图像为

其导数函数为
。
此线性导数只有一个极值点，且为极大点：（取小数点后4位）；
相应的极大值为 。
因此，在区间中，，曲线上升，上台的转动角为负；
在区间中，，曲线下降，上台的转角为正。
又二阶导数为。可见该曲线在整个区间上为上凸的，因此一阶导数在整个区间一直在递减。
如果加工从母线方程的作为起点，这个特点决定了本题的上台从初始转角开始，一直在逆时针向转动。而初始转角等于在处的曲线切线对工件坐标系的轴正向的倾斜角：
，
故上台初始转角等于：
（弧度）。
而在处，
，
上台的最终转角等于
或 。
这表明：上台在整个加工过程中的转动角为接近。 由于工件工作箱固定在上台上，所以，上台的正负向转角是不匀衡的。
（2）；其图像为

这是一条起伏2次的曲线，其中大约在[0，200]区段中，曲线的形态类同于问题1的曲线。在以后的部分出现了下凸。因此，对此类曲线只能采用轮式砂轮，而轮式砂轮的轮廓形状则与曲线的曲率密切相关，选取不当会引起砂轮对工件的“干涉”——磨削掉不该磨削的部分。
i) 先求函数的一阶导数。

其中 ， （弧度）。
在此基础上求极值点。令，有
，得

对于 ，得到极值点 ，这是个极大点，记为
，
相应的极大值等于 。
对于 ，得到极值点，它是极小点，记为

相应的极小值等于 。
有了函数的极大值和极小值，便得到函数的极差
。
函数的极差是确定轮式砂轮的直径的依据之一。
ii) 再求函数的二阶导数。
由 可得

其中 （弧度）。
函数的拐点是二阶导数的点。令 ，得

对于，解出的为负值，此种情况舍去；
对于，得到第1个拐点
；
对于 ，得到第2个拐点
。
iii) 2个极值点和2个拐点，将区间分成五段。
第一段：。
在此段中，，而。上台的转角由（负角）

转至零度。
第二段：。
在此段中，，而。上台的转角由零度转至
（正角）。
第三段：，
在此段中，。上台的转角由
（正角0
转至零度。
第四段：，
在此段中，。上台由零度转至

第五段：。
在此段中，，上台由

转至
我们可以看到，曲线在下列两个区间的起伏比较大：[0，100}和[300，400]。除此外的[100，300]和[400，600]中还是比较平坦的，也即上台的转动量并不大，或者说，在这2个区段，要求上台的转动角速度是一个很小的值，在两个拐点附近，上台转动角速度甚至可接近零！。
这样的观察，将可使得加工方案大为简化。因此，对曲线的数学分析必不可少。

最后计算曲线的最小曲率半径，这个数据在确定轮式砂轮的几何尺寸时是必须的。
由微积分知，函数的曲率为： ，
所以其曲率半径等于 。
何处曲率半径最小？严格地说，要写出的函数表达式，然后求其最小值。不过对本题的函数看，我们只求在处的曲率半径就可以了。不难求得
， ；
故 （mm）。

五．误差分析及其模型
1．局部误差
考虑加工弧线段，由点加工至（见图5）。在第三节中，我们已经推导出：随着基点的平动和图形（即刚体）的转动，作刚体平面运动的图形上的任一点在固定坐标系中的运动方程（3.4）。现我们的基点是中台的几何中心，所以将（3.4）改写为
， （5.1）
其中，为点在固定系中的两坐标位移量，
，为点在固定系中的两坐标位移量，
为图形的转角（正向按逆时针计），
是点在上台坐标系中的两坐标位值分量，它们为定值。
由此，不难得到点沿着运动的曲线的方程：（即（3.6）式）
， (5.2)
其中等于点到点的距离，是个定值。注意，这只是一个表面上消去角度的方程，自变量仍然是时间，故不能称为点的运动轨迹。这样，在固定坐标系中，它不能视为一个中心在，半径为的圆。当给定平面图形的转动规律，随着时间的变动，（5.2）给出的平面曲线常会变得相当复杂。但是，若基点的运动，的变化率不太大，在一个较短的时间段中，曲线或可认为接近于对称的二次曲线。这样的数学条件，在加工我们的曲线时显然是满足的。因为我们希望下，中台的运动较为平稳，而分段后各段的转角也不大。
这样得出的观察和认识结论可为加工弧线段时的误差模型提供方便。
一个较简便的误差模型可用理论曲线与逼近曲线之差的无穷范数来建立：
。
具体地，可用二条曲线的弓段上的高之差来近似（如图6所示）。
给定工件母线方程和弧线段的两端点的坐标，则在直线段上由Lagrange中值定理，在段上至少存在一点，使， （5.4）

