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
第一章 三角函数
学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换.
1.任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；
(2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；
(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0).
2.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝ .
3.诱导公式
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.
4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)；
对称中心：(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)，无对称轴
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
最小正周期：2π
最小正周期：2π
最小正周期：π
单调性
在 (k∈Z)上单调递增；在 (k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在开区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上递增
最值
在x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
类型一 三角函数的概念
例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝ .
答案 －8
解析 r＝＝，且sin θ＝－，
所以sin θ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.
反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.
解 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t.
r＝＝＝5|t|.
当t＞0时，r＝5t，sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－；
当t＜0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.
综上可知，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－
或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用
例2 已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：
(1)＋；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值.
解 由根与系数的关系，得
sin θ＋cos θ＝，
sin θcos θ＝.
(1)原式＝＋
＝＋
＝－
＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由sin θ＋cos θ＝，
两边平方可得
1＋2sin θcos θ＝，
1＋2×＝1＋，
m＝.
(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，
得两根和.
∴ 或
∵θ∈(0，2π)，
∴θ＝或.
反思与感悟 (1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.
(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.
跟踪训练2 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值.
解 (1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，
(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.
又∵<α<，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，
∴cos α－sin α＝－.
(3)∵α＝－＝－6×2π＋，
∴f＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos·sin＝×＝.
类型三 三角函数的图象与性质
例3 将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin x的图象.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值.
解 (1)函数y＝ sin x的图象向下平移1个单位长度得y＝sin x－1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的倍，得到y＝sinx－1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y＝sin(x－)－1的图象，∴函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[6k－，6k＋]，k∈Z.
(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最值.
∵当x∈[3，4]时，x－∈[，π]，
∴sin(x－)∈[0，]，∴f(x)∈[－1，].
∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最小值是－1，最大值为.
反思与感悟 研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.
跟踪训练3 函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 (1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
类型四 三角函数的最值和值域
命题角度1 可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型
例4 求函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.
解 ∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，
∴－≤sin(x＋)≤1.
当sin(x＋)＝1，即x＝时，y取得最小值1.
当sin(x＋)＝－，即x＝π时，y取得最大值4.
∴函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.
反思与感悟 利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.
跟踪训练4 已知函数y＝asin(2x＋)＋b在x∈[0，]上的值域为[－5，1]，求a，b的值.
解 ∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，π]，sin(2x＋)∈[－，1].
∴当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
命题角度2 可化为sin x或cos x的二次函数型
例5 已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值.
解 y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.
令t＝sin x，∵|x|≤，∴－≤sin x≤.
则y＝－t2＋t＋1＝－(t－)2＋(－≤t≤)，
∴当t＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－(－－)2＋＝.
反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.
跟踪训练5 已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值.
解 令t＝sin x，则
g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－2＋＋b＋1，
且t∈[－1，1].根据对称轴t0＝－与区间[－1，1]的位置关系进行分类讨论.
①当－≤－1，即a≥2时，
解得
②当－1<－<0，即0<a<2时，
解得(舍)或(舍)，
综上所述，a＝2，b＝－2.
类型五 数形结合思想在三角函数中的应用
例6 已知方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解，求实数m的取值范围.
解 函数y＝sin(x＋)，x∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解等价于函数y1＝sin(x＋)，y2＝在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，所以≤＜1，即≤m＜2.
反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.
跟踪训练6 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0).若f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为 .
答案 π
解析 记f(x)的最小正周期为T.由题意知≥－＝.又f()＝f()＝－f()，且－＝，
可作出示意图如图所示(一种情况)，
∴x1＝(＋)×＝，
x2＝(＋)×＝，
∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.
1.若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为( )
A.4 B.±4
C.－4或－ D.
答案 C
解析 由三角函数定义可知，r＝，
sin α＝ ，cos α＝，
sin α·cos α＝＝，
得a＝－4或－.
2.已知f(α)＝，则f(－)的值为( )
A. B.－ C.－ D.
答案 C
解析 ∵f(α)＝＝
＝－cos α，
∴f(－)＝－cos(－)
＝－cos(10π＋)＝－cos＝－.
3.函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为( )
A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，2] D.[0，1]
答案 C
解析 ∵f(x)＝
∴0≤f(x)≤2.故选C.
4.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A.2，－ B.2，－ C.4，－ D.4，
答案 A
解析 从图象可得T＝－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2.
又∵f＝2sin＝2sin＝2，且－＜φ＜，∴φ＝－.
