2011年高考全国卷2理科数学试题及答案(已排版).doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页。第卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3第卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题（1）复数，为的共轭复数，则（A） （B） （C） （D）（2）函数的反函数为（A） （B）（C） （D）（3）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（A） （B） （C） （D）（4）设为等差数列的前项和，若，公差，则 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5（5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A） （B） （C） （D） (6)已知直二面角 ，点A，AC，C为垂足，B，BD，D为垂足若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A) (B) (C) (D) 1 (7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种来源:学科网(8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1 (9)设是周期为2的奇函数，当0x1时，=，则= (A) - (B) (C) (D)(10)已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点则=(A) (B) (C) (D) (11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13(12)设向量a，b，c满足= =1，=，=，则的最大值等于 (A)2 (B) (c) (D)1 第卷（第卷共l0小题，共90分。）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试卷上作答无效)(13)(1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: 。(14)已知a(，)，sin=，则tan2= (15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线则|AF2| = .(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .三解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知AC=90，a+c=b，求C.(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为05，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为03,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；()X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 （19）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（）证明：;来源:学_科_网Z_X_X_K（)求与平面所成角的大小.（20）设数列满足且（）求的通项公式；（）设（21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足 ()证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.来源:学科网（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：(18)【解析】记表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种；表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.(I), , 3分 6分(),即服从二项分布, 10分所以期望 . 12分 (19)【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.解法一：()取中点，连结，则四边形为矩形，连结，则，.又,故,所以为直角. 3分由,得平面,所以.与两条相交直线、都垂直.所以平面. 6分另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面. 6分()由平面知，平面平面.作,垂足为,则平面ABCD,.作,垂足为,则.连结.则.又,故平面,平面平面.9分作,为垂足,则平面.,即到平面的距离为.由于,所以平面,到平面的距离也为.设与平面所成的角为,则,.12分解法二：以为原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则、.又设,则.(),由得,故.由得,又由得,即,故. 3分于是,.故,又,所以平面. 6分()设平面的法向量,则.又,故 9分取得,又.故与平面所成的角为. 12分 (20)【解析】()由题设,即是公差为1的等差数列.又,故.所以 5分# () 由()得 ,12分(21)【解析】(I),的方程为,代入并化简得. 2分设,则 由题意得所以点的坐标为.经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 6分(II)由和题设知，的垂直平分线的方程为. 设的中点为,则,的垂直平分线的方程为. 由、得、的交点为. 9分,故 ,又 , ,所以 ,由此知、四点在以为圆心,为半径的圆上. 12分 (22)【解析】(I) 2分当时, ,所以为增函数,又,因此当时,. 5分(II) .又所以.由(I)知: 当时, 因此 .在上式中,令,则 19,即.所以 12分6