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人教版高一数学函数及其性质知识点归纳

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与习题
第一部分 函数及其表示
知识点一：函数的基本概念
1、函数的概念：
一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：。
x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，y叫函数值，y的取值范围叫函数的值域。
说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系
②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。
③认真理解的含义：是一个整体，并不表示f与x的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格；
2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则
3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间
4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等
5、分段函数：
说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。
②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。
6、 函数图像

练习
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
1.下列图象中表示函数图象的是　（ ）

（A） (B) (C ) (D)
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C ． D．
3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

A、（1）（2）（4） B、（4）（2）（3） C、（4）（1）（3） D、（4）（1）（2）
4.下列对应关系：（ ）
①：的平方根
②：的倒数
③：
④：中的数平方
其中是到的映射的是
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重克的函数，其表达式为＝____ ____
6.设函数，则= ，=
7.设函数，若=13，则x= 。
8.函数 则 ．
9.下列各组函数是同一函数的有
①与；②与；
③与；④与。
10.作出函数的图象

知识点二：函数定义域的求法
（一）简单函数定义域
1.若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
2.若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
3.若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
4.若f(x)=，因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
5.若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
6.若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题
（二）复合函数定义域
1.若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．
2.若已知复合函数的定义域为，其的定义域为在[a,b]上的取值范围．

练习：
1.函数的定义域是（ ）
A、 B、 C、 D、
2.函数的定义域为（ ）
A．　 　　B．　　　 C．　　　　D．
3.已知函数的定义域为（ ）
A． B．
C ． D．
4.函数的定义域是（0，8），则的定义域是（ ）
A、 （1，3） B、 （-3，-1） C、 （1，8） D、 （1，3）∪（-3，-1）
5.函数的定义域是[1，4]，则的定义域是（ ）
A、 [3，4] B、 [1，4] C、 [3，9] D、 [7，9]
6.函数的定义域是_____________________。

7.求下列函数的定义域
（1） （2）

知识点三、函数解析式的常用求法：
1、换元法； 2、待定系数法； 3、消去法

练习：
1.设函数，则的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
2.已知 ，则的解析式是
3.已知，则的解析式是
4.已知，则= .
5.已知f(x)满足，求f(x)的解析式.

6. 若是一次函数，且满足求．

7.函数是二次函数，且，，求的解析式。

知识点四、函数值域的常用求法：
1、 分离常数法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、换元法
练习
1.下列四个函数：①；②；③；④.
其中值域为的函数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2. 选用合适的方法下列函数的值域
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

3.求函数的值域

4.求函数的值域.

第二部分 函数的单调性
一、 知识点回顾
1、概念
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) .
2、图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
3、函数单调区间与单调性的判定方法：
①定义法，任取x1、x2∈D，且x1<x2；作差f(x1)-f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)-f(x2)的正负）；下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.
②图象法(从图象上看升降)；
③复合函数的单调性，复合函数f\[g(x)\]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：（同增异减）

函数
单调性
u=g(x)
增
增
减
减
y=f(u)
增
减
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.
④常用结论。
A、两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；
B、一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；
C、互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
4、基本初等函数的单调性.
解：①正比例函数：y=kx(k≠0)
当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.
②一次函数：y=kx+b(k≠0)
当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.
③反比例函数：y=(k≠0)
当k>0时，函数y=的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.
④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞,］，单调递增区间是［,+∞)；
当a<0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［,+∞)，单调递增区间是(-∞,］.
知识点练习
1．函数y＝－x2的单调减区间是(　 　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
2．若函数f(x)定义在[－1,3]上，且满足f(0)<f(1)，则函数f(x)在区间[－1,3]上的单调性是(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先减后增 D．无法判断
3．已知函数y＝f(x)，x∈A，若对任意a，b∈A，当a<b时，都有f(a)<f(b)，则方程f(x)＝0的根(　　)
A．有且只有一个 B．可能有两个
C．至多有一个 D．有两个以上
4．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则(　 　)
A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a)
5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是(　 　) X k b 1 . c o m
①y＝|x|； ②y＝； ③y＝－； ④y＝x＋.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．下列说法中正确的有(　 　)
①若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个新 课一 网 C．2个 D．3个
7.函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于(　　)
A．－4　　　　　　　　　B．－8 C．8 D．无法确定
8.函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
9.下列四个函数：①y＝；②y＝x2＋x；③y＝－(x＋1)2；④y＝＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是(　　)
A．① B．④ C．①④ D．①②④
10.函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
11.函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．
12.函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系为________．
13.若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0.
(1)求b与c的值；
(2)试证明函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数．

14.函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.

15.（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；
（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；
（3）当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.

16.已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)＜f(1－3x)，求x的取值范围．

17.设函数y＝f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．

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