2017年福建省高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅰ).pdf

第 1 页（共 23 页）2017 年福建省高考数学试卷（文科）（全国新课标）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）已知集合 A=x|x2，B=x|32x0，则（）AAB=x|x BAB=?C AB=x|x DAUB=R2（5 分）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数3（5 分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）Ai（1+i）2Bi2（1i）C （1+i）2Di（1+i）4（5 分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）ABC D5（5 分）已知 F 是双曲线 C：x2=1 的右焦点，P 是 C上一点，且 PF与 x轴垂直，点 A 的坐标是（1，3），则 APF的面积为（）ABC D6（5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面 MNQ不平行的是（）第 2 页（共 23 页）ABCD7（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为（）A0 B1 C 2 D38（5 分）函数 y=的部分图象大致为（）ABCD9（5 分）已知函数 f（x）=lnx+ln（2x），则（）Af（x）在（0，2）单调递增Bf（x）在（0，2）单调递减Cy=f（x）的图象关于直线x=1对称Dy=f（x）的图象关于点（1，0）对称10（5 分）如图程序框图是为了求出满足3n2n1000 的最小偶数 n，那么在第 3 页（共 23 页）和两个空白框中，可以分别填入（）AA1000 和 n=n+1 BA1000 和 n=n+2CA1000 和 n=n+1 DA1000 和 n=n+211（5 分）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA（sinCcosC）=0，a=2，c=，则 C=（）ABC D12（5 分）设 A，B是椭圆 C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点 M 满足AMB=120，则 m 的取值范围是（）A（0，1 9，+）B（0，9，+）C（0，1 4，+）D（0，4，+）二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13（5 分）已知向量=（1，2），=（m，1），若向量+与 垂直，则 m=14（5 分）曲线 y=x2+在点（1，2）处的切线方程为15（5 分）已知 （0，），tan=2，则 cos（）=16（5 分）已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球O 的球面上，SC是球 O的直径若平面 SCA 平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC的体积为 9，则球 O第 4 页（共 23 页）的表面积为三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程第1721题为必选题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（12 分）记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和已知 S2=2，S3=6（1）求 an的通项公式；（2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列18（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且 BAP=CDP=90 （1）证明：平面 PAB 平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90 ，且四棱锥 PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得=xi=9.97，s=0.212，18.439，（xi）（i8.5）=2.78，其中 xi为抽取的第 i 个零件的尺寸，i=1，2，16（1）求（xi，i）（i=1，2，16）的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生第 5 页（共 23 页）产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（）在（3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到 0.01）附：样本（xi，yi）（i=1，2，n）的相关系数 r=，0.0920（12 分）设 A，B为曲线 C：y=上两点，A 与 B的横坐标之和为 4（1）求直线 AB的斜率；（2）设 M 为曲线 C上一点，C在 M 处的切线与直线AB平行，且 AMBM，求直线 AB的方程21（12 分）已知函数 f（x）=ex（exa）a2x（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）0，求 a 的取值范围（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程选讲（10 分）22（10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为，（为参数），直线 l 的参数方程为，（t 为参数）（1）若 a=1，求 C与 l 的交点坐标；（2）若 C上的点到 l 距离的最大值为，求 a 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）第 6 页（共 23 页）23已知函数 f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含 1，1，求 a 的取值范围第 7 页（共 23 页）2017 年福建省高考数学试卷（文科）（全国新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）已知集合 A=x|x2，B=x|32x0，则（）AAB=x|x BAB=?C AB=x|x DAUB=R【解答】解：集合 A=x|x2，B=x|32x0=x|x，AB=x|x，故 A 正确，B 错误；AB=x|x2，故 C，D 错误；故选：A2（5 分）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数【解答】解：在 A 中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故 A 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在 B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在 C中，最大值是一组数据最大的量，故 C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在 D 中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故 D 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度故选：B第 8 页（共 23 页）3（5 分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）Ai（1+i）2Bi2（1i）C （1+i）2Di（1+i）【解答】解：Ai（1+i）2=i?2i=2，是实数Bi2（1i）=1+i，不是纯虚数C（1+i）2=2i为纯虚数Di（1+i）=i1 不是纯虚数故选：C4（5 