图6 母线在段上的弧线弓的高

从中解出的值。直线的方程为
，
将代入，解出直线与直线的交点的值：
。
这样就不难得到弧线段的弓的高等于
。 （5.5）
再考虑工件母线平面运动所形成的逼近曲线的弓段上的高（见图7）。我们前面已经得出一个近似的但足够精确的结论：在本题中，由（5.2）给出的曲线可视为对称的二次曲线，记此曲线为。注意！我们在固定坐标系里计算，故必须将工件母线在工件坐标系里的方程转变为在固定坐标系里的方程，当然这个工作是常规的。由于弧线是对称的二次曲线，图中的（注意这里的与上述的意义不同，则在固定坐标系中的点）恰为线段的中点，即。

图7 局部误差示意图
由（5.2），

得 ，
而直线与直线的交点的值

再提醒一句，上述的是母线方程在给定的分段位置时在固定坐标系中的方程！ 仿（5.4）可得
。 （5.6）
注意，（5.6）与（5.5）形式看起来一样，但实质不一样。
这个模型的优点是比较简单，也很直观。因为加工时分段的，如果每段的误差计算很复杂，将引起整个曲线的计算量大大增加。
还可以考虑用理论曲线下的面积和逼近曲线下的面积之差来描述局部误差。（由于时间关系，在此先省略，推导并不难。如有可能，到广州后补上）

2．整体误差
整体误差一般等于局部误差之和。
但这里还要考虑来每段的脉冲数取整带来的误差。如果每段的三个工作台中最少的脉冲个数大于50，那么因四舍五入带来的误差并不大；而工作台中最少的脉冲个数与分段有关，该段较长则脉冲数必定较多，但是该段长度越大，则上述的局部误差一般也越大。这实际上又构成一个静态优化问题。
如何折中这两者的关系，笔者还没有作实质性的工作，在阅卷前已经没有可能，只好等以后再说。哪位老师有兴趣，不妨一试，笔者甚为感谢。

六．本题的理想模型
第三节给出了三个工作台静态分析的基础，即用刚体平面运动的观点和方法，可以在分段的基础上，求出加工每一段中三个工作台应发的脉冲数。而且令人兴奋的是，由于砂轮的切削点与工件母线的切线重合，所以，加工出的曲线在相邻两段的连接点处至少一阶导数连续！所以，这样的逼近曲线至少是二阶样条函数（是不是多项式？待研究）。这个结论为上一节的误差分析提供了坚实的数学基础。
但是，停留在这个层面还不够，每段的脉冲数有了，还需要知道它们的分布，从而控制工作台运动的速度（乃至加速度）。所以，需要一个理想的数学模型来描述本题的加工过程。实际上，在加工过程中，工作台一直在运动，因此，这样的机床系统是一个动态系统。描述动态系统的合适的数学工具是微分方程。除此外，还要考虑这样的系统的运动须满足逼近的要求，即求三个工作台的最佳运动。从控制的角度看，这三个工作台的运动。这里说的运动不仅仅指提供一个时段中的脉冲数，还需包括这些脉冲的分布，从而形成工作台的最佳控制函数。因此，较为合理的数学模型应该归结为一个最优控制问题。
各位都知道，一个最优控制问题属于动态优化问题，它的数学描述包括四个主要部分：一是动态系统的运动描述，一般用描述系统状态变量和能改变系统运动的控制变量以及有关参量构成的一组微分方程组来表述，对于集中系统，可表为常微分方程组

其中状态向量，控制向量，一般指时间实变量，；二是这个系统的状态的初始值和终端值。三是相关约束条件；第四是描述系统运动的目标性能泛函，即用来刻画控制达到的目标。约束条件和目标泛函都要用状态变量和控制变量来表达。因此，最优控制问题是寻求动态系统从初始状态开始，运动到终止状态，且其运动满足所有约束条件的整个过程中，使目标性能泛函取得极小（或极大）值的控制变量函数。
现在仍然以子段的逼近来考虑模型的建立，即考虑加工弧线段，由点加工至（见图5）。