5.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
解 令t＝sin x，则t∈[－1，1]，
则函数可化为f(t)＝－t2＋t＋a＝－(t－)2＋a＋.
当t＝时，f(t)max＝a＋，即f(x)max＝a＋；
当t＝－1时，f(t)min＝a－2，
即f(x)min＝a－2.
故函数f(x)的值域为[a－2，a＋].
所以解得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3，4].
三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.
课时作业
一、选择题
1.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因为sin ＝sin＝sin ＝，
cos ＝cos＝－cos＝－，
所以点在第四象限.
又因为tan α＝＝－＝tan＝tan ，
所以角α的最小正值为.故选D.
2.若sin(π－α)＝－，且α∈(π，)，则sin(＋α)等于( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 C
解析 ∵sin(π－α)＝－，∴sin α＝－，
又∵α∈(π，)，
∴cos α＝－＝－ ＝－，
∴sin(＋α)＝cos α＝－，故选C.
3.已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域为( )
A.[－1，1] B.[－，1]
C.[－1，] D.[－1，－]
答案 C
解析 f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|
＝
函数f(x)的图象如图所示，由f(x)的图象，知f(x)的值域为[－1，].
4.设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )
A.[－4，－2] B.[－2，0]
C.[0，2] D.[2，4]
答案 A
解析 由数形结合的思想，画出函数y＝4sin(2x＋1)与y＝x的图象，观察可知选A.
5.将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
答案 B
解析 y＝3sin向右平移个单位长度得到y＝3sin＝3sin的图象.
∵x∈，则2x－∈，
∴y＝3sin在上单调递增.
6.函数f(x)＝Asin(ωx＋θ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)等于( )
A.sin B.sin
C.sin D.sin
答案 A
解析 由图象知A＝，∵－＝T，
∴T＝π，∴ω＝2.∵2×＋θ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴可取θ＝－，∴f(x)＝sin.
7.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在区间[，π]上是单调递增函数”的一个函数可以是( )
A.y＝cos(2x－) B.y＝sin(2x－)
C.y＝sin(2x＋) D.y＝sin(＋)
答案 B
解析 由T＝＝π知，ω＝2，D错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x＝时，函数值为最值，A错；由B的单调递增区间，可得
－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，即为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)，当k＝1时，[，π]∈[，]，故选B.
二、填空题
8.设x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋sin x的最大值是 .
答案
解析 ∵f(x)＝cos2x＋sin x
＝－sin2x＋sin x＋1
＝－2＋.
又∵x∈(0，π)，∴0＜sin x≤1，
∴当sin x＝时，f(x)的最大值是.
9.函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值等于 .
答案
解析 由图知A＝2，ω＝，φ＝0，
∴f(x)＝2sinx，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0.
又f(x)的周期为8，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014).
＝f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝.
10.设函数f(x)＝sin(2x＋)，下列命题：①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点(，0)对称；③把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f(x)的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数.其中正确命题的序号为 .
答案 ③
解析 f(x)＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)；f(x)＝sin(2x＋)的图象的对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)；f(x)的周期为T＝＝π，由(2x＋)∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，得f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)；把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到f(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos 2x的图象，为偶函数.故只有③正确.
11.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，则f(x)的单调递增区间是 .
答案 (k∈Z)
解析 由题意可知，当x＝时，f(x)取最值.∴f＝sin＝±1，∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝＋kπ(k∈Z).又f>f(π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.不妨取φ＝－，则f(x)＝sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，则＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
三、解答题
12.若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 ＋ ＝2，求tan α.
解 ∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，
∴α是第二象限角，
∴ ＋
＝ ＋
＝＝＝2，
∴cos α＝－，则sin α＝，tan α＝－1.
13.已知f(x)＝3sin(2x＋)－1.
(1)f(x)的图象是由y＝sin x的图象如何变换而来？
(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值.
解 (1)将函数y＝sin x图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y＝3sin x的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝3sin 2x的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝3sin(2x＋)的图象，最后把所得到的函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)＝3sin(2x＋)－1的图象.
(2)最小正周期T＝π，由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
得对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝＋kπ(k∈Z)时，
f(x)取得最大值2.
四、探究与拓展
14.将函数f(x)＝2sin(ωx－)(ω>0)的图象向左平移个单位得到函数y＝g(x)的图象.若y＝g(x)在[－，]上为增函数，则ω的最大值为 .
答案 2
15.已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.
解 (1)因为f(x)＝cos，x∈R，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为f(x)＝cos在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f＝0，f＝，f＝cos＝－cos ＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；最小值为－1，此时x＝.
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