分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）ABC D【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为 1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率 P=，故选：B5（5 分）已知 F 是双曲线 C：x2=1 的右焦点，P 是 C上一点，且 PF与 x轴垂直，点 A 的坐标是（1，3），则 APF的面积为（）ABC D第 9 页（共 23 页）【解答】解：由双曲线 C：x2=1 的右焦点 F（2，0），PF与 x轴垂直，设（2，y），y0，则 y=3，则 P（2，3），AP PF，则丨 AP丨=1，丨 PF丨=3，APF的面积 S=丨 AP丨丨 PF丨=，同理当 y0 时，则 APF的面积 S=，故选 D6（5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面 MNQ不平行的是（）ABCD【解答】解：对于选项 B，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意；第 10 页（共 23 页）对于选项 C，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项 D，由于 ABNQ，结合线面平行判定定理可知D 不满足题意；所以选项 A 满足题意，故选：A7（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为（）A0 B1 C 2 D3【解答】解：x，y 满足约束条件的可行域如图：，则 z=x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最大值，由解得 A（3，0），所以 z=x+y 的最大值为：3故选：D8（5 分）函数 y=的部分图象大致为（）AB第 11 页（共 23 页）CD【解答】解：函数 y=，可知函数是奇函数，排除选项B，当 x=时，f（）=，排除 A，x=时，f（）=0，排除 D故选：C9（5 分）已知函数 f（x）=lnx+ln（2x），则（）Af（x）在（0，2）单调递增Bf（x）在（0，2）单调递减Cy=f（x）的图象关于直线x=1对称Dy=f（x）的图象关于点（1，0）对称【解答】解：函数 f（x）=lnx+ln（2x），f（2x）=ln（2x）+lnx，即 f（x）=f（2x），即 y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故选：C10（5 分）如图程序框图是为了求出满足3n2n1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）第 12 页（共 23 页）AA1000 和 n=n+1 BA1000 和 n=n+2CA1000 和 n=n+1 DA1000 和 n=n+2【解答】解：因为要求 A1000 时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A1000”，又要求 n 为偶数，且 n 的初始值为 0，所以“”中 n 依次加 2 可保证其为偶数，所以 D 选项满足要求，故选：D11（5 分）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA（sinCcosC）=0，a=2，c=，则 C=（）ABC D【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinB+sinA（sinC cosC）=0，sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC sinAcosC=0，cosAsinC+sinAsinC=0，sinC 0，cosA=sinA，tanA=1，第 13 页（共 23 页）0A，A=，由正弦定理可得=，sinC=，a=2，c=，sinC=，ac，C=，故选：B12（5 分）设 A，B是椭圆 C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点 M 满足AMB=120，则 m 的取值范围是（）A（0，1 9，+）B（0，9，+）C（0，1 4，+）D（0，4，+）【解答】解：假设椭圆的焦点在x 轴上，则 0m3 时，设椭圆的方程为：（ab0），设 A（a，0），B（a，0），M（x，y），y0，则 a2x2=，MAB=，MBA=，AMB=，tan=，tan=，则 tan=tan （+）=tan（+）=，第 14 页（共 23 页）tan=，当 y 最大时，即 y=b时，AMB 取最大值，M 位于短轴的端点时，AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足AMB=120 ，AMB120，AMO60，tanAMO=tan60=，解得：0m1；当椭圆的焦点在 y 轴上时，m3，当 M 位于短轴的端点时，AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足AMB=120 ，AMB120，AMO60，tanAMO=tan60=，解得：m9，m 的取值范围是（0，1 9，+）故选 A第 15 页（共 23 页）二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13（5 分）已知向量=（1，2），=（m，1），若向量+与 垂直，则 m=7【解答】解：向量=（1，2），=（m，1），=（1+m，3），向量+与 垂直，（）?=（1+m）（1）+32=0，解得 m=7故答案为：714（5 分）曲线 y=x2+在点（1，2）处的切线方程为xy+1=0【解答】解：曲线 y=x2+，可得 y=2x，切线的斜率为：k=21=1切线方程为：y2=x1，即：xy+1=0故答案为：xy+1=015（5 分）已知 （0，），tan=2，则 cos（）=【解答】解：（0，），tan=2，sin=2cos，sin2+cos2=1，解得 sin=，cos=，cos（）=coscos+sin sin=+=，故答案为：16（5 分）已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球O 的球面上，SC是球 O的直第 16 页（共 23 页）径若平面 SCA 平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC的体积为 9，则球 O的表面积为36【解答】解：三棱锥 SABC的所有顶点都在球O 的球面上，SC是球 O 的直径，若平面 SCA 平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC的体积为 9，可知三角形 SBC与三角形 SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得，解得 r=3球 O的表面积为：4r2=36 故答案为：36 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程第1721题为必选题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（12 分）记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和已知 S2=2，S3=6（1）求 an的通项公式；（2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列【解答】解：（1）设等比数列 an 首项为 a1，公比为 q，则 a3=S3S2=62=8，则 a1=，a2=，由 a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=2，则 a1=2，an=（2）（2）n1=（2）n，an 的通项公式 an=（2）n；第 17 页（共 23 页）（2）由（1）可知：Sn=2+（2）n+1，则 Sn+1=2+（2）n+2，Sn+2=2+（2）n+3，由 Sn+1+Sn+2=2+（2）n+2 2+（2）n+3，=4+（2）（2）n+1+（2）2+（2）n+1，=4+2（2）n+1=2（2+（2）n+1），=2Sn，即 Sn+1+Sn+2=2Sn，Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列18（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且 BAP=CDP=90 （1）证明：平面 PAB 平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90 ，且四棱锥 PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积【解答】证明：（1）在四棱锥 PABCD中，BAP=CDP=90 ，ABPA，CDPD，又 ABCD，ABPD，PA PD=P，AB平面 PAD，AB?