首先是系统的状态方程。建立状态方程的前提是选择好系统的状态变量和控制变量。按照我们在前面的分析，三个工作台相互配合的运动使工件与砂轮相切，等价于刚体平面运动，而这个平面运动由基点的平动和上台的转动来实现，具体的基点运动时由下，中台两者相互正交的线运动合成而成。所以，下，中台的运动就是输入的控制量。加工的任务由加工至，也即使点最终移动至砂轮的磨削点，而开始时是与砂轮相切，与重合。所以，问题的核心是的运动。这样系统的状态量首先是描述点的运动量。记点在固定坐标系中的运动量为它的两个正交的位移量；其次，仅有还不足以描述点向切点“靠近”的过程，故上台的转动也要选为系统状态量。由此，我们选向量
， （6.1）
为系统的状态变量。
系统的控制变量选控制点向切点“靠近”的那些变量，即为
。 （6.2）
现在可根据刚体平面运动方程来写出系统的状态方程，状态方程是微分方程，故对（5.1）两边关于时间求导：

其中 是平面图形的转动角速度。上两个方程加上第3个状态变量的导数，即可完整地描述平面的点在固定坐标系中的运动：即系统的状态方程：

（6.3）

这构成了，这是一个非线性系统（带来求解的困难程度）。
其次，写出系统状态的初始和终端条件，这比较容易：
初始值：； （6.4）
注意，指加工该段的端点时图形在固定坐标系里的倾角，是在工件坐标系里的计算值。
终止值：。 （6.5）
第三是约束条件，这里包括本题给定的机床进给速度的限制和平稳性要求等，比如要求工件每转动100转，砂轮切点载工件工作箱的旋转轴方向上的移动量部超过4mm。这些内容要结合加工方案写出，这里暂时省略。
最后，也是最重要的，是目标性能泛函，主要是根据问题的要求而定。我们的问题时要逼近理论曲线，所以用理论曲线与逼近曲线之差的无穷范数作目标性能泛函是合理的。能否直接用前述的误差？理论上，宜写成积分形式，所以，最好写成一下形式
。 （6.6）
具体到我们的问题，用理论曲线和逼近曲线下的面积，正好能写成积分形式的泛函，这里也先省略（需要的话道广州后再补，各位评委不妨试试）。
于是，本题的最优控制问题是寻找最优控制向量，使得动态系统（6.3）的状态变量从初始值开始运动，一直演化到终止值为止的过程中，目标性能泛函取最小值。
这是一个理想的数学模型。真正要求解它并不容易，可行的求解途径是数值方法。

七．问题3，4的修整策略
其实，假若问题1，2已经解决，那么问题3，4并不复杂。实际上只需要对砂轮的磨削点在砂轮切削面上合理移动就可以，即改变每段计算中的点坐标。
以问题3为例。设圆柱形砂轮的厚度为，加工问题1的曲线时，可按时间先后，让切削点在砂轮表面从左到右均匀地移过来。
问题4稍麻烦些，但原则是一样的。只要轮式砂轮的几何尺寸确定后，不难选择点沿砂轮的移动策略。

八．各问题的加工方案
如果完全按照最优控制问题进行求解的话，可以求出每段的下台和中台的脉冲分布（分别由确定），以及上台的脉冲分布（由决定）。这是一条高层次的求解之道。但是，我们已经看到，这是一个非线性问题，一般只能采用数值方法。从目前能看到的考生论文情况，恐怕很少会有人想到这条路。
幸好本题有工作台平稳运动的要求。为什么需要这个要求？在最后上网的正式题定稿前，笔者只提平稳性。除了加工使工件表面光洁度要求外，一个更要紧的因素是机床系统的要求。由于机床很大很重，虽然有专门的润滑子系统使工作台滑动比较自由，但若要三个工作台一会儿快一会儿慢，这将使机床的电机-伺服放大系统的负担增加，改变机床的动态运动特性。当然最后上网稿仅把这个要求归为加工光洁度，也无大错，便于广大非机械专业考生的理解。
好，既然有了平稳性要求，我们可以结合静态分析的结果（即算出每段需要的脉冲数），用启发式方法来求解，避免走最优控制的道路。所以，对很多没有学过最优控制的考生，也不会原则上影响他们求解本题。
因此，笔者在以下部分就不集中在如何数值求解最优控制上展开了（因为时间问题,我要今天交卷给朱老师）。笔者愿意与有兴趣与评委们在阅卷后继续讨论。
这里先解释一下题目中若干数据的含义。
步进电机理论上是间断工作的，但若输入