2011年高考全国卷2理科数学试题及答案(已排版).doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
（1）复数，为的共轭复数，则
（A） （B） （C） （D）
（2）函数的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
（3）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
（A） （B） （C） （D）
（4）设为等差数列的前项和，若，公差，，则
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
（5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于
（A） （B） （C） （D）
(6)已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂[足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于
(A) (B) (C) (D) 1
(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友
每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种[来源:学科网]
(8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
(9)设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=
(A) - (B) (C) (D)
(10)已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=
(A) (B) (C) (D)
(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
(12)设向量a，b，c满足= =1，=，=，则的最大值等于
(A)2 (B) (c) (D)1
第Ⅱ卷（第Ⅱ卷共l0小题，共90分。）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试卷上作答无效)
(13)(1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: 。
(14)已知a∈(，)，sinα=，则tan2α=
(15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .
(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .
三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。

（19）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.
（Ⅰ）证明：;[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（Ⅱ)求与平面所成角的大小.

（20）设数列满足且
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设

（21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足
(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

[来源:学科网]

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
（Ⅰ）设函数，证明：当时，；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：

(18)【解析】记表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；
表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种；
表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.
(I), , ……………………………3分
……………………………6分
(Ⅱ),
,即服从二项分布, ……………………………10分
所以期望 . ……………………………12分
(19)【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.
解法一：(Ⅰ)取中点，连结，则四边形为矩形，，连结，则，.
又,故,所以为直角. ………………3分
由,,,得平面,所以.
与两条相交直线、都垂直.
所以平面. ………………6分
另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面. ………………6分
(Ⅱ)由平面知，平面平面.
作,垂足为,则平面ABCD,.
作,垂足为,则.连结.则.
又,故平面,平面平面.……9分
作,为垂足,则平面.
,即到平面的距离为.
由于,所以平面,到平面的距离也为.
设与平面所成的角为,则,.……12分
解法二：以为原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则、.
又设,则.
(Ⅰ),
由得
,
故.
由得,
又由得,
即,故. ………………3分
于是,
.
故,又,
所以平面. ………………6分
(Ⅱ)设平面的法向量,
则.
又,
故 ………………9分
取得,又
.
故与平面所成的角为. ………………12分
(20)【解析】(Ⅰ)由题设,
即是公差为1的等差数列.
又,故.
所以 ……………………………5分# (Ⅱ) 由(Ⅰ)得

,
…………………………12分
(21)【解析】(I),的方程为,代入并化简得
. …………………………2分
设,则

由题意得所以点的坐标为.
经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分
(II)由和题设知，，的垂直平分线的方程为
. ①
设的中点为,则,的垂直平分线的方程为
. ②
由①、②得、的交点为. …………………………9分
,
,
,
,
,
故 ,
又 , ,
所以 ,
由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上. ……………12分
(22)【解析】(I) …………………………2分
当时, ,所以为增函数,又,因此当时,
. …………………………5分
(II) .
又
所以.
由(I)知: 当时,
因此 .
在上式中,令,则 19,即.
所以 …………………………12分
6