平面 PAB，平面 PAB 平面 PAD 解：（2）设 PA=PD=AB=DC=a，取 AD中点 O，连结 PO，PA=PD=AB=DC，APD=90 ，平面 PAB 平面 PAD，PO 底面 ABCD，且 AD=，PO=，四棱锥 PABCD的体积为，第 18 页（共 23 页）由 AB平面 PAD，得 ABAD，VPABCD=，解得 a=2，PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，PB=PC=2，该四棱锥的侧面积：S侧=SPAD+SPAB+SPDC+SPBC=+=6+219（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得=xi=9.97，s=0.212，18.439，（xi）（i8.5）=2.78，其中 xi为抽取的第 i 个零件的尺寸，i=1，2，16（1）求（xi，i）（i=1，2，16）的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生第 19 页（共 23 页）产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（）在（3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到 0.01）附：样本（xi，yi）（i=1，2，n）的相关系数 r=，0.09【解答】解：（1）r=0.18|r|0.25，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（2）（i）=9.97，s=0.212，合格零件尺寸范围是（9.334，10.606），显然第 13 号零件尺寸不在此范围之内，需要对当天的生产过程进行检查（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为=10.02，=160.2122+169.972=1591.134，剔除离群值后样本方差为（1591.1349.2221510.022）=0.008，剔除离群值后样本标准差为0.0920（12 分）设 A，B为曲线 C：y=上两点，A 与 B的横坐标之和为 4（1）求直线 AB的斜率；第 20 页（共 23 页）（2）设 M 为曲线 C上一点，C在 M 处的切线与直线AB平行，且 AMBM，求直线 AB的方程【解答】解：（1）设 A（x1，），B（x2，）为曲线 C：y=上两点，则直线 AB的斜率为 k=（x1+x2）=4=1；（2）设直线 AB的方程为 y=x+t，代入曲线 C：y=，可得 x24x4t=0，即有 x1+x2=4，x1x2=4t，再由 y=的导数为 y=x，设 M（m，），可得 M 处切线的斜率为m，由 C在 M 处的切线与直线 AB平行，可得m=1，解得 m=2，即 M（2，1），由 AMBM 可得，kAM?kBM=1，即为?=1，化为 x1x2+2（x1+x2）+20=0，即为 4t+8+20=0，解得 t=7则直线 AB的方程为 y=x+721（12 分）已知函数 f（x）=ex（exa）a2x（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）0，求 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x）=ex（exa）a2x=e2xexaa2x，f（x）=2e2xaexa2=（2ex+a）（exa），当 a=0时，f（x）0 恒成立，f（x）在 R上单调递增，第 21 页（共 23 页）当 a0 时，2ex+a0，令 f（x）=0，解得 x=lna，当 xlna 时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，当 xlna 时，f（x）0，函数 f（x）单调递增，当 a0 时，exa0，令 f（x）=0，解得 x=ln（），当 xln（）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，当 xln（）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增，综上所述，当 a=0时，f（x）在 R上单调递增，当 a0 时，f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，当 a0 时，f（x）在（，ln（）上单调递减，在（ln（），+）上单调递增，（2）当 a=0时，f（x）=e2x0 恒成立，当 a0 时，由（1）可得 f（x）min=f（lna）=a2lna0，lna0，0a1，当 a0 时，由（1）可得：f（x）min=f（ln（）=a2ln（）0，ln（），2a0，综上所述 a 的取值范围为 2，1（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程选讲（10 分）22（10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为，（为参数），直线 l 的参数方程为，（t 为参数）（1）若 a=1，求 C与 l 的交点坐标；（2）若 C上的点到 l 距离的最大值为，求 a【解答】解：（1）曲线 C的参数方程为（为参数），化为标准方程是：第 22 页（共 23 页）+y2=1；a=1 时，直线 l 的参数方程化为一般方程是：x+4y3=0；联立方程，解得或，所以椭圆 C和直线 l 的交点为（3，0）和（，）（2）l 的参数方程（t 为参数）化为一般方程是：x+4ya4=0，椭圆 C上的任一点 P可以表示成 P（3cos，sin ），0，2），所以点 P到直线 l 的距离 d 为：d=，满足 tan=，且的 d 的最大值为当 a40 时，即 a4 时，|5sin（+4）a4|5a4|=5+a+4=17解得 a=84，符合题意当 a40 时，即 a4 时|5sin（+4）a4|5a4|=5a4=1a=17解得 a=164，符合题意 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含 1，1，求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=1时，f（x）=x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，第 23 页（共 23 页）g（x）=|x+1|+|x1|=，当 x（1，+）时，令 x2+x+4=2x，解得 x=，g（x）在（1，+）上单调递增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时f（x）g（x）的解集为（1，；当 x 1，1 时，g（x）=2，f（x）f（1）=2当 x（，1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且 g（1）=f（1）=2综上所述，f（x）g（x）的解集为 1，；（2）依题意得：x2+ax+42 在 1，1 恒成立，即 x2ax20 在 1，1恒成立，则只需，解得 1a1，故 a 的取值范围是